DO CHANGEMENT DE âlGNE DES GRÀNDÉtJRS CONflNUEl

Lorsqu'une quantité susceptible de deux sens opposés, n -h &, n — x, est continue entre ces deux valeurs, on conçoit nécessairement parmi les valeurs intermédiaires la valeur n. En d'autres termes, la grandeur qui varie continûment entre deux limites quelconques, de part et d'autre d'une limite intermédiaire, traverse nécessairementcelle-ci,etc'est là même qu'elle change de sens. On dit alors que x passe du positif au négatif ou du négatif au positif par zéro, langage conventionnel et symbolique dont la vraie signification parait quand, au lieu d'envisager x isolément, on le rapporte à la quantité indéterminée n, sur laquelle il doit être porté en plus ou en moins. La continuité, comme je l'ai dit ailleurs, consiste dans la possibilité de fixer indéfiniment et arbitrairement des limites dans un intervalle donné, La valeur n correspond à Une de ces dernières dans le cas qui nous occupe.

Si maintenant nous considérons une fonction de la

, a forme y - nous avons un dénominateur qui

change de signe entre des valeurs de x telles que a -f- • et a — a, et nous venons d'expliquer ce qu'il faut entendre par là; mais la fonction se trouve affectée en conséquence d'une manière très différente doat il faut se rendre compte* Aux valeurs a H- s de x répondent de» valeurs positives de t/# et, aux valeurs a — e, des valeurs négative»: c'est une propriété de

la fonction qui n'a jusqu'ici rien d'extraordinaire. Mais les valeurs de y croissent indéfiniment, en conservant leurs signes opposés, à mesure que x s'approchant de a, dans jin sens ou dans l'autre, i décroit indéfiniment. D'après cela, comme x varie d'une manière continue entre a -+- 6 et a — e, et commet/, toujours positif, croît indéfiniment depuis x = a -*- s jusqu'à x = a, et, toujours négatif, croîtdepuis# = a — g jusqu'à x = a, on croit pouvoir dire que la fonction passé du positif au négatif ou du négatif au positif par Vin* fini. Ce sont encore là des termes symboliques dont le sens est clair si on les explique par le fait, tel que je viens de l'exposer; et il est parfaitement vrai que la variable d'une certaine fonction peut prendre deux valeurs aussi peu différentes l'une de l'autre qu'on voudra, et telles que les valeurs correspondantes de la fonction soient aussi grandes qu'on voudra et de sens contraire Tune à l'autre. Il suffit de construire l'hyperbole et ses asymptotes pour se rendre compte de cette loi en géométrie.

Mais on ne se contente pas de connaître une loi ; on demande des essences absolues, un infini actuel, une hyperbole totale, et ou rien ne manque. On imagine alorsune sorte de continuité qui traverse l'infini, comme zéro, avec un changement désigne. Tout cela est chimérique. La fonction m = — donne une valeur ^ * x — a

de y tant que # diffère de a, si peu qu'il en diffère en plus ou en moins, mais elle n'en donne aucune pour # = a; parce qu'il n'y a pas de quantité dont le pro- -

duit par zéro puisse donner a. Le symbole ~ marque

une impossibilité quant au calcul, et par conséquent une discontinuité de la fonclion en géométrie.