APPLICATION A LA GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE

(Renvoi de la page 152.)

Il y a contradiction à poser un rapport arithmétique entre quantités incommensurables, contradiction à admettre pour une quantité concrète quelconque une mesure donnée par un nombre dont l'unité est inassignable par hypothèse, à moins qu'on ne s'en réfère à la théorie précédente.

Ainsi quand on dit que deux rectangles qui ont des bases égales sont entre eux comme leurs hauteurs, même dans le cas où ces dernières sont incommensurables, il faut entendre que dans l'égalité Rh'= Rh, A et h, par exemple, sont des nombres qui expriment l'un un rectangle et l'autre une droite, indéfiniment approchés du triangle proposé et de sa hauteur. De même, l'égalité R=z bh donnant la mesure d'un rectangle quelconque, si les dimensions ne sont pas toutes deux commensurables avec une certaine ligne, auquel cas là base et la hauteur ne sauraient être simultanément des nombres, cette égalité n'existe qu'à condition que R et h soient interprétés comme je viens de le dire.

Si Ton veut que R et h soient les symboles propres des quantités proposées , alors les véritables égalités seront, je suppose :

(R-hr)A'=«r(/iH-.t); B-+-r— h(h-t-i).

r désigne ici un rectangle dont la base est b, et dont la hauteur i est indéterminée, de grandeur arbitraire, ou du moins sous des conditions qui permettent de la

faire moindre que toute droite assignée, quelque petite que soit celle-ci. Les nombres qui paraissent alors dans les égalités sous les symboles R -+-r, h-hi, n'y représentent point des sommes de deux nombres. Cette remarque est essentielle. De même, là mesure d'une circonférence et celle d'un cercle ne sauraient être supposées légitimement et en parfaite rigueur. Le symbole *, qui représente le nombre mesurant la circonférence dont le diamètre est l'unité linéaire, n'a vraiment un sens numérique qu'autant qu'au lieu de cette circonférence on considère le périmètre d'un polygone régulier inscrit ou circonscrit ; et dans l'équation c — 2??r, c est un autre périmètre polygonal dont l'apothème est r. Mais comme il est démontré que la circonférence est comprise entre deux polygones dont les périmètres se rapprochent indéfiniment et diffèrent à volonté de moins que de toute quantité assignée, quelque petite qu'elle soit, il s'ensuit qu'en appliquant les nombres c et r à une circonférence et à son rayon, et en désignant par i? la longueur de la circonférence qui a l'unité pour diamètre, on exprime symboliquement comme mesure de la circonférence celle d'une longueur variable dont elle est la limite. Il n'en est pas moins vrai que, pour être des nombres, c, w et r doivent se rapporter à des polygones.

Il faut donc repousser les démonstrations prétendues ou les postulats qui tendent à donner un sens rigoureux, positif, toute idée d'approximation écartée, à une équation telle que C — 7cra? par exemple, dans

laquelle C représenterait un certain nombre de carrés et 1er9 un produit de deux nombres qui ne peuvent être obtenus que par la mesure commune de deux ligues qui n'ont point de commune mesure. Ou il y a là une contradiction palpable et criante , on la méthode des limites, expliquée de manière k donner des résultats de oette espèce , est un déguisement de la foi dans les ininiments petits. Cette dernière n'évite pas la contradiction, mais la consacre sous le nom d'infini. Telle est pourtant la force du préjugé, que des mathématiciens aiment mieux embrasser l'absurde que de renoncer à ce réalisme prestigieux qu'ils appellent de la rigueur, et dont ils se targuent. Comme si la rigueur pouvait consister à assigner une mesure exacte des quantités qui ne sont susceptibles que d'une mesure approximative !

Mais cette approximation, dont il faut bien se contenter, est indéfinie; et delà une admirable rigueur, oette fois vraie et sans mystère , qui permet l'introduction des quantités continues quelconques dans le calcul, sous le symbole fie celles qui, étant mesurables et demeurant indéterminées , ne diffèrent des premières que d'une quantité arbitrairement petite. Or, tout autant que la substitution est seulement supposée et qu'on ne sort pas des relations exprimées en général pour en venir aux applications arithmétiques, la théorie est pleinement rigoureuse. Il est vrai qu'à priori on considère, au lieu des quantités proposées, d'autres quantités, mais Terreur est indéterminée, toujours inassignée et arbitraire; et,

THÉORIE DE l/lNDÉFINI. 483

à posteriori, on prouve qu'elle est inassignable et nulle en ce sens, puisque le géomètre a toujours pu envisager une différence moindre que celle qu'on objecte, quelque petite que soil celle-ci.

En résumé, les propositions de géométrie élémentaire par lesquelles on se proposait d'établir des rapports entre deux quantités incommensurables A et B doivent, pour la rigueur, se réduire à la convention suivante :

Si À est la limite d'une série de quantités a, a', a"} etc., et si B est la limite d'une série de quantités

b, b\ b", etc., commensurables avec les premières, ^

sera le symbole d'un rapport tel que — \ dont les

ternies am et 6W demeurant indéterminé* peuvent être supposés différer respectivement de A et de B, de moins que d'uno quantité assignée, ou assignable de fait, quelque petite qu elle soit ; en sorte que Terreur attachée à la considération de la variable, au lieu de sa limite, ou de la limite au lieu de sa variable, ne puisse être assignée et doive nécessairement être tenue pour nulle dans la théorie.

4u contraire, la nature du calcul numérique exige une erreur précisée quelconque ; mais le calculateur la resserre entre des limites aussi rapprochées qu'il le désire.

ÎU ' fatums DU CALCUL DE L'iNDiriNI.

(Renvoi de la page 157. )

Je ne me propose d'exposer que ceux des principes qu applications élémentaires de ce calcul qui me paraissent utiles à l'intelligence de la méthode» Je glisserai donc sur les développements purement mathématiques.

Je commence par envisager l'analyse de l'indéfini dans quelques problèmes fameux, et d'abord dans celui-là même où elle se produisit pour la première fois.

