CL C

Enfin, s'il s'agit de diviser -r par -r, c'est-à-dire

— par r7> mêmes valeurs ramenées à la même unité.

bd r bd '

c'est-à-dire encore ad par cb en négligeant cette unité, je

remarque que l'expression fractionnaire — ne varie

cb

point avec l'unité qui sert à former les nombres ad et cb, et par conséquent représente le quotient demandé.

[On déduirait les mêmes résultats d'équations fondées sur la loi d'homogénéité.]

Les règles de la formation des puissances et de l'extraction des racines des fractions se déduisent immédiatement des précédentes, lorsque le degré est un nombre (un entier). Enfin la même méthode donnera la puissance ou racine quelconque d'une fraction, le degré étant lui-même une fraction; mais il fout d'abord savoir quel sens on peut attacher à un exposant fractionnaire.

La théorie est analogue à celle des exposants néga-»

47 ft APPENDICE V.

tifs (ci-dessus, p. 466). Lesdeut relations simultanées

étant posées, et s multiple de t , on prouve que

Si, au contraire, t est multiple de 5, soit f— t«, l'extension des règles formelles du calcul à ce cas, quoique sans signification, donne

of— xtt-- Vx.

Cette relation peut s'accepter en ce sens que la

puissance fractionnaire, x" , est un symbole de la racine de degré u de&. Or, les lois de l'algèbre vérifient l'emploi de ce symbole dans toutes les opérations, les résultats étant les mêmes, une fois le symbole admis,

soit que xu ou Vx désignent la racine. De là résulte

une identité algorithmique de la fonction puissance directe avec la fonction inverse» Les trois variables de la fonction ainsi généralisée sont également aptes à représenter toutes les grandeurs de nature continue qui appartiennent à l'ordre fractionnaire. Mais il est fait abstraction ici des difficultés amenées par l'incommensurabilité de certaines grandeurs.

On a vu que la division, opération généralement inapplicable à des nombres donnés, est toujours possible sur des grandeurs tirées de Tordre concret continu. Mais eêllèsi-d sont alôrô suppléés de Vfaies

THÉORIE DE l/ INDÉFINI. 475

quantités, c'est-à-dire réduites en nombres au moyen d'une unité de grandeur arbitraire, et il faut pour cela que cette unité puisse être assignée. En d'autres termes les grandeurs doivent être commensurables. Or, elles ne sont pas toujours commensurables.

Par exemple, si do l'opération inverse de la multiplication nous passons à l'opération inverse de la formation des puissances, il se trouve que non seulement aucun nombre ne sera propre à représenter exactement telle racine demandée, mais môme aucune fraction n'y sera propre : on le démontre facilement. Il n'est donc pas possible en ce cas, et c'est le plus ordinaire, d'assigner une quantité qui, prise pour unité, permette à la fois l'évaluation numérique de la puissance et celle de la racine; et cependant toutes deux se présentent dans Tordre concret, déterminées par les lois de cet ordre : on peut toujours les construire géométriquement, par la règle et le compas, quand elles sont du second degré.

Le problème de la détermination numérique ou fractionnaire exacte des racines étant reconnu insoluble, on résout cet autre problème : déterminer deux quantités, deux fractions, aussi peu différentes l'une de l'autre qu'on voudra, telles que Turte ait pour puissance une quantité plus grande, l'autre pour puissance une quantité plus petite que telle quantité proposée* Pour que cette approximation possible , indéfinie, de* vint une solution exacte, il faudrait que la quantité ne fût pas seulement divisible indéfiniment, mais encore effectivement divisée en certaines unités moindres

que toute quantité assignable» ce qui est contradictoire avec la définition du continu, et par conséquent absurde.