LL-l — L±-+ exprimerait la vitesse pendant la durée

f — V si Ton pouvait regarder le mouvement comme uniforme et de même sens entre ces instants. Il n'en est pas ainsi; mais les instants étant suffisamment rapprochés, les positions du mobile déterminées par le mouvement effectif quel qu'il soit , dans cet intervalle, différeront aussi peu que l'on voudra de celles que dans le même intervalle un mouvement uniforme hypothétique déterminerait. Ce dernier mouvement a une vitesse ; en la transportant au premier, qui rigou-

DEVENIR D'ESPACE ET DE TEMPS. El t

roulement n'en a point de fixe, on s'éloigne d'autant moins de la vérité des données que ï et f se rapprochent plus de l'égalité. Enfin, si Ton convient de prendre pour la vitesse d'un mouvement continûment varié

dx quelconque, au bout du temps l'9 la valeur de — cor-

respondante à ce temps, on ne fera autre chose que considérer ce mouvement comme décomposé en un nombre indéfini de mouvements uniformes, différents et successifs, dont les éléments (étendue et durée) sont indéfiniment décroissants ; et Terreur que cette dé» composition implique par rapport à la relation x=f(t) est indéfiniment décroissante elle-même.

La vitesse fictive d'un mouvement continûment varié, à un instant donné I', est donc la limite des rapports des différences des espaces parcourus, x" — x\ aux différences des temps correspondants, ïf — 1\ lorsque t" tend à se réduire à ï . Cette convention ne donne lieu à aucune erreur assignable, parce que le mouvement proposé n'est dès lors pris pour uniforme qu'entre des instants dont l'intervalle demeure indéterminé et moindre, par hypothèse, qu'une durée assignée quelconque»

tLX

L'équation v=-t- exprime la relation générale de

la vitesse ainsi définie avec le temps. Si Ton se pro-

v"— v' pose maintenant de mesurer le rapport - — — ou Vac-

célération (vitesse d'accroissement de la vitesse du mouvement varié), on rencontrera la même difficulté

puisque ce rapport peut lui même n'être pas constant

dans l'intervalle de f à t" quelque petit que soit cet

intervalle. On recourra donc à la même solution : on

dv ct*x prendra le coefficient différentiel — ou -7-5- pour

l'expression du rapport de la différence des vitesses à la différence des temps à un instant donné ; c'est-à-dire qu'on supposera la vitesse uniformément variable (comme ci-dessus l'espace parcouru) entre des instants que sépare une durée indéterminée moindre par hypothèse que toute durée assignée. Ainsi la vitesse du mouvement continûment varié quelconque se mesure fictivement par sa décomposition en une série indéfinie de mouvements uniformes, et l'accélération de même, en substituant à ces derniers des mouvements uniformément variés.

Les formules dont je viens d'exposer la signification ont cette admirable propriété, qu'elles tiennent du calcul de l'indéfini, de supposer la discontinuité du mouvement sans quoi elles cesseraient d'être intelligibles, mais une discontinuité à limites indéfiniment rapprochées. Or c'est précisément par là qu'elles atteignent à la mesure des fonctions que l'on suppose continues : non point à la mesure exacte , en un sens que la nature de la question rend tout à fait vain, mais bien à l'exactitude et à la rigueur propres d'une approximation générale et sans bornes.