Problème des maxlma et mlnlma» — Soit une

fonction continue d'une variable: y ~f(x). On demande pour quelles valeurs de x cette fonction est un maximum ou un minimum, c'est-à-dire après quelles valeurs elle commence à décroître ou à croître, alors qu'elle a crû ou décru continûment ? Toute valeur de ce genre de y, soit y', est comprise entre des couples de valeurs égales de la forme y1 — k s'H y a maximum, et y'+ k s'il y a minimum, pourvu que k soit supposé suffisamment petit. Ces couples correspondent, pour un cas comme pour l'autre, à des valeurs x — h et x1 + h9 de la variable. Gela posé, le rapport

(j/'±fc)-(g'±fe) f[*+V)-ffr—h) {af+h!)—{x'—k) h'+h

entre l'accroissement de la fonction et celui de sa va-

THÉOltIE DE L'INDÉFINI. 485

riable depuis x' — h jusqu'à af-+-hf est nécessairement nul, car on a (yr±fe) — (y'±fc)~- °> <luel <lue soit k.

Mais l'équation tirée de la condition ci-dessus ne saurait nous donner les valeurs de x', parce que ni h! ni h ne sont déterminés.

Soient x' — A — a? et N+ hzzzi, l'équation précédente devient :

et x représente les valeurs cherchées, aune différence indéterminée près. Ceci posé, remarquons que cette équation, vraie pour des valeurs suffisamment petites de k et, par conséquent, de h, h! et i, restera toujours vraie, quelque petites que soient supposées ces mêmes valeurs, indéfiniment diminuées ; et, en effet, dans un intervalle assigné de part et d'autre de t/', et indéfiniment resserré, on placera toujours à volonté deux valeurs de la fonction égales entre elles, y'±k. Donc le numérateur peut d'abord être égalé à zéro quel que soit i, et cette indéterminée pouvant y être supposée moindre que toute quantité assignée, on l'y fera nulle pour passer de la valeur x1 — h à la valeur x'. L'hypothèse i~~0, introduite après toutes réductions faites, donnera une ou plusieurs valeurs de x, qui seront précisément les valeurs cherchées.

Ainsi l'équation du problème se trouve en exprimant l'égalité à zéro de la limite du rapport de la différence de la fonction à la différence indéfiniment décroissante de la variable. Nous verrons, plus tard,

comment on distingue anaiyliquement un maximum d'up minimum.

Exemple élémentaire. Soit f(x)-=.x (a—x) ; & 6st une droite donnée dont x, valeur positivé et moindre que a> est une partie. Le problème est de partager une droite de manière que le rectangle de ses deux parties soit le plus grand pofesible. Nous poserons : (x+i)(a — x — i) — x(a — x)

d'où égalant à zéro le numérateur et le réduisant : a — ito— izmO, et* à là limite* i étant fait Util i

[On a coututoe de fonder la théorie des maœima et minima sur cette considération, que V accroissement de la fonction qui, de positif, devient négatif, on de négatif* positif* en variant continûment, passe par zéro. Mais qu'est-ce que passer par zéro? Les géomètres s'accordent à repousser l'infini réel* autant qu'à en faire usage. Ils n'entendent donc pas, sans doute, que l'accroissement de la fonction prend un nombre infini de valeurs effectives parmi lesquelles se trouve la valeur nulle. Quel est l'accroissement de la variable auquel correspond l'accroissement zéfro de la fonction? Est-il déterminé? Assurément non. Est-ce quelque limite dont il se rapprocherait par une diminution indéfinie? Alors en quoi cette limité diffèret-elle de zéro? Oa arriverait ainsi à présenter, non comme nulle, mais comme indéterminée la limite du rapport de la différence de te fonction à la différence

THÉORIE ob l'inbéfini. 487

indéfiniment décroissante de la variable dans le cas d'un maximum ou d'un minimum.]

Problème fie» tangentes. —L'idée que nous BOUS

formons d'une ligne courbe en général est telle que, tout en l'opposant à l'idée d'une ligne droite, nous n'en obtenons cependant une représentation claire et propre à la distinguer de toute autre qu'en attribuant à ses éléments certaines directions. Mais la direction d'une courbe varie continûment. Afin d'accorder cette continuité, sans laquelle il n'y a plus de courbure, avec la discontinuité qu'une série de directions déterminées exigerait si celles-ci étaient données effectivement par autant d'éléments rectilignes, on suppose ces éléments en nombre indéfini ; on règle, par hypothèse, qu'ils ne sauraient être assignés séparément de quantité sans erreur-, et sans être pris trop grands, quelque petits qu'ils soient : à cet effet, l'analyse les laisse indéterminés, et cette indétermination même, sous la condition posée, permet de les chasser des équations qu'ils ont fait obtenir et d'atteindre ainsi la solution des problèmes les plus généraux de la géométrie. C'est le véritable esprit d'une méthode que la théorie des limites, telle qu'on la présente communément, n'éclaircit pas, et que la doctrine de l'infini entache de contradiction.

On substitue donc à une courbe donnée le polygone formé delà série des cordes indéfiniment petites substituées à leurs arcs» Celles des propriétés de ce dernier qui sont indépendantes du nombre et de la grandeur des côtés, appartiennent à uoe certaine figure variable

dont la courbe est la limite, et que Ton peut prendre à sa place et sous son nom, en tant qu'elle en diffère géométriquement aussi peu que Ton veut Et si Von parvient à exprimer ces propriétés par le calcul, en introduisant la condition que les côtés du polygone soient moindres que tonte quantité qu'on assignerait, il s'ensuit qu'on doit les rapporter à la variable, en tant que celle-ci ne peut être dile différer numériquement d'une quantité, quelque petite qu'elle soit, de celle de ses valeurs qu'on regarderait comme la dernière et comme identique avec la courbe, si une telle identité était réalisable. En aucun autre sens on ne saurait légitimement attribuer à une courbe quelconque les propriétés que nous avons en vue ici, et dont nous allons nous occuper.

