II. Définition de la forée par 1a vitesse et pari

masse. — D'après cela, cette double proposition: les forces sont proportionnelles aux vitesses qu'elles communicjuent à la même masse, danslesmêmes circonstances; les forces sont proportionnelles aux masses auxquelles elles communiquent la même vitesse dans 18s mêmes circonstances, ce double énoncé ne doit avoir pour

nous que la valeur d'une convention propre à étendre verbalement la mesure combinée d'un mobile comme tel, et de son déplacement, à la force quelconque suivant laquelle il se déplace. La masse est alors la quantité mobile, c'est-à-dire le corps lui-même sous le rap-

PRINCIPES BE LA DYNAMIQUE. 5ftfi

port dynamique, abstraction faite en lui de toute propriété autre que le nombre de parties également mobiles qu'on peut y envisager (voy. p. 225); et h vitesse est la quantité de déplacement dans un temps donne, estimée pour tel point où Ton suppose la masse réunie, La définition de la quantité de mouvementdevient ainsi très claire et se substitue à celle de la force.

Dorénavant j'appliquerai ce seul mot mouvement, et au mouvement en général et à tout mouvement donné ou déterminé; il ne saurait en résulter d'équivoque non plus que dans les autres cas- de ce genre. Suivant la dernière acception, on entendra donc par ce mot la quantité de mouvement considérée en tel point et dans telle direction.

Dans le mouvement uniforme, dont l'équation pour un point mobile est x = at, moyennant un choix convenable d'origines, a étant une constante, la force dont le point matériel de masse m est animé se mesure, se-

Ion la convention, par m- - ma. C'est un mouvç-

ment donné et constant, effet d'une cause quelconque qui a fini d'agir, ou, pour parler plus exactement, un acte invariable et auquel rien ne s'ajoute. On sait que dans ce cas le mobile n'est soumis à aucune force externe. Autrement sa vitesse varierai* en vertu du principe d'inertie (voy. III).

Le mouvement continûment varié, dont l'étwfc comprend une grande partie de ta dynamique, n'est pas caractérisé par la détermination d'un* ¥fete$M

limite, — f tirée de l'équation x = f(t)9 puisque cette

valeur change aux différents instants. Mais on s'en forme une idée plus approfondie en prenant le coefficient différentiel du second ordre de la même fonc-

&x V dt) 4 , .

tion, car on a : -jj == , , et ce dernier rapport

exprime la limite des rapports de la différence de la vitesse limite à la différence du temps, pour des temps indéfiniment décroissants (p. 211). En introduisant le facteur constant masse, on obtient la limite des mouvements acquis dans l'unité de temps , à un instant quelconque. Enfin, la même convention que ci-dessus permet d'étendre à la force, qu'on appelle alors force motrice, la mesure du mouvement proposé donnée par

l'expression m "77. On se représente lafôrce augmentée

ou diminuée avec le temps suivantunecertaineloi, etl'on

prend pour son intensitéà chaque instant la limite des

mouvements acquis dans l'unité de temps par le mobile,

cPx valeur considérée à cet instant. Si -jt n est Pas une

fonction du temps, mais est une constante, on appelle aussi la force force constante , et on se la représente comme propre à ajouter ou à retrancher au mouvement du mobile une même quantité dans des temps consécutifs égaux. C'est ainsi que la loi de la chute des graves

étant x = •— jr, — = gr, on regarde la pesanteur

comme une force accélératrice constante.

