CALCUL DE L'INCOMMENSURABLE , EH GÉNÉRAL

Des grandeurs déterminées peuvent être incommensurables, c'est-à-dire n'avoir point pour commune mesure une grandeur assignable, quelque petite qu'on la suppose. Exemple, la diagonale et le côté du carré, dont la commune mesure demanderait des nombres tels que la deuxième puissance de l'un fût double de la deuxième puissance de l'autre : condition impossible.

Il n'existe donc pas de rapport entre deux quantités de ce genre, séparément mesurables, a et b. Mais un rapport existe toujours entre Tune d'elles, soit a, et une autre quantité, ôdbe, variable, que l'on peut toujours supposer différente de b, de moins que d'une quantité assignée, quelque petite que soit cette dernière. J'omets la démonstration de ce point qui est très élémentaire.

Toute relation tirée des données d'un problème, ou posée à priori dans l'analyse,

lorsque a, b, c, d,.... ne seront point supposées cornmensurables entre elles, pourra donc être entendue dans le sens de

f{a, b -; c, c -+- t\d -f- e", ...) = 0. Les symboles b, c, d,... n'y représenteront pas alors

précisément les quantités proposées et définies, soit dans l'ordre concret, soit comme propres à la solution d'une question d'analyse, mais d'autres quantités qui en diffèrent respectivement de moins que d'une quantité quelconque et arbitraire. Ainsi les rapports de la

forme - seront les symboles des rapports possibles a

. Dans toute autre supposition, il serait contrait

dictoire de regarder l'équation comme donnée entre des nombres.

Les symboles a, 6, c, d,... doivent paraître sans changement dans le calcul, sous cette interprétation nouvelle ; car si l'on y substituait les symboles a, J+6, c-f e', d -f- eff, ..., on admettrait les quantités a, ft, c, dj ... e, 6f, e", .•♦ comme toutes commensurables entre elles, ce qui est contre l'hypothèse. Mais, dans la donnée de cette substitution, supposée pour un moment, on trouve la justification, ou preuve à posteriori, de la théorie que je présente. En effet, la thèse du contradicteur consiste à poser comme possible, et, de plus, comme nécessaire pour la rigueur, l'introduction des quantités elles-mêmes, a, b,cfd,... dans le calcul. L'équation f(a, b, c, d9 ...) = 0 est donc intelligible de quelque manière. Il en sera de même, pour les mêmes raisons, quelles qu'elles soient, de l'équation f(af b -+- e, c -4- e', d ■+- e",. ..)=0, les quantités accessoires étant définies comme précédemment. Or, cette dernière est toujours équivalente à la somme de deux fonctions (soit qu'on puisse ou non

les séparer par le calcul) ,

<f (a, fc, c, d, ...)-j-<J>(a, 6, C, d,... e, e', e" ...) = 0,

dont l'une représente ce qu'aurait donné l'analyse sans l'introduction des quantités accessoires, tandis que l'autre , qui dépend de la modification apportée, est nécessairement telle qu'elle devienne nulle quand on fait simultanément 8 = 0, e'=0,e'f=0,... . Cette condition, s'il s'agit de quantités continues, signifie que la seconde fonction doit décroître indéfiniment lorsque e, e', e",.. sont supposés de plus en plus petits à partir de certaines valeurs. Mais ces termes sont indéterminés et arbitrairement réductibles, par hypothèse; donc, en désignant par n uue quantité de la même condition, on peut poser

On voit que la considération des termes complémentaires indéterminés amène pour tout changement dans les équations, c'est-à-dire dans les résultats comme dans les données de l'analyse, de nouveaux termes que Ton peut encore supposer moindres qu'une quantité assignée quelconque. Le contradicteur peut donc être mis au défi d assigner Terreur commise à son point de vue, puisque, quelle que soit la quantité qu'il assigne comme telle, on est en droit de la réclamer moindre. Une erreur de cette espèce est nulle de fait, tant qu on ne sort pas du domaine de la spéculation.

Le partisan du calcul des incommensurables mêmes ne peut donc reprocher à la théorie que j'expose que Y hypothèse d'une erreur indéterminée, discrétion-

noire, indéfiniment réductible, portant sur les quantités incommensurables proposées , auxquelles d'autres quantités sont substituées par la pensée. Mais celte erreur, ou différence, est exigée par la nature de la question, si l'on ne veut point supposer la commen* surabilité des incommensurables; et elle est inassignable en théorie ; et si le calcul numérique la déter* mintf nécessairement, c'est une preuve de plus qu'elle est inévitable , en tant que quelconque, et que les méthodes qui pensent y remédier sont fausses. Au contraire , le calcul prétendu des incommensurables mêmes implique un autre genre d'erreur, une contradiction y en écrivant des rapports symboliques entre quantités qu'on a prouvé ne pouvoir point être réduites en nombres au moyen d'une même unité.

Si l'algèbre conserve toute sa généralité, ce n'est donc pas que les quantités continues, liées dans l'ordre concret, aient toujours dans le fond une mesure commune, ainsi que le dogme de l'infini l'assure; mais c'ç&t qu'en leur en supposant une, on commet une erreur arbitraire touchant telle quantité proposée qui ne peut alors demeurer sans modification. Et la rigueur propre au calcut des incommensurables consiste dans l'expression symbolique d'une approximation indéfinie qui, ne se déterminant jamais en théorie, est toujours plus grande qu'on ne saurait l'assigner, c'est-à-dire enfin équivalente à l'exactitude.