La tangente à une courbe en un point donné est le prolongement de l'élément rectiligne indéfiniment petit considéré en ce point , conformément aux explications précédentes. On a coutume de regarder cette droite comme la limite des sécantes qui ont toutes un point commun sur la courbe, lorsque les seconds points d'intersection tendentà se confondre avec le premier. Mais cette limite n'est pas donnée géométriquement en général ; et il n'en est pas ici comme d'une courbe et d'un polygone inscrit, je suppose, cas dans lequel la variable et la limite sont également posés et définis à priori. Une définition générale, directe et proprement géométrique de la tangente suppose qu'on substitue à la courbe le polygone d'un nombre indéfini de côtés, et c'est la détermination de

THÉORIE DE l/lNDÉFINI. 489

la limite d'une fonction qui résout le problème. Pour éviter tout malentendu sur ce point délicat, remarquons qu'il y a trois manières d'envisager une ligne courbe: 1° particulièrement, à l'aide de quelque définition géométrique impliquant une construction ; alors la tangente peut avoir une détermination spéciale aussi, comme dans les sections coniques ; 2° généralement et par intuition : dans ce cas, l'imagination nous représente un tracé continu quelconque, et il est clair que cet ordre d'idées permet une entière assimilation du tracé courbe à un polygone dont les côtés seraient suffisamment petits et multipliés ; ce n'est point là de la géométrie scientifique, mais c'est un appui, un fondement sensible et tout à fait nécessaire pour les objets abstraits de cette géométrie; 3° généralement encore, mais cette fois au moyen d'une fonction numérique (algébrique) de certaines variables, fonction continue dont les valeurs répondent à un nombre indéfini de points d'une portion quelconque du tracé. La tangente n'est plus le prolongement d'un côté du polygone qu'autant que les côtés sont multipliés indéfiniment entre deux points quelconques, et cette condition ne saurait être exprimée ni bien comprise que par le calcul. On peut alors la définir une droite menée par un point de la courbe, et formant avec l'axe des x un angle dont la tangente trigonométrique est donnée par la valeur en ce point de la limite du rapport des différences de l'ordonnée et de l'abcisse quand elles décroissent indéfiniment. (Je suppose ici la courbe plane.)

La définition tirée du prolongement de la corde id déterminée substituée à l'arc de courbe est du domaine de l'intuition, mais rigoureuse et scientifique, grâce à l'analyse, et en tant qu'il est possible d'exprimer que les extrémités de cette corde sont séparées par tfo intervalle moindre que toute quantité assignée quelconque.

Soit y — f (x) l'équation d'une courbe plane continue quelconque, en coordonnées rectangulaires; h et k9 des accroissements indéterminés correspondants de l'abcisse et de l'ordonnée. Si nous pouvions obtenir une expression générale, en fonction de «et

des constantes de la courbe, de la limite du rappOH-r-

lorsque ces différences sont indéfiniment décroissantes, et cette condition même servant à l'élimination des indéterminées de l'équation, soit

<p (x) =z hro. — ~ s-^-s

cette fonction nous ferait connaître la direction d'une droite menée par un point quelconque de la courbe en prolongement d'utie corde moindre que toute quantité assignée ou assignable de fait. Or, celte droite serait la tangente, en vertu dé là définition ; oti en obilëhdrdU f équation, pour un point de la courbe donné

par les coordonnées #', y\ en substituant <p ($') à t

dtans l'équatioti de la sécante qui pàssd pkt lés poî&ts oi, yTet £4- h, jf + k:

THÉORIE DB l/lK DÉFINI. 49 1

Pour résoudre ici la question sur un cas particulier, prenons l'équation de la parabole y2 =.%px. Le rapport de la différence de y à celle de #, tiré de la coa-*

ditien (u-4-fc)* = 3p(aH-/i), est

fc 2p

qui à pour limite —£ — , lorsque k décroît indéfiniment. Ce derniet* rapport détermine ia direction d'une corde quelconque de la pafrabolë , indéterminée dé grandeur et supposée moindre que toute quantité qu'on assignerait, quelque petite que fût cèllfe:fci, puisqu'il serait alors contradictoire d'attribuer une valent* quelconque à k au regard de p et de \/%pto. Ettfln la tangente à la parabole au point dont les coordonnées sont a/, tf, a pour équation

9 * [/2px>x J

Le problème général de la droite tangente nous conduit, comme on voit, à poser la question analytique de l'expression générale de la limite du rapport de la différence d'une fonction à celle de sa variable, quand ces différences décroissent indéfiniment, c'està-dire de cette même limite dont la condition d'égalité à zéro nous permettait ci-dessus de déterminer les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction est un maximum ou un minimum.

Problème de* rectiOtattom» et quadratures. —

lies géomètres les plus attachés à la rigueur, ceux qui

suivent la méthode des limites, déterminent les longueurs et les aires de courbe par les limites où tendent les périmètres et surfaces des polygones inscrits ou circonscrits, dont les côtés croissent de nombre et décroissent de grandeur indéfiniment. En effet, ces périmètres et ces surfaces admettent l'application des formules de la géométrie élémentaire pour la mesure des figures à contours rectilignes, et conséquemment se laissent représenter par des nombres (sous la réserve de l'incommensurabilité dont j'ai traité ailleurs). .Mais il n'en est pas de même des courbes. Il n'est pas clair que celles-ci aient, en général, dès longueurs et des aires numériquement évaluables. Même en prouvant que les limites de ces fonctions polygonales existent analyliquement» et de ce que les courbes de leur côté sont les limites intuitives des polygqnes,on ne saurait conclure que ceux-ci font atteindre la mesure de celles-là, si d'ailleurs on ignore comment de telles mesures peuvent se poser et se comprendre. On tourne alors la difficulté en considérant par définition la longueur et l'aire d'une courbe comme les limites des fonctions polygonales. Mais ces définitions de mots sont par elles-mêmes peu satisfaisantes, laissant de côté la question philosophique, et d'ailleurs ne répondant pas à ce qu'il y a nécessairement d'intuitif dans une science comme la géométrie. Je crois préférable d'établir avec netteté ce que, dans le fond, on avoue : la mesure n'atteint pas la courbe même, en tant que telle, mais épuise le polygone variable substitué à la courbe, un polygone qui a ce caractère de

THÉORIE, DE i/lNDÉFINl. 493

différer de la courbe aussi peu que l'on veut, quant à l'intuition géométrique, et dont la mesure se prend pour le cas, exprimable analyliquement, où aucune quantité, quelque petite quelle soit, ne saurait être assignée à la dimension de ses côtés. La méthode expliquée ci-dessus pour les tangentes est imposée ici encore plus rigoureusement.

Soit donc une aire terminée par l'axe des x, par deux ordonnées rectangulaires ya, yb de la courbe y =<p (x), et par le polygone indéterminé inscrit entre les points a, ya etb, yb. Nous supposons 6>a. On se propose de trouver la limite des valeurs de celte aire lorsque les côtés augmentent de nombre et diminuent de grandeur indéfiniment, si une telle limite existe. Désignons par u la valeur de l'aire partielle correspondante à un côté quelconque dont les points extrêmes ont pour coordonnées x, y et x-h-h, y+k, et par (71a valeur de Taire totale entre les points a, ya et h, y*. On a d'abord :

, hk u k

d'où, k étant une quantité indéfiniment décroissante, on a, quel que soit x>

lim. £ = »— ?(*)•

Maintenant, si nous remarquons que h, différence des abscisses des sommets consécutifs du polygone, peutêtre supposée constante, quelque petite qu'elle soit, et qu'étant prise pour une partie aliquote de b — a, rien n'empêche qu'on assujettisse le polygone k cette condition,

404 AmNtorce v.

la valeur de V se présentera sous la forme suivante, en daignant par ym$ ya+k, ym+flhJ ..., les ordonnées correspondantes aux abseisses a, a+h, a + 2h, ..., et par ka, fc*+A, t-+«, ..., les différences entre ces ordonnées et celles qui les suivent immédiatement :

-H !/•-*) -h -fc (=fc *. ± fca+A ±...±t>tt±: *>,).

Lorsque Ton considère un nombre de termes inàp- Animent croissant, par suite de la diminution, indéfinie de A, la seconde partie çlu secpnd membre descend avb dessous d'une quantité assignée quelconque. En effej, dans le cas le plus défavorable, celui où tous les termes de la forme kn sont de môme signe, Qn a :

ka ■+■ ka+h H" ••• -+■ fc*~ 2A+fc*— *= y«+A — y«"+*y« +»

— ya+k -h ... «+- y,4 — y>~<* ~H t/» — t/»-4

quantité déterminée à multiplier par une quantité indéfiniment décroissante, et cette réduction est indépendante de A, ou du nombre des termes. La limite de U est donc celle de l'expression

Mais nous savons que y est la limite de -, rapport de

l'aire partielle à la différence des abscisses ; d'où Ton voit que ta limite de h valeur de l'aire totale est ta

THÉORIE BE t/ INDÉFINI. 495

limite du produit de la différence indéfiniment décrois santé des abscisses par la somme des valeurs en nombre indéfini des limites des rapports des aires partielles à cette même différence :

lira. U = Iim. h [<p(a) + ç(a •+* A)-+r ... -+- <p(6 — 2A)

Le problème est krin d'être résolu, puisque la limite cherchée implique la somme d'un nombre interminable de valeurs de la fonction proposée, correspondantes aux valeurs possibles de l'abscisse depuis a jusqu'à b dominées par la spus-di vision indéfinie de A. Toutefois, soit f (ap), une autre fonction, telle que Ton ait ;

ft il vient par substitution ;

Km. U =. lira, h j ^-±

/'(0-baft)-/,(Q-t-/») , ^ f(t>-rh) nr f(b — U)

li h

J(l>)-f(b-hj 4 h

Qr, ta SQOVW& des numérateur» des termes de oâttp forme est toujours égale à f{b)-rf(a)> différence inéépédante de h. Dès lors, l'indéterminée disparaît de la relation, et Von a :

Hm; U=*f(b) - f(a).

Exemple : Il peut arriver que la fonction f(x)> dfoù la solution du problème dépend, se découvre immé-

diatement. Soit donnée la courbe qui aurait pour

équation xy% = ~p,ouy - y/ f ~-\ cette équation est

identiqueavecy=--~ — , que nous avons vue plus haut

représenter la limite du rapport de l'accroissement indéfiniment petit de la fonction l/ipx à celui de sa variable. Donc cette dernière fonction, dans laquelle on fera successivement x = a, x = b, donnera par la différence:

f{b)—f(a)= y/lpb—y/%pay

la limite où tendent les valeurs de l'aire du polygone inscrit à la courbe entre les ordonnées yk et yuy lorsque le nombre des côtés crot t par la division indéfinie des abscisses qui déterminent les sommets.

On voit aisément ce que ces propositions rigoureuses peuvent devenir sous la forme d'une approximation grossière, mais commode pour l'imagination et qui fait tout le mérite et le sens de l'infiniment petit géométrique, f (x) serait la somme infinie effective des valeurs de 9 (x) multipliées par une fraction infiniment petite effective de x} et donnerait entre deux abscisses quelconques la mesure d'une aire de courbe formée d'une infinité d'éléments.

Le problème des aires fut justement nommé problème inverse des tangentes. On voit que la solution en est ramenée à cette question d'analyse : Déterminer une fonction telle que la limite du rapport de sa différence indéfiniment décroissante à la différence indé-

THÉORIE DE i/lINDÉFlM. 497

finiment décroissante de sa variable, soit une fonction donnée.

Le problème direct et inverse des limites doit se présenter toutes les fois qu'on s'est proposé la mesure, inabordable directement, d'un continu quelconque donné par une fonction de deux variables (pour n'en pas supposer ici un plus grand nombre) ; car ce qu'on peut chercher alors c'est la limite du produit d'une somme indéfinie de valeurs par une quantité indéfiniment petite, et ces valeurs elles-mêmes sont celles que peut prendre la limite du rapport de l'accroissement d'une fonction donnée à l'accroissement de sa variable, lequel est cette quantité indéfiniment petite.

S'il s'agit, par exemple, de la limite des valeurs du périmètre du polygone inscrit ci-dessus défini, l'équation de la courbe étant y = <p(#)> k valeur d'un côté quelconque est :

s =: \/¥+H? = h yi+^j d'où,

et la question revient à chercher une fonction, f(x), telle que l'on ait : f (*) = lim. /> -*- *) — fW<

Ainsi le problème des rnaxima et minima et celui des tangentes, d'une part, le problème de la mesure des aires, de l'autre, nous ont conduit à nous poser deux questions d'analyse inverses et complémentaires :

498 appendice y.

1° Une fonction quelconque étant donnée, et considérée par rapport à une variable indépendante, dé* terminer d'une manière générale, c'est-à-dire pour une valeur quelconque de cette variable, la limite du rapport de la différence de la fonction à celle de la variable, lorsque ces deux différences décroissent indéfiniment.

2° Étant donnée la fonction qui exprime la limite ainsi définie, et cela relativement à quelque autre fonction inconnue, déterminer cette dernière.

Si ces deux questions étaient résolues, nous posséderions avec la solution des problèmes indiqués cidessus , celle de tous ceux dont l'analyse exige la considération de la quantité au point de vue de sa composition indéfinie.

Principes généraux et notations. — En essayant

de présenter sous une forme concise et didactique le procédé que nous avons suivi et les principes sur lesquels nous nous sommes fondé dans l'analyse des problèmes qui nous ont servi d'introduction et d'exemple, nous arrivons aux énoncés suivants :

A. Nous avons introduit dans le calcul des quantités indéterminées d'accroissement d'une fonction et de sa variable. Cette indétermination a dû rester pleine et entière dans le cours de l'analyse et être invoquée pour l'interprétation des résultats.

B. Ces accroissements indéterminés nous les avons supposés à priori moindres qu'aucune quantité qui pût nous être assignée, c'est-à-dire indéfiniment petits, ce qui nous était permis à raison de leur indétermi-

hation même, et, de là, nous avons tiré les conséquences portées aux articles suivants.

C. Quelque prolongée que fût supposée la diminution de nos indéterminées, il y avait lieu de leur reconnaître des rapports en général définis. Nous avons considéré, sous le nom de limites, des valeurs dont ces rapports s'approchent indéfiniment et dont ils peuvent différer de moins que de toute quantité assignée, sans jamais les atteindre. En déterminant ces limites, bous avons par là même éliminé les indéfiniment petits sans porter atteinte à leur indétermination propre, et aprèàque, parleur moyen, certains résultats étaient obtenus.

D. Mais les accroissements indéterminés, soumis au calcul et traités comme les autres quantités, sous leurs symboles généraux, se sont présentés dans nos équations en termes séparés et non pas seulement par leurs rapports à d'ail très quantités de même nature; nous avons pu et dû les négliger alors comme nuls vis-à-vis des termes définis. Et, en effet, si, dans ce cas, nous en avions tenu compte, nous les aurions supposés par là même déterminés d'une manière quelconque ; au contraire, Terreur que nous paraissions commettre en les négligeant ne pouvait être assignée sans erreur et sans contradiction! C'est le procédé constant d'élimination de ces sortes d'indéterminées après qu'on eii a fait usage.

E. Enfin, la recherche d'une fonction de laquelle bn connaît la limite du rapport de sa différence indéfiniment petite à la différence indéfiniment petite de

sa variable équivaut à la recherche de la limite de la somme d'un nombreindéftnidequantités indéfiniment petites. Ces deux opérations, Tune de division, l'autre de sommation, doivent s'accompagner toujours l'une Tautrfe et demeurer corrélatives dans la pensée du géomètre. Toute quantité X est alors regardée comme de

la forme — e, c'est-à-dire comme la somme d'un nombre e

indéfini de fois une partie aliquote indéfiniment petite ; l'esprit de la méthode consistant à repousser par hypothèse toute valeur définie que l'indéterminée e pourrait recevoir. Celte convention fait atteindre des résultats analogues à ceux que l'on pourrait tirer de la donnée d'une composition effective des quantités, si la continuité de celles-ci permettait de fixer un terme à leur sous-division prolongée. Mais ici l'élimination des indéterminées a lieu rigoureusement en vertu de l'hypothèse même qui les met en œuvre.

Ces choses étant bien entendues, il n'y a nui inconvénient de théorie, et l'avantage est grand pour lecalcul à opérer sur les indéterminées comme sur les quantités proposées elles-mêmes, Si, d'un côté, ces parties fictives du quantum se négligent, dans certains cas, sans erreur assignable, ou plutôt doivent être annulées par hypothèse, ainsi que je l'ai démontré, de l'autre, elles sont comparables entre elles ; et comme elles sont indéfiniment composées elles-mêmes, il est permis de feindre de nouvelles indéterminées, indéfiniment petites, qui soient aux premières ce que celles-ci sont aux quantités définies. 11 ne ^aur^it y avoir de difficultés *

cela, si Ton n oublie point que l'analyse porte toujours et uniquement sur des rapports. Une extension tout à fait nécessaire est ainsi donnée à la méthode, car si

trois quantités sont en proportion, -rzz^.-y b ne peut

décroître indéfiniment par rapport à a que c ne décroisse indéfiniment par rapport à b.

Le sens que Ton doit attacher aux symboles des quantités indéfiniment petites est maintenant fixé, et nous pouvons énoncer le problème général du calcul de l'indéfini dans des termes nouveaux et plus simples dont le symbolisme convenu ne nous fera pas illusion :

1° Déterminer l'accroissement indéfiniment petit d'une fonction continue quelconque correspondant à l'accroissement indéfiniment petit d'une variable;

2° Étant donné l'accroissement indéfiniment petit d'une fonction correspondant à celui d'une variable, déterminer cette fonction.

On représente par dx, dy, dz, etc., les accroissements indéfiniment petits de x, y, z, etc. Si z est une fonction de x et de y variables indépendantes,

dz dz

— , -7-, seront les symboles des limites des rapports

des accroissements indéfiniment petits de la fonction

à ceux de ses variables. Ensuite, ces limites étant

elles-mêmes des fonctions dont les variables x et y

ont de nouveaux accroissements indéfiniment petits

cPz (Pz que Ton peut supposer constants, -7-, -j- repré-

senteront les accroissements indéfiniment petits cor-

509 APPENMC* V.

respondants à dx ou à rfydans les nouvelles fonctions, et-7-5,-T-ï, seront les symboles des nouvelles limites.

Enfin, cette notation se continue dans les symboles

M» dtf' etc"> etc-

Les indéterminées indéfiniment petites se nomment des différentielles* et les fonctions qui expriment les rapports des différentielles des fonctions à celles de leurs variables se nomment coefficients différentiels de ces fonctions relativement à ces variables. La détermination des limites des fonctions est la différentiation, qui se continue d'ordre en ordre s et indéfiniment, à moins que l'un des coefficients différentiels d'une fonction donnée ne se réduise enfin à une constante.

L'importance de ces symboles, spécialement en géométrie, tient à la facilité avec laquelle on détermine par leur moyen les fonctions limites qui font connaître de nombreuses propriétés de figure ou de quantité des fonctions données. Le principe unique de leur application est de traiter les termes différentiels comme ziul s au regard des termes définis, ou des termes différentiels d'un ordre moins élevé qu'eux, et dp n'en fenir compte que dans leurs rapports mutuels. Or, les éléments différentiels et linéaires des figures se prennent pour rectilignes dans l'établissement des équations. Nous avons vu en quel sens et sous quelle réserve.

Élément* du rairui. — Connaissant les différentielles des fonctions simples explicites dqne seule

THÉORIE DE i/ INDÉFINI. 503

variable usitées dans l'analyse, il est facile de déterminer celles des fonctions composées, des fonctions implicites et des fonctions de plusieurs variables. Je ne (n'arrêterai pas à des formules dont la recherche ne présente aucune difficulté, quant aux principes.

Différentiation des fonctions simples et explicites d'une variable. — Les différentielles des fonctions yz=-a + x, yz=zax, y=:xa se démontrent aisément, quelle que soit la constante a, positive ou négative, entière ou fractionnaire. La différentiation de cette dernière fonction n'exige même aucune considération de série. En effet, la différentielle d'uii produit de plusieurs faoteqrs est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la différentielle de chacun de ces facteurs par le produit de tous les autres ; donc si ces fadeurs sont égaux, la différentielle de l'un d'eux se trouve multipliée autant de fois par le produit de ces facteurs moins un qu'il y a de facteurs ; donc on a : d.xa = aoiï~x dx, pourvu que a soit entier et positif.

Supposons maintenant a = — . Nous avons y = y m,

d'où y*-=^xy d'où: ay*—idy—dx% d'où enfin :

dx dx

dy = jc=: r =. axa— i«te.

aX

Et de même si az=z — a, nous avons y = — ,

d'où: x*dy -f- <x.yx*—idxz=zOJ d'où :

, aux*— 1 . ax9-—* . dyzzz * dx —■ — dx " axa—idx .

donc enfin la formule qui donne la différentielle de xa est générale, ou vraie quel que soit a.

Passons à la différentiation de cette même fonction où la variable figure en exposant, soit comme logarithme : #=0*, x=log. y.

La question est de déterminer la différence indéfiniment petite d'une puissance correspondante à la différence indéfiniment petite de son exposant. Pour y attacher une signification générale, on doit pouvoir considérer la quantité, d'une part comme formée par voie d'addition et par degrés indéfiniment rapprochés, depuis zéro (différences de l'exposant) ; d'autre part comme formée par voie de multiplication et par degrés indéfiniment rapprochés aussi depuis l'unité (puissances successives), au moyen d'une certaine raison qui devra dès lors aussi différer indéfiniment moins de l'unité. Selon qu'on s'approcherait de satisfaire, pour le calcul numérique, à cette condition impossible de fait, l'erreur du géomètre qui considère des nombres ou des quantités quelconques évaluées numériquement, comme propres à avoir des logarithmes, c'est-à-dire à être de certaines puissances dune même quantité fixe, Cette erreur, disons -nous, se réduirait et pourrait descendre au-dessous d'une quantité assignée. Mais voyons la théorie.

La condition énoncée revient à la supposition d'un système de deux progressions tel que celui-ci, où figure le symbole de l'indéfinimcnt petit :

1 : (i -h dx) : [\ -h dx)* : (\ -*- dxf... 0 . dx 2dx . 3dx. . . .

(l+dxY":{l + dxr .... : (1 + dx)z : (1 + dx)z

-r-dx . 1+dx -r-dx • x + dx

dx dx

La seconde progression exprime la croissance ou

formation de la quantité par l'addition indéfinie de la

quantité indéfiniment petite à elle-même. Toutes les

quantités possibles peuvent être supposées y figurer

sous cette forme symbolique -7- dx.

La première progression se forme au contraire en considérant chaque terme comme égal au terme précédent accru de son produit par la quantité indéfiniment petite; car tel est le sens de la raison !+<&£, qui donne par multiplication les termes successifs. Il est clair, d'après cela, que toute quantité assimilable à l'un des termes de cette progression différera indéfiniment peu de celles que représentent le terme précédent et le terme suivant. Le problème général des logarithmes sera donc résolu théoriquement pourvu qu'il soit permis de considérer des quantités déterminées quelconques comme termes de la progression. On

s'assure de ce point en cherchant la limite des valeurs

de l'expression (1-f-rfx)^ lorsque l'indéterminée dx reçoit elle-même une valeur, mais indéfiniment décroissante. Supposons, ce qu'il faudra prouver, non

que cette limite soit positivement délerminable, mais qu'on puisse la resserrer entre deux quantités déterminées aussi peu différentes qu'on veut l'une de l'autre; et prenons e pour symbole de cet incommensurable; è sera donc la base du système de logarithmes posé dans nos deux progressions, c'est-à-dire la quantité qui y a l'unité pour logarithme. Le terme symbo-

lique (1 -4-rfx)rf* représentera e*, c'est-à-dire la quantité dont le logarithme est x. Enfin la progression par quotient renfermera, sous cette forme e*, une quantité aussi peu différente qu'on voudra d'une quantité désignée quelconque;

Maintenant , il est facile de découvrir les différentielles des fonctions j/ = e*et # = /you plutôt elles r essor tent immédiatement de la comparaison des deui progressions. Lorsque le logarithme (ou exposant) oïoft de V indéfiniment petit dx, la quantité correspondante (ou puissance) croit d'une partie d'ellemême marquée par dx. Réciproquement, si la quantité croît d'un indéfiniment petit, le logarithme correspondant doit croître du quotient dé ce même indéfiniment petit par cette quantité :

dy^erdxi dx^-^sz-^-

er y

Et en effet , tandis que le terme « est suivi do terme x 4- cte, dans la série des logarithme^, le terme

(i -f. tf#)rf* =e* est suivi de er (1 + dx)—e"-i-erdx} dans la série des quantités. La fonction exponentielle

THÉORIE DE i/ INDÉFINI. 507

se reproduit donc par la différentiation, et cela d'ordre en ordre indéfiniment.

Les deux progressions dont nous venons de foire usage dominent les logarithmes dits naturels ou hyperboliques. De la différentiation des logarithmes et des fonctions exponentielles de ce système, il est aisé de déduire celle des logarithmes et des fonctions correspondantes d'un autre système quelconque. Soit a la base de ce dernier, on peut toujours poser : ax=ex ', d oùf prenant les logarithmes des deux nombres, on tire i

#=— ==# loge.

Donc lep logarithmes d'une même quantité pris dans deux systèmes différents ne diffèrent que par un facteur constant, et ce facteur, pour passer du système naturel au système décimal, par exemple, est l'inverse du logarithme naturel de la base du second système, ou le logarithme vulgaire de la base du premier. Cela posé, le facteur constant ne pouvant que se reproduire par la différentiation, nous avons :

rf.a.— JLa-dx, et d.loga = loge— .

loge ' ° ° x

Passons aux fonctions trigonométriques. On pourrait les considérer comme des fonctions composées abstraites, et les différentier par le moyen des formules qui les expriment en exponentielles. Mais, outre que ces formules sont d'une signification complexe et peu élémentaire, une méthode directe éclaircira mieux le sens qu'on doit attacher à la différentielle d'un arc.

Pour introduire concurremment et d'une manière générale des arcs de cercle et des lignes trigonométriques dans le calcul, on les suppose réduits en nombres au moyen d'une même unité linéaire. En conséquence, et d'après ce qu'on a vu sur la mesure des courbes, il faut substituer à la circonférence un polygone inscrit d'un nombre de côtés indéterminé et indéfiniment croissant , et envisager les limites où tendent les valeurs des rapports entre les côtés de ce polygone et les différences décroissantes des lignes trigonométriques qui correspondent à leurs extrémités. (Voy. p. 481 et 493.)

Soit donc x un arc que l'on considérera, en tant que valeur numérique, comme la limite des valeurs d'une portion de périmètre polygonal entre deux points donnés; et soit dx le côté indéfiniment petit de ce périmètre au delà du second point, le premier étant pris pour origine des arcs. On a les équations : dx9 =s (rf. sin x)*-h (rf. cos x)* ; sin* x -f- cos* x = r* ;

Cette dernière devient , par la différenliation des

puissances :

sin#d. sinx= — cosxrf. cosx,

et Ton obtient, suivant qu'on éliminée/, cos # ou d. sinx:

d.ûnx d.cosx

— - =± cos#; — =ztsino;,

dx dx

relations qui font connaître, au signe près, les coefficients différentiels du sinus et du cosinus, lorsque le périmètre polygonal croît d'un élément indéfiniment petit.

L'ambiguïté des signes provient de ce que les incon-

nues du problème *ne sont obtenues que par leurs carrés. On la fera disparaître en suivant géométriquement la marche des signes des lignes trigonométriques comparée à celle des signes de leurs différences dans les quatre quadrants. Il est aisé de reconnaître ainsi que cos x et d. sin # ont toujours le même signe, tandis que sin# et d. cosx sont de signes contraires. On a donc d. sin x zrr cos x dx} etd. cos xz=. — sin x dœ. Les mêmes équations donneraient les différentielles des fonctions inverses, arc sin v, arc cos u (c'est-à-dire dx en fonction de d. sin x ou d. cos x). Mais ici ces différentielles se déduisent immédiatement de celles des fonctions directes, et Ton a :

d.&inx d. cos&

dx = — — ; dx =. —

\/ 1 — sin* x \/t — cos8 x

En général , les coefficients différentiels de deux fonctions inverses Tune de l'autre se font connaître réciproquement par la relation qui les lie :

dy dx u

dx dy mais comme le premier doit s'exprimer en x et le second en y , il se rencontrerait, pour les fonctions composées, des difficultés de calcul presque toujours insurmontables.

Recherche de la limite{l+ dx) ** — . Nous assimilerons ici le symbole dx à une quantité affectant une

série de valeurs indéterminées très petites et indéfi-

ni ment décroissantes. La quantité -7- affectera des

Valeurs correspondantes que l'on regardera comme des nombres entiers indéfiniment croissants, le dénominateur pouvant toujours représenter une certaine partie aliquote de l'unité. On a , en vertu de la loi des puissances d'un binotne :

l(l-rfx) 1 (l-~tfg) (|~Ms)

>(l-rf,)(l^iftfl...(t-(lt-t)4y)^ ^ ^

Les numérateurs des termes de rang déterminé de cette somme indéfinie ont tous l'unité pour limite. Ainsi, quel que soit n , nombre déterminé, la somme des n premiers termes de (A) ne diffère pas à la limite de la somme des n premiers termes dç

Admettons que les valeurs de cette nouvelle somme indéfinie aient une limite, ou du moins qu'en en supposant une on soit assuré de he commettre qu'une erreur moindre qu'une quantité donnée. C'est dire que, disposant de n , on pourra foire descendre audessous de e , quel que soit e , la somme des termes

en nombre quelconque après le n\ Mais ces termes de (8) sont respectivement plus grands que les termes correspondants de (A), puisqu'ils ont les mêmes dénominateurs et des numérateurs toujours plus grands en tant que différents. Donc, à fortiori, la somme des termes de (À) qui suivent le ne , en quelque nombre qu'ils soient pris, descendra au-dessous d'une quantité assignée quelconque , n étant suffisamment grand ; donc les valeurs de la somme indéfinie (A) ont une limite qui est celle de (B), ou du moins en la supposant et en l'assignant, on ne commettra qu'une erreur arbitraire, j

Il nous reste à déterminer, s'il se peut, la limite de (8). Cette somme demeure toujours comprise entre le nombre 2 et le nombre 3, puisque ses termes en nombre quelconque depuis le troisième sont respecti-

verneut moindre, que ceux de la série ±, ^ etc.

dont la limité connue est -. De plus, pi l'on s'arrête

au terme de rang n> la somme indéfinie des termes

suivants reste toujours plus petite que

.3....n \n + 1 + (n + l)* + (n+ if+—)\

dont la limite connue est la fraction— 5, qui

peut descendre au-dessous d'une quantité assignée quelconque par l'augmentation indéfinie de n.

