U SIGNES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Parmi les lignes trigonométriques, le sinus et le cosinus entrent dans le calcul avec des signas dopt or^ se rend compte en les rapportant à un système d'axes. Par exemple, en les prenant respectivement pour lç& coordonnées de l'extrémité de Tare, on vérifia la

formule y = ±. \/ 1 — x% qui exprime leur fonction mutuelle, dans les quatre cas qui peuvent se présenter, Savoir;

La tangente étant donnée par la formule t=*

il est aisé de s'assurer que les changements de sig&e de pp et de y donnent par les règles du calcul des symboles négatifs, les mêmes pfraQgeiuejtf s de signe de t, qui sont propre? à exprimer sa position par rapport, aux axes,

]-* = — fi, -+-*= — -, — *== — s,-«=- — s.

Et ces symboles s'expliqueraient d'ailleurs par UB

changement du «ysj£n)e des af es, propre à doçncF à ~*~*,^tjet — t te? jbrjpep q — x<p — y9p — t.

U en est de U)4me jie Jp potangerijle, Restept deii* lignes qui, au lieu de sp forcer dan? le seps dep ^^ eômme les précédentes, peuvent au cqntjaire occuper toutes les positipnf ang^l^eç pof si|>les ; /g £$P9Q/|g et la cosécante. ^W^ogy* ffc Ja J?r^|fgf ge

que nous en dirons devant s'appliquer immédiatement à l'autre.

II en est des sécantes comme de toutes les fonctions qui dépendent de variables susceptibles des deux signes. Elles sont nécessairement affectées dans le calcul par les signes que prennent les quantités dont elles dépendent; mais elles ne reçoivent pas nécessairement pour cela, et en elles-mêmes une signification positive ou négative. La sécante est donnée par la

fonction- et, par conséquent, suit le signe d'#. Il

fout entendre par sécante négative celle d'un arc dont le connus est négatif. Si ensuite il se trouve, comme l'examen de la figure le fait voir, que la sécanle, selon qu'elle doit être prise positivement ou négativement à raison du cosinus, est aussi tracée dans le sens du rayon qui aboutit à l'extrémité de l'arc, ou en sens contraire, il ne faut voir là qu'une propriété résultant de la convention générale des signes, mais qui ne fait point que la sécante ait un signe par elle-même indépendamment de cette convention. On a soulevé mal à propos des difficultés sur ce point, et toujours dans le même esprit.

Je ne dirai rien des arcs négatifs et de leurs lignes ' trigonomé triques. On conçoit, sans explications nouvelles, la possibilité d'étendre à la formation additive ou soustractive des grandeurs linéaires portées sur une circonférence, de part et d'autre d'un point-limite, la convention déjà faite au sujet d'une droite indéfinie. La question est à tous égards la même»

Enfin l'introduction des symboles négatifs dans les formules fondamentales de la trigonométrie (celles qui donnent les sinus et cosinus delà somme et de la différence de deux arcs en fonction des sinus et cosinus de ces arcs) se justifie de la même manière que dans les fonctions mutuelles des lignes trigonomélriques. C'est une vérification à faire pour deux arcs déterminés, puis à étendre à deux arcs quelconques. On pourrait encore établir directement <:es formules dans toute leur généralité en prouvant : 1° Que le problème, quels que soient les arcs, se résout par une seule et même construction géométrique applicable aux vingt cas énumérablcs (entre 0 et 360°); 2° que la droite construite est toujours ou la somme ou la différence en un sens ou en un autre de deux produits qui ont chacun deux lignes trigonomélriques pour facteurs; 3 'que cette droite est donnée par une formule unique lorsque Ton lient compte des signes de ces facteurs. Et je rappelle que les valeurs telles que a; et — x sont les symboles des valeurs q +- x et q — x qui les remplaceraient dans un système convenable de coordonnées.

Lorsqu'une fonction dépend de quantités susceptibles des deux signes, elle dépend, en d'autres termes, de certaines sommes ou différences ambiguës qu'on ne déterminerait point sans nuire à la généralité des formules. L'emploi des valeurs négatives n a d'autre objet que de simplifier l'usage de ces sortes de sommes, et on justifie à volonté la convention pour un cas donné en montrant de quelle manière elle a pu spécialement s'y établir. Tel est le principe unique des signes dans l'application de l'algèbre à la géométrie.

442 àPMNDIGE IV.