UPOSAflVS NÉGATIF

Soient les relations simultanées #=* et jf=*— U

Dans la supposition de s>t, on prouve par la seule définition des puissances que

et chacune de ces expressions différentes d'une môme puissance de x a par elle-même une signification claire. Si, au contraire, nous supposons s<i, et par exemple t—s-t-u, en appliquant les règles du calcul à l'égalité précédente, abstraction faite du sens qu'elle peut on non conserver maintenant, nous avons

Or, la dernière de ces trois expressions se conçoit sans difficulté comme le résultat obtenu en effectuant s multiplications et t divisions successives avec le seul facteur x. La seconde, arw, n'a par elle-même aucun sens, puisque le degré d'une puissance ne peut être qu'un nombre : il faut donc lui attacher la signification de — , dont elle sera le symbole; et ce symbole

s'introduit et s'utilise dans le calcul, parce que l'emploi de ar% fait conformément à la règle des signes et à celles des autres opérations de l'algèbre, conduit

aux mêmes résultats que l'emploi de —, ce qu'il est

facile de vérifier. Enfin la première expression a?> ne se rapporte plus alors à une simple puissance. La dénomination de puissance négative, justifiée par les lois du calcul, n'est pourtant qu'une définition nominale

de la fonction composée, quotient de l'unité divisée par une puissance.

C'est dans le même esprit qu'il faut considérer af comme le symbole de l'unité quel que soit x) le rapport de af à xx devenant égal à 1 lorsqu'on a s — t = 0.

THÉORIE DK L'INDÉFINI. 469

Théorie de l'Indéfini et des limites.

1. signification et lois de la fraction (renvoi de la page 144).

La simple inspection de la série indéfinie des nombres fait voir que le problème inverse de la multiplication est insoluble lorsque le produit et le facteur donné sont quelconques.

L'obstacle est dans l'indivisibilité de l'unité. Soit l'équation a = 69 +r, dans laquelle r est moindre que b. S'il était possible de considérer r comme formé d'unités dont chacune ne fût que la bm9 partie de celles qui composent a, b et q, en sorte que désigné par p sous ce point de vue, il fût remplacé par 6p dans l'équation , on aurait a-b(q 4- p) ; le problème serait résolu , et qr-f-p serait le quotient de a par b, toujours réalisable.

Ce serait renverser les notions les plus claires que d'admettre dans l'arithmétique abstraite des nombres hybrides tels que «J-H-p, 9 étant formé au moyen d'une unité et p au moyen d'une autre , et l'on ne saurait plus ce qu'unité veut dire puisqu'on n'a d'abord entendu par ce mot que l'élément constituant du nombre abstrait. C'est cependant ce que l'on fait quand on parle de nombres fractionnaires, et qu'on appelle les fractions des nombres. Les anciens auteurs avaient

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une plus juste idée de la méthode, et ne plaçaient pas ainsi les abstractions hors de propos. Wallis, par exemple, remarque que le numérateur de toute fraction est arithmétique et le dénominateur géométrique, (Opp. p. 27.)

Je n'ai pas besoin de montrer comment le problème de l'unité divisée, impossible arithmétiquement, se résout à volonté pour de certaines grandeurs concrèles, et comment le quolient cnlessus, q -f-p* prend une signification en tant que partie d'une quantité

continue. On convient alors d'adopter lé symbole-

au lieu de p, pour la représentation 4e r unités b fois moindres que celles qui servent à estimer la quantité a9 dividende proposer Ce symbole tire le nom de fraction du fractionnement de la quantité concrète qu'on avait d'abord prise pour unité. La formule de Wallis demande à être légèrement modifiée, ou du moins interprétée : les deux termes de la fraction sont arithmétiques, sont des nombres, mais leur système n'a de sens que relativement à une quantité qui puisse passer pour continue, soit de la nature des lignes, et le dénominateur s'applique particulièrement k la division toujours possible de cette quantité,

Il reste à donner la règle du calcul de ces symboles, c'est-à-dire à déterminer quelles opérations doivent être effectuées sur les termes des fractions (termes considérés comme nombres abstraits) pour la solution des problèmes qui portent sur les parties de la quantité divisée que ces fractions représentent*

THÉORIE DE L'INDÉFINI. 47 i

On peut d'abord exposer un procédé général qui répond a cette question en la supprimant. En effet, il résulte de la définition même de la fraction ., que tant de fractions que Ton voudra, sans changer de signification et de valeur, se prêtent à n'avoir toutes qu'un seul et même dénominateur. Les nombres aussi, dès qu'ils mesurent des quantités de nature continue, prennent à volonté la forme fractionnaire avec un dénominateur quelconque. Or, toute relation ou fonction qu'on se proposera de poser entre les quantités homogènes que représentent des fractions (t) réduites au même dénominateur, se conçoit aisément : en vertu du principe d'homogénéité, le dénominateur commun peut être négligé; on ne fait ainsi que changer l'unité arbitraire* Dès lors, c'est entre des nombres que la fonction s'établit, La réduction au même dénominateur n'est, au fond» que la réduction à la même unité; celle-ci devient donc indifférente au calcul, et il suffira de la restituer dans lé résultat quelconque des opérations effectuées.

Mais on veut aussi attacher un ôens aux symboles d'opérations qui portent expressément sur des frac-» tions. Pour cela, il suffirait, ce semble, de définir ce qu'on entend par somme ou différence, produit ou quotient, dans ce cas nouveau. On déterminerait la composition de chacune de ces fonctions d'après la définition avancée. Enfin on constaterait que le symbole fractionnaire dont les termes se forment suivant

(i) Bina tout ce qui soit» j'étends la dénomination de frvtêti(to k une expression fractionnaire quelconque»

une certaine loi est propre à représenter la fonction demandée.

Hais les définitions ne sauraient être arbitraires. Les résultats qu'elles donnent doivent concorder avec ceux que donnerait l'application des réglas générales du calcul. Il est donc plus simple de suivre ces dernières.

Soit à déterminer la somme ou la différence

r=b— . La question ne se comprend bien, d'une mab d

nière générale et abstraite , que sous la forme

— dh— , et alors elle se résout immédiatement par bd bd r

addticb, parce que l'unité devenue la même est indifférente dans la fonction. Cela fait, si je me rappelle que les nombres ad, cb sont cependant constitués avec une unité bd fois plus grande que celle que les données supposaient, je passerai à l'expression voulue

pour celles-ci, en écrivant la somme demandée sous

addzcb la forme fractionnaire — 7-7 — ■-.

va

[ On pourrait encore poser le problème par l'équa-

ad cb x , % ., â. ., . f

lion 7-7 ±7-; — 7-7 > dou Ion tirerait x=ad±cb, bd bd bd

en vertu de la loi d'homogénéité, par la supposition d'une unité 6c/ fois plus grande. L'équation elle-même résulte de celte loi, car une somme de quantités doit

pouvoir se mesurer par la même unité que les parties. J

a c %Soit de même à déterminer le produit 7.^; j'écris

le problème ainsi , «r-v 7-7, pour la raison déjà dite; et,

ne tenant compte de l'unité, je le résous par le produit adcb. Mais les nombres ad et cb étant formés avec une unité bd fois plus grande que celle que Ton considérait dans les données , et ces nombres étant facteurs l'un de l'autre, l'expression fractionnaire

Tg-^ — -r-. représentera le produit demandé par rapport à la première unité.