III. Principe d'inertie. — On convient généralement qu'il n'existe point de corps inertes. Mais chaque science a besoin d'une certaine abstraction pour poser son objet propre. La dynamique considère les corps comme incapables d'altérer par eux-mêmes leur état de repos ou de mouvement. Cette hypothèse est indispensable dans l'étude des lois abstraites des vitesses et des masses : sans elle il n'y aurait plus à proprement parler de mécanique. On dit que l'expérience vérifie ou tend à vérifier le principe d'inertie. Il serait plus exact de dire que l'expérience permet de regarder les causes de l'altération de l'état de repos ou de mouvement d'un corps inorganisé comme sensiblement réduites à celles qu'on peut définir indépendamment de l'activité de ce même corps. Par exemple, s'il s'agit d'un corps pesant, on pourra fixer dans la masse terrestre la force qui le sollicite, et la masse terrestre à son tour sera passive par rapport au soleil ; cependant la loi de la gravitation exige que l'action se partage. Sans doute, l'abstraction que je signale ici n'est pas indispensable et ne se fait pas toujours. II n'en est pas moins vrai que si la dynamique avait pour objet le véritable corps physique, elle devrait tenir compte de toutes les actions perturbatrices que la définition de ce corps entraîne, et elle en néglige toujours quelqu'une.

On peut dire encore que la méthode veut, non la nature des ehoses, que les forces internes des corps

568 mEiroici vin;

soient remplacées par des forces externes convenablement choisies. La science, sous sa forme rationnelle, envisage un corps purement géométrique et mécanique; et c'est celui-là qui est inerte. L'utilité de la mécanique rationnelle dans les applications provient de ce que, dans le plus grand nombre des cas, les phénomènes de Tordre concret ne diffèrent pas sensiblement de ceux que l'abstraction propose et définit. L'expérience en fait foi quand elle vérifie les conséquences de la spéculation mathématique,

IV. Définition de la force par l'effort. Prlaelpe dis mouvement en puissance. — D'après les

considérations précédentes sur la mesure de la force, il est clair qu'une force déterminée, détruite par un obstacle fixe, a pour signification positive un certain mouvement qui aurait lieu si l'obstacle était supprimé* Mais la force prend alors aussi le nom d'effort ou de pression, et il y a deux remarques à foire:

1° La mesure conventionnelle de la force est applicable à l'effort, puisque les données sont les mêmes dans les deux cas, à cela près qu'on envisage tantôt la mesure du mouvement qui a lieu effectivement, et tantôt celle du mouvement qui aurait lieu en vertu de certaines conditions supposées, au moment où certaines autres conditions cesseraient d'être remplies.

2* L'effort se marque par des effets sensibles sans que le mobile qui l'exerce soit déplacé. On pourrait néanmoins le mesurer toujours parle mouvement attendu en cas de suppression de l'obstacle, puisque œtle mesure est conventionnelle, et qu'une même

PRINCIPES DE la dynamique. 559

cause, ici, produit un effort, là produirait tin mouvement. Mais quand on admet d'ailleurs pour l'effet sensible une mesure propre, il fout prouver que celle-ci est identique avec la première, et non pas simplement le supposer. Tel est le cas où l'effort est un poids, effet produit sur ilh obstacle actuellement immobile par un corps soumis à la loi dé la gravitation; non que le poids puisse être jamais mesuré sous condition entière de repos, ou par une fonction dont la définition n'implique point le déplacement, mais il peui l'être indépendamment du temps, à savoir dans cette rencontre particulière qu'on appelle équilibre.

Comme la dynamique fiait usage concurremment de ces deux mesures des forces : la limite des mouvements acquis dans l'unité de temps, et l'effort ou pression» assimilé à un poids, la question de l'identité des va* leurs numériques obtenues dans l'une et l'autre toé* thode est d'un grand intérêt. Le nœud de la difficulté se trouve dans le principe de l'équilibre.

J'appelle puissance de mouvement, où simplement puissance , un mouvement défini qui n'est point donné actuellement, mais qu'on se représente comme devant se produire sous certaines conditions, ot dès l'inslant que certaines autres conditions cesseraient d'exister. Cette supposition est un véritable jugement synthétique portant sur l'avenir, et que l'expérience vérifie. NoUs savons, par exemple, que si l'obstacle opposé à la chute d'un corps est levé, ce corps commencera à se mouvoir, et que sa vitesse, tant qu'il demeurera libre, croîtra régulièrement, quelle que soit su

masse, de9B,809 environ par seconde. D'ailleurs, en vertu des lois générales de la représentation, d'accord avec les données des sens, nous considérons un effort ou une pression comme correspondants à une puissance quelconque.

