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THÉORIE DE i/ IN DÉFINI. 517

es valeurs que x peut affecter dans l'intervalle de x à tf+fe — (n + l)cte(t).

La seule condition exigée pour que dx puisse être supposé indéfiniment petit dans ces formules est la

continuité des fonctions y, -~, -r^,...entre#et#-+-/if

* dx dx* '

parce que si l'une d'elles était discontinue dans cet intervalle, la démonstration basée sur les sommes des différences des divers ordres de la fonction ne subsisterait plus. Ces différences sont d'ailleurs quelconques et par suite arbitrairement multipliées de x à x + h, par une subdivision arbitraire de h.

Ceci posé, et dx étant traité suivant la règle du symbole de Tindéfiniment petit, les relations précédentes deviennent en désignant par f (x), f" (x)> ... les coefficients différentiels successifs de f(x)i

l.a...(n+i) M est alors une valeur comprise entre les valeurs maximum et minimum de/^Or), depuis x jusqu'à x -f- h, pourvu que cette fonction demeure continue dans cet intervalle. En effet, la loi de détermination de celte moyenne se prolonge indéfiniment aussi bien que la subdivision de h> et ne dépend point de dx.

(1) Ce théorème a été démontré par M. J. Caqué, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1845, t. X.

On assigne ainsi deux limites du terme complémentaire. De plus, f"*1 (x), étant continue depuis «jusqu'à x-i- h, M est une des valeurs que prend cette fonction dans le même intervalle , ou du moins on peut supposer une de ces valeurs propre à la représenter à tel degré d'approximation que Ton voudrait, et il est permis de poser M ^=if^x(x -+- 6A), en désignant par h une fraction positive. On a donc enfin :

et faisant x nul et h variable remplacé par x :

fl»)»flo)+*rco)+ir(<>)+.-.

+û±rnrw+i.*...(«+i)rv*)-

Cette dernière série fait connaître le développement d'une fonction explicite quelconque de deux variables, et suppose seulement la continuité de f{x) et 4e tous ses coefficients différentiels entre 0 et x.

L'examen du terme complémentaire dans les cas particuliers décide de la convergence de ces séries, c'est-à-dire de la possibilité de représenter une fonction proposée par une suite indéfinie de termes. On peut encore s'assurer directement que ces séries sont convergentes en comparant leurs termes consécutifs. Si les coefficients différentiels se trouvaient successivement nuls pour une certaine même valeur de la variable, il n'y aurait rien à conclure. Aussi le théorème

précédent ne saurait s'appliquer à ce cas, puisqu'on emploie pour le démontrer la suite des différences de la fonction , supposées autres que nulles en général.

Applications de la formule de développement des fonctions en séries. L'application fondamentale est celle qu'on pourrait appeler arithmétique. Lorsqu'une quantité incommensurable est donnée par une fonction qu'on peut développer en série convergente, cette quantité se calcule à l'aide de cette série, à tel degré d'approximation que Ton veut; c'est-à-dire qu'on détermine et qu'on resserre à volonté les limites de l'erreur attachée à l'introduction d'une quantité de cette sorte dans le calcul. Ainsi se construisent, par exemple, les tables de logarithmes.

Une application importante pour l'analyse algébrique consiste dans la détermination des rapports

tels que ^~ , qui , pour une valeur particulière , x=ayde la variable, prennent la forme indéterminée — . Il n'y a point ici de fausse valeur, ni , par conséquent, de vraie valeur à chercher comme on a coutume de le dire. Mais pour que la question ait un sens,

il faut qu'on demande la limite d'un rapport, '—;-{ ,

dont les deux termes diminuent indéfiniment lorsque x approche indéfiniment de a. Or, dans le cas où les formules de développement sont applicables, on peut poser :

Alors supprimant les termes nuls et divisant haut el bas par les facteurs communs en x, on obtient la limite cherchée en faisant enfin x = 0.

J'ai déjà indiqué l'esprit de la recherche des valeurs maxima et rninima des fonctions par la considération de l'indéfini. La formule de développement est applicable à ce problème , qui , de sa nature , suppose la fonction continue dans certaines limites très resserrées de part et d'autre des valeurs cherchées. Posons donc :

Selon que xf est supposé maximum ou minimum, h étant indifféremment positif ou négatif, et suffisamment petit , le développement doit être moindre ou plus grand que f(x'). Donc la quantité

sera négative pour un maximum et positive pour un minimum. Or, il est aisé de voir que ni l'une ni l'autre de ces conditions ne peut cire remplie quel-

THÉORIE DE l/ INDÉFINI. 521

que petit que soit h et quel que soit son signe, à moins que f'(af) = 0. La première condition suppose en outre que f'\tf) est négative, et la seconde suppose qu'elle est positive. Ainsi le problème est complètement résolu pour une fonction de deux variables. Dans le cas où la substitution de x' annulerait aussi /"(#), il faudrait considérer un plus grand nombre de termes de la série.

