Trouper .Ifi çentfe • 0.i le. rayon d'une sphère , lorS
qu*on connaît h^ position de qj^ine points par lesquels
eUe doit passer^- /-a y. ^ i i >
On joindra j sur .cb^eun: des plans coordonnés, la projection d'un de .cgs^poîntô avec celle des auti*e8> par trois lignes dri^îjtesy qui senont les projections des lignes menées par les points doinBés dans l'espace ; onjél^era sur le miliei;^ 46 chacune d^ des derniëres un plan qui lui soit perpendiculaire : ces trois plans devant csontenir le centre de la sphère ^ il -sera placé à leur intersection quV>n trouvera aiséipent ( a3 ^ 25 }«
Quant au ray<^n)dâ la sphère v il n'est autre que la distance du centre à l'un des. points donnés; et sa construction sera facile > lorsqu'on connaîtra la position de ce centre.
Nous n'entrerons point dans, le détail des opérations
ellipse qui anraic son centM; en G' et son petit axe égal à-TK/iT. Je ne l'ai poin^ construite, parce que le cercle. MN se décrit pk» facilement, et peut tenir lieu de cette projection. On voit que M"N" : MIV :: AM" : AM: c'est-à-dire que le, grand axe est au petit axe , comme le rayon est au cosinus de l'angle forrad par le plan du cercle et le plan horixontçl.
DES ÉLÉUCNS DE oioHKTUlE. 53
à exécuter pour résoudre ce proliltme , puisque nous les avons dé)> eipos^diaciine en particulier ; aous placeruoj ici une seconde lolution relative à un cas plus simple que le cas gteéral^ loais auquel celni-rà peut se ramener aisément.
S(Heiit P', Q' et A trois points doiui4s , «itités «ur le Fig. iS. plan horîiontal ; par l'un ^ œs poiats , It,ét par la proicction £ du quatrième, Ë% on mènera la plan vertical DAB; on déterminera le ceatre (Y du cercle qui passe par les trois pointa .P', Q' et A : il est clair que la verticale élevce par ce point passera par le centre de la spbère. attenant ensuite uti plan perpendiculaire sur le milieu H" de la ligne RE' qui joint les deux poiats donnés H et Ë", ce plan coupera, en [O", la projection de la vertioaU élevée par le point O'. Ou aura par ce procédé la projection du centre de la sphère sur le plan vertical ; et , comme on l'a déjii sur le plan horieontal , il aéra facile de trouver le rajron , qui lAst que la distance in centre à l'un des points donnés.
Il est évident que ce procédé Rappliquerait an cas général , en cherchant d'abord le pleil qaî passe par trois quelconques des pointadonnés (*).
PROBLÈME
66. Trouver P intersection de deux sphères dooniesde grandeur et de position.
Il est évident que cçtte intersection est un cerclej Fig. 4*^car si l'on conçoit un plan veitieal ACNN'M' passant par le centre des deux spbëres, il les coupera rcspcqtivemeid dans leurs grands cercles Gl£ èt,Olf ; et si
(') Ce problème le uouie datu In Opéra varia àa Fermai, i la IÈ\s de loa Traiiti de Cnntactibas Spheriçh Epage 74), « il es' [ESolu \ peu pcèa comme cî-deiiiu.
54 COMPLiMIiNT
''S- 4^- Ton inia^îne.ifi^isuU^ que oei ojerdes tournent autouc de la ligne jkfN qui fomX Uur^ centres, oe mouTement engendrera Ie9 dt^W éphhreê k la fois , tandis que les points I et G en proditiroi^t la pomoluiie section, qui , oomme on le Toit, sera un cercle ajànt pour rayon GH , et tfitué dans un plan perpendiculaire à MN.
Cette oossoÉunki' section es» «atièrement déterminée, et peut être aJsément décrite (63); car son rajon est IH , et son plan GO^'K^ perpendiculaire à MN , ren-icontre BAD suivant &&, et BAC suivant Kfi/, perpendiculaire à AN'.
67* Corollaire 7. Si 1^ avait trois sphères, on trouverait de la manière suivante les deux points oh elles se rencontrent toutes è la ibis.
On combinerait ensemble la première et la deuxième pour en trouver Finterseetion , ainsi qu'on Va fait dans le problème précédent ; ensuite on opérerait sembla-' blement sur la première et la troisième* on aurait de cette manière deux plains qui contiendraient les points cherchés; et lorsqu'on aurait construit dans Pun, la droite suivant laquelle ils se rencontrent, il ne s'agirait plus que de déterminer ses intersections avec le cercle qui est la rencontre de l'une des sphères et du plan sur lequel on a construit.