V. Equilibre et mouvement d'un point sons deux puissances en ligne droite. — Deux (iépla-

céments définis par des fonctions identiques, envisagés dans un seul et même mobile dont la masse est réduite à un point matériel ou mécanique, et dirigés sur une même droite en sens inverse l'un de l'autre, demeurent nécessairement en puissance. Le mouvement effectif est nul par le principe analytique de la raison suffisante. En effet, si la double donnée du déplacement a et — a pouvait être équivalente à celle d'un déplacement unique autre que zéro, soit sous un angle ? avec la direction de a, il est aisé de voir que les angles 180°— 9, 180° + 9 et 360°— <p, satisferaient de même aux conditions de la question, ce qui est absurde. (Voy. p. 195.)

L'existence d'un tel système de puissances est constatée par l'expérience (dans la mesure possible de ces sortes de vérifications) et fait connaître, pour le cas le plus simple, le principe de l'état d'équilibre qu'on a toujours distingué de l'état de repos.

En général, deux vitesses données sur une même droite et pour la même masse équivalent à une vitesse unique égale à leur somme ou à leur différence, suivant qu'elles sont de même sens ou de sens contraire. Cette proposition résulte immédiatement de ce que

les vitesses sont des quantités linéaires, et, à ce titre, assujetties à la loi de la sommation. Elle est donc analytiquement vraie. Mais si on la conçoit en ce sens que les puissances s'ajoutent ou se retranchent lorsqu'elles sont données extérieurement par la réalisation des circonstances diverses où on les suppose contenues, c'est à l'expérience qu'il faut en demander la confirmation. Aussi les données sont-elles empruntées à l'expérience dans ce cas.

Il résulte de là que la condition d'équilibre énoncée ci-dessus est nécessaire autant que suffisante, puisque le cas des vitesses égales et de sens opposés est le seul où la vitesse résultante soit nulle.

Les mouvements d'une masse unique s'ajoutent et se retranchent sur une même droite, comme les vitesses, puisqu'on peut toujours multiplier par le facteur commun de la masse les termes de l'équation V ± V'= V". Ce n'est point ici une proposition à démontrer, ou un postulat, comme dans les théories fondées sur la considération directe des forces. Mais c'est un fait double, et d'analyse, et d'expérience.

On voit aussi, indépendamment de tout postulat, que telle masse peut être en équilibre, en tant que Ton y considère certaines puissances égales et opposées, et à la fois en mouvement, parce que l'on y place encore d'autres puissances qui ne sont pas contrariées. La coexistence de ces divers rapports est un fait de spéculation parfaitement libre, et que l'expérience vient ensuite vérifier.

Les mouvements dont il vient d'être question sont

562 APPENDICE YIU.

déterminés par des fondions que nous supposons identiques. Mais il suffit évidemment de considérer ces fonctions comme égales, à la limite de leurs accroissements, ou pour un temps indéfiniment décroissant. Le raisonnement porte sur le déplacement de la masse' au premier moment quelconque d'une durée, et non sur les effets postérieurs. L'équilibre a donc lieu lorsque des déplacements indéfiniment petits en puissance et de sens contraires sont égaux.

L'hypothèse des points matériels, ou mieux mécaniques, cest-à dire de certaines masses impénétrables, sans étendue sensible, ou dont le volume est aussi petit qu'on voudra, est une abstraction qui facilite l'application de la géométrie aux lois de l'équilibre et du mouvement. Elle est d'ailleurs justifiée par l'existence des centres de masse et de gravité, et ne nuit point à la vérification des résultats de la mécanique rationnelle.