Les principales applications du calcul de l'indéfini à la géométrie sont la théorie des contacts des courbes et des surfaces , celle de leurs points singuliers, et la mesure des arcs, des aires et des volumes définis par des fonctions de deux ou de trois variables. J'ai traité quelques-uns de ces problèmes; et l'esprit qui doit présider à l'exposition de la science est fixé par l'analyse des cas élémentaires. Je ne poursuivrai pas plus loin des développements où je ne pourrais plus que répéter des auteurs connus. Quelques-uns se font remarquer maintenant par une bonne méthode et un esprit vraiment philosophique, et le désir de compléter cette note a pu seul m'engager à quelques développements d'ailleurs superflus.

Je remarquerai en terminant que le problème fondamental des aires, résolu quant à la géométrie avec toute la généralité désirable, implique, quant au calcul, la solution de la question inverse de la différentiation : déterminer la fonction dont le coefficient différentiel est donné. Or, on n'a point à cet égard de

méthode générale, ni même de très étendue, et les applications mathématiques semblent arrêtées par un obstacle insurmontable. S'il y a là une borne imposée nécessairement à nos connaissances , il faut du moins discerner l'extrême limite ; et, dans une science de cette nature, il faut l'établir rationnellement, la démontrer. Ainsi la carrière est toujours ouverte.

En possession d'un domaine qu'ils se croient dans l'impuissance d'étendre notablement, les géomètres ont dû porter, plus que par le passé, leur attention sur la méthode. Un esprit de rectitude et de rigueur, un esprit vraiment analytique, tend à s'établir dans l'enseignement ; encore un pas, et les professeurs qui rejettent la chimère de l'infini rejetteront aussi les notions inexactes sous lesquelles elle se déguise : les incommensurables mesurés, les limites numériques qui ne sont ni nombres ni. fraction*, et, en un mot, le nombre continu, Les principes du calcul infinitésimal seront fixés daps les notions positives de l'indéfini, de l'indéterminé et de l'arbitraire. Alors seulement l'ancienne métaphysique aura cessé d'obscurcir . la plus lumineuse des sciences, et l'étude des mathématiques sera la meilleure introduction à la yraie philosophie , c'est-à-dire à la critique générale des connaissances.

UMVERSAUX SCOLASTIQUES. 528

(Renvoi de la page 177).

Spr la théorie •eolaatlqve du genre et de l'universel.

La doctrine des universaux est abandonnée depuis longtemps, et quoique ses rejetons végètent encore, elle n'appartient plus qu'à l'histoire des systèmes. Je ne consacrerai donc pas cette note à l'examen de l'hypothèse réaliste , mais à l'exposition très brève des principes logiques habituellement reçus, bien que fort négligés et peu ou point enseignés, qui furent le terrain commun où toute cette ontologie prit naissance. On comparera ces principes à ceux que j'établis.

Le genre et V espèce des scolastiques sont des attributs substantifs et essentiels (prœdicata in quid), et ne diffèrent qu'en ce que l'espèce (qu'il ne faut pas confondre avec le sous-genre) se compose immédiatement d'individus , au lieu que le genre se compose d'espèces. La différence est un attribut adjectif et essentiel (prœdicatum in quale quid), et par conséquent une véritable espèce , mais sans substance. Le propre est un attribut adjectif , non pas essentiel, mais simplement nécessaire (prœdicatum in quale necessario). Enfin Y accident est un attribut adjectif contingent (prœdicatum in quale contingenter) .

Par exemple , l'animal est un genre , l'homme une

espèce, le raisonnable une différence, l'admiratif ou le risif un propre , l'admirant ou le riant un accident.

Il faut savoir, quant à la distinction du nécessaire et de l'essentiel que le premier de ces termes exprime ce sans quoi le sujet ne peut être , et le second , ce sans quoi le sujet ne peut être ni être conçu.

Le fameux arbre de Porphyre , reproduit dans les accolades suivantes , est un résumé de celte théorie appliquée à la nature :

irationale — (Homo) — Petrus.

irralionale.

insensitivum.

inanknatum.

incorpora.