Je laisse au lecteur lè soin d'exécuter les détails de cette solution, ce qu'on peut faire avec plus ou moins d'adresse par les méthodes que j'ai exposées dans le cours de cet ouvrage 'y^ j'indiquerai seulement la route à suivre pqur les cas ou les centres des trois sphères seraient placés sur le plan horizontal. Il est évident qu'on peut ramener tous les autres à celui-là, en changeant convehablement de plans coordonnés.
Fi-, in. Soient donc M', N' et P' les centres de trob sphères
1)£S £ LUMENS DU GUO.M£TBI£. 55
données ; il est éyidenl que la commune section des deux ^*8* 4: • premières se trottre» dans lè^ilila tèrtioai életé «ftf la ligne G'r {n? pi>écédeÀtypEn'«binA«»fliflt ÂweAriiiIfi la première spbere et cdle ^1^ if>9G»iqietilré'aii ftmi Vf on trcmyera use «eoeiMk^4}(fiicr'^V pir fciqiMlle pMsera 16 pkn Tertioal ooiitefif ittfiii>-e6iniMiiie «MBtioD d« ce» sphères. * ■u..,i:- is; t ■.: ;■
Le point H^ qui repréai^ta .lui pcojecAiw.de la ligne suivant laquelle se ^oijupent .«^ deux pbns t^Hicau » sera aussi la projectioa Hofifontato de» {loiats d'intet*^ section demandés.
Si maintenant on décrit sur g^i', le cafcle qui est la commune section de la première et de la troisième sphère> on trouvera deux pointé H , iqtfî donneront IA'IBl pour la distance de ceux qu'on eb^roha, «u* plan borisoiital; l'un sera placé au-dessus et l'autre âH'^dtat^sou».
Il est aisé de voir que la question résolue ci- dessus revient à trouver les proJéc$Hme d^t^n, pomèj lorêqu^on comurit ses distancêa à irais autres poiiUsqui' soBtdonr nés de position.
68. Corollaire IL Si l'on relève lies triangles 4tï'g', N'FK' et N'MT, en les faisant tourner ajitour de^ignea FM^ P'N' et N'M', les points g', K' et I' se réuniront dans tin seul , et il en résultera une pyramide dont la base sera le triangle M'N'P^^ et les arêtes siéront les rayons des sphères données : nous avons Jonc le moyen de construire une pyramide triang\ilaîre dont on connaît toutes, les arêtes j, et d'en trouver Ta hauteur^ les angles, etc.
PROBLÈME
69. Mener un plan qui touche dans un point donnée . une sphère donnée.
Il suffit pour cela ( Gèom, 294 ) de mener un rayon
56 OOMPL^JSNT
par le point proposé ^(^^ ,deçcwftraire lo plan <|tti €il perpenaiculâire â'I'fxtrèm^de.oe rajon.
Tout ced's'ezéjratés^pf |auqana difficulté; il est baa seulement âè i^marâiui* comment un pmnt peut Atn»! donné sur 1â' inr^cè aune sphëre. Il existe eiitr« k»; deux projections de ce point li^ne dépendance mutneUe qui fait qù6 Ttine ^Unt prise a Tolonté » Faulce s^ensuit nécessaireiïieut. '* «
En effet, bu Toit d'i^^ que la projectiou sur le plan liorîzontal, paf exeoipte^ ne doit pas se trouter liors du cercle qui a pp^r rayon celui de la spKèrey et pour centre la projection du centre de ceHe-ci sur . le plan horizontal } car si Ton imagine un plan passant par le centre de la sphëre et parallèle au plan bori* contai , il la coupera dam un grand cercle , qui étant projeté sur Ib dernier plan , ne changera pas de gran-t deur, puisque l'ensenible des perpendiculaires abaissées pour former sa projection composera un cylindre droit » dont la base est toujours égale aux sections faites par les plans qui lui sont parallèlçjf.
Fîg- 48- Gela posé» ayant pris iç{. point F pour la projection horizontale d'un point de la sphère , on construira aisément la section de celle^i par le plan vertical mené par ce point et le centre , puisque cette section est un grand cercle'; et élevant la perpendiculaire' FPy on trouvera les hauteurs du point proposé , âu*dessus du plan horizontal.
L'inspection dé la figure fait connaître qu'il y a deux points de la sphère qui ont la même projection sur le plan horizontal ; et pour mener les plans tangens aux points P , il suffira de construire par ces deux points un plan perpendiculaire a chacun des rayons MF , ainsi qu'on l'a vu n** 35.