Mais, d'autre part, on démontre par une réduction à l'absurde que la limite de (B) n'est représentable par

aucun rapport numérique. Soit, en effet:

T 2.3. ..q (q + i) il est clair que tous les termes de la série étant supposés multipliés par un facteur constant tel que 2.3.4.. (q — l)ç, la limite se modifierait par l'admission du même facteur. On aurait donc, en désignant par N et N' des nombres entiers :

N=lim.(N'

+ TT^wT^w^XÏÏX + •••)>

(q+i) (9 + 2) (9 + 3) et il faudrait que la somme indéfinie des fractions

+ etc., eût pour limite un nombre entier, tan-

dis qu'elle demeure toujours moindre que la somme

<7 + lT(7+l)* (9 + l)!

dont la limite connue est la fraction -.

Ainsi, les valeurs de la série (B), dont on considère un nombre de termes indéfiniment croissant, sont déterminables de manière que les termes négligés, quelque nombre qu'on en suppose, ne puissent donner pour somme une quantité assignée quelconque. Mais ces valeurs n'ont pas pour limite une quantité déterminée, abstraite du moins. Si donc on ne laisse pas d'admettre symboliquement l'existence d'une pareille

limite et si on la fait entrer dans le calcul sous le symbole consacré de la lettre e, ce doit être aux mêmes conditions et avec la même signification que les autres incommensurables. Tout incommensurable représente une quantité approximative seulement, mais propre à satisfaire aux relations avec un degré demandé d'approximation quelconque.

Principes généraux du développement des

fonctions en séries. — Une série indéfinie de termes liés, déduits les uns des autres par une certaine loi, est convergente lorsque la somme des n premiers termes, à mesure que n croît, approche d'une limite déterminée et peut en différer de moins que de toute quantité donnée ; ou, à défaut d'une limite déterminée, quand on démontre que les termes négligés en nombre quelconque ne sauraient jamais donner une somme égale à telle quantité assignée, quelque petite que soit celle-ci, si l'on dispose de n. La somme des termes d'une série doit s'entendre de cette limite, ou déterminée, ou indéfiniment resserrée, et n'a aucun sens pour une série divergente. Enfin, \e reste, ou somme des termes négligés d'une série convergente, signifie la différence entre la limite et la somme des termes considérés, conformément au sens où une limite existe.

Par exemple, les n premiers termes de la série :

- + -= +-r + .. + —, étant donnés par la formule a a* a3 an' *•

, dont le second terme décroît in-

a — 1 an (a— 1) définiment lorsque n grandit, on peut en conclure que

la série proposée est convergente et a pour limite

a-i' quantité déterminée. La série:

2 + 2.3+','+2.3...n, dont nous venons de traiter, est convergente aussi.

En ia calculant, on diminue à volonté la limite su»

périeure du reste (la fraction— 5 5, queldsomîne

possible des termes en nombre quelconque qui suivent le ne ne saurait atteindre) ; mais le reste n'a point une limite à proprement parler, ou selon le sens que le calcul de l'indéfini donne à ce mot.

Une condition nécessaire de la convergence des séries est la décroissance constante de leurs termes à compter de l'un d'entre eux, en sorte que le terme général soit nul à la limite. Le rapport d un terme au précédent est donc toujours moindre que 1 , à compter d'un certain terme. Cette condition est d'ailleurs suffisante si ce rapport moindre que 1 n'a pas 1 pour limite quand on considère un nombre de termes indéfiniment croissant.

La loi des séries convergentes est donc identique avec celle de la décomposition de la quantité continue en un nombre indéfini de fractions définies. Passant de l'une à l'autre de ces dernières, on doit pouvoir regarder chacune d'elles comme une fraction de la précédente; et cela sans que le rapport des fractions successives tende à se rapprocher indéfiniment de l'unité. Un cas particulier de cette loi donne la progression par

THÉORIE M t' INDÉFINI. 515

quotient. C'est celui où le rapport des fractions successives est constant.

Les opérations du calcul algébrique conduisent à

considérer une fonction, soit comme décompo-

sée en un nombre indéfini d'autres fonctions liées par

fin ff& ff&

une loi, 1,-, -s, -^, etc. Dans ce cas et dans tous les a a* a3

cas de ce genre, on peut poser, pour terminer la série,

un terme complémentaire, qui est ici : — m ,

Moyennant la considération de ce terme, on attachera toujours un sens exact, soit algébrique, soit arithmétique, à la décomposition de la fohction proposée. Si, au contraire) on ne limite point la série, ou elle sera convergente et le terme complémentaire deviendra indéfiniment petit, n devenant indéfiniment grand, ou ce terme ne sera pas de nature à devenir moindre que toute quantité donnée et la série ne deviendra pas convergente. Dans la première supposition, on pourra regarder la fonction comme équivalente à la série en- ' tière, et égale à la somme de tous ses termes, en interprétant toutefois ces mots, conformément à l'idée dune approximation indéfinie, la seule rationnelle ; dans la seconde, les notions de somme et d'équivalence ne sont susceptibles d'aucune application intelligible, et la série ne saurait représenter la fonction. Le développement des fonctions en séries indéfinies, par suite d'une opération arithmétique ou algébrique, exprime donc : 1° l'impossibilité de l'opération pro-

posée ; 2° une transformation dont on peut tirer parti en bornant la série par un terme complémentaire; 3° dans certains cas, l'identité des valeurs de la fonction et de la limite à laquelle tend la somme des termes de la série lorsque l'on en considère un nombre de plus en plus grand, comme dans les fonctions décimales périodiques.

Développement en série d'une fonetion quelconque d'une irarteMe Soit la fonction y =f{x).

Considérons l'accroissement qu'elle reçoit lorsque x

croit de x à x + A. Supposont que h soit la somme

d'un nombre indéterminé d'accroissements indéfini-

h ment petits: /izn — rfx. Le calcul des différences

conduit à la relation indépendante de la grandeur de dx :

h (h — dx) ...(h — (n — \)éx) dny 1.2 • ... n dxr

Le terme complémentaire R„ est donné par la formule :

h {h — dx). ...... (h— -ndx)^.

M' est une valeur comprise entre la plus grande et la plus petite des valeurs de la fonction—^ , pour toutes