Les adjectifs sont des différences, les substantifs des genres , sous-genres et espèces , depuis la substance genre suprême jusqu'à l'individu. (iV. B. vivens est un substantif.) Une différence ajoutée à un genre forme un sous-genre ou une espèce. Il n'est pas difficile de voir dans cette classification qui distingue si précieusement l'universel substantif de l'universel adjectif, un élément logique de l'édifice du réalisme qui a couvert le moyen âge, et dont les débris se rencontrent partout.

Aristole n'était certes pas ce qu'on appela plus tard un réaliste, lui qui combat à outrance les essences platoniciennes et qui déclare nettement que l'existence appartient aux seuls individus; mais À ris to te appelle aussi les individus des essences premières, il admet des essences secondes, traite de V essence en

universaux scolastiques. 535

général, et s'attache à des formes de langage qui favorisent la superstition de la substantialité. Faute d'avoir compris toute la portée de la catégorie de relation, cet esprit très positif manqua la réforme du vocabulaire philosophique, s'exprima comme avaient fait ses devanciers et comme firent ses successeurs , en pensant autrement qu'eux; et de ses métaphores la postérité se fit des idoles.

Ainsi la logique de l'école est défigurée par des éléments étrangers, par des notions ontologiques. Le rapport fondamental de spécificité n'y est pas clairement et correctement défini. On ne l'y trouve que masqué par des distinctions qui seraient oiseuses alors même qu'elles seraient vraies.

La forme adjective de l'attribut et la forme substantive du sujet ne sont pas liées invariablement aux termes qui jouent ces deux rôles dans une proportion. Le genre, l'espèce et la différence ne demeurent pas fixés aux mêmes représentations. Le sujet et l'attribut sont corrélatifs, et expriment des synthèses diversement constituées. Ordinairement la composition est envisagée dans le sujet. Supposons celui-ci donné par l'expérience comme un de ces groupes cohérents et très distincts auxquels appartient le nom d'êtres : c'est là le véritable substantif de la grammaire. Alors l'attribut comprend certains phénomènes constitutifs du sujet/ abstraits de ce même sujet et aussi de divers autres : sa forme doit être adjective ; on ajoute, en attribuant, ce que l'abstraction et la généralisation ont séparé. Mais si le point de vue est inverse, si la

composition est envisagée dans l'attribut, groupe qui comprend le sujet en un autre sens, le terme naguère adjectif peut dévenir substantif dans une autre proposition. Nous disions : Pierre est homme; nous dirons : l'homme est animal ; puis : l'animal est sensible, etc. Il n'est pas d'adjectif qu'on ne substantive, ni de substantif qu'on n'adjective à volonté dans une proposition convenable. L'individu et le genre dernier font exception à cette loi : l'un parce qu'il n'admet point d'espèces et l'autre parce qu'il n'admet point de genre. L'individu seul est donc toujours substantif, et le genre vraiment dernier serait toujours adjectif dans la proposition , quoique la scolastique et le panthéisme aient vu dans celui-ci la substance par excellence. Mais cette exception n'empêche pas que l'individu et le genre dernier ne se rangent sous le rapport de spécificité, car chacun d'eux se redouble par la proposition identique* D'ailleurs on ne saurait se représenter l'individu à part de ses genres, ni le genre dernier sans ses espèces (voy. p. 60 et 162).

Les notions de sujet et d'attribut , de substance et de qualité, ou encore d'inhérence, comme on disait autrefois, ne sont intelligibles que dans le rapport de deux termes. Elles s'expliquent positivement par le fait de la distinction et de l'identification partielle des phénomènes diversement composés dans la représentation. Enfin le genre, l'espèce et la différence sont les lois suivant lesquelles cette opération s'effectue , ou les éléments du jugement.

La différence r considérée scolastjquement comme

tJNIVERSÀUX SC0LA8TIQUES. 527

espèce ou genre, fait double emploi dans la logique. Aussi, ai-je donné ce nom à l'un des deux éléments nécessaires de la loi de qualité : l'espèce est une synthèse de la différence et du genre.

Le propre n'a pas rang de principe; il résulte d'un cas particulier de la proposition universelle ou singulière, le cas de la réciprocité (l'homme est risif ; le risif est homme).

U accident, si l'on désigne sous ce nom les phénomènes non prédéterminés, relève d'une loi tout à fait étrangère à la loi de qualité. Si l'on n'entend parler que des attributs qui ne se présentent pas comme constamment tels (cet homme chante 3 la terre tremble, etc.), c'est ehcore une autre notion qu'on introduit, celle du devenir ; or, il suffit, pour l'analysé de la qualité, que le jugement soit posé d'une manière simplement actuelle , et abstraction faite de ce qu'on nomme sa modalité.

528 APPENDICE Vil.