Remarque, Nous avons toujours exécute les

DES iLÉuakâ ^VovOtéTRiB- $7

constrnctknnclsai les pUn^.^QÎ ics'c^iiîieuh^iiL réel le -.Vl g. 48. ment, parce qu'il en i'ésiiïte"iine pJus'eraiiJç facililé poDr se rapréwwlerféUtaela'^iiiSlKiii, en, contenant que cw plans soient rdéir^ oâus j^ sitