valeurs symboliques dites imaginaires

On se fait une idée 1res confuse de Yimpossible dans la science des fonctions numériques, parce qu'on ne dislingue pas avec assez de soin les nombres, les quantités concrètes et les symboles. Ce qui est impossible en un sens peut ne pas l'être en un autre. Par

exemple, la relation exprimée par le symbole -estioi-

possible? arilhméliquement, mais s'applique sans difficulté à la quantité continue ; la relation y/x n'a pas de sens arithmétique dans la plupart des cas, mais elle a toujours un sens géométrique exact; la relation — x est absurde par elle-même et se justifie en prenant place dans un système de quantités comptées

d'une limite arbitraire; la relation [/ — x9 ne peut pas être reçue pour signifier une fonction de x, à quelque titre que ce soit, et pourtant le symbole de cette fonclion impossible exprime la solution générale d'un ordre de problèmes, si bien que l'équation de la

forme x = a + 6i/-i est non seulement possible, mais nécessaire relativement à cette autre équation envisagée dans toute sa généralité:

xT 4-Ar"!-f.Ba?"-a -t- .... =S.

Aucun symbole n'est impossible algébriquement parlant, je veux dire eu égard aux formes abstraites

du calcul. Ainsi les symboles dite quantités imaginaires, et très mal nommés puisqu'ils ne sont nullement imaginaires et n'expriment point des quantités, ne se caraciériseraient pas mieux comme fondions impossibles ou quantités impossibles : Des symboles né-

gatifs simples tels que y — #% considérés isolément, partagent ce genre d'impossibilité. Mais ceux-ci procèdent rationnellement des symboles -h se et — xy admis en vertu d'une convention et appliqués à Tordre concret; les autres n'en procèdent ni n'en peuvent procéder. Toute la différence est là. Il est vrai qu'elle est grande. Cependant, de même que des

symboles de la forme — 1 , ou v — t , admis dans le calcul, absurdes par eux-mêmes» tirent un sens de leur relation possible à d'autres, et se trouvent applicables à l'ordre concret ; ainsi des symboles de la forme cos<p-+-V — 1sin<pt lesquels n'exprimeraient rien que d'inintelligible et de contradictoire s'il s'agissait de les réaliser comme fonctions des quantités sin <p et cos <p, ont une signification très réelle en tant que relatifs à des problèmes exclusivement symboliques: soit celui qui se pose dans l'équation générale algébrique xn ± 1 = 0. Les expressions, racines de degré pair de valeurs négatives^ résolvent réellement, rationnellement, nécessairement des questions de symboles, occupent à ce titre une grande place dans Tordre abstrait où ils s'introduisent par suite de la généralité de l'algorithme, et pourraient se nommer valeurs symboliques, racines symboliques.

460 AWJSNDICf IV.

Ces sorte» de valeurs sont propres à représenter, sous une forme simple et abrégée, des relations considérables, comme entre les trois séries qui donnent les développements de e* de sin x et de cos x en fonction des puissances de x :

e*v"* cosa? •+- V — 1 sin a?.

Il est clair que leur usage doit conduire quelquefois à des formules où ils cessent de paraître* Se demander si de tels résultats ne sauraient être fautifs, c'est supposer qu'on aurait entendu et appliqué le symbole en un sens absurde, ou bien c'est oublier que le calcul est une logique dont les conclusions ne dépassent pas les prémisses.

On a pensé quelquefois que, de même que le symbole— 1, provenu d'une opération impossible, s'adapte cependant à l'expression des lois de l'ordre concret,

de même aussi le symbole V—T pourrait, de sa nature, signifier quelque relation du même genre. Mais les ingénieux auteurs de recherches sur ce sujet me semblent avoir accordé trop de foi aux qualités occultes en mathématiques. La vraie question est de savoir quelles conventions Ton veut et Ton peut faire, sans d'ailleurs fausser ou détourner le sens des relations antérieurement exprimées. Au surplus, les résultats obtenus jusqu'ici n'ajoutent, je crois, rien d'essentiel à nos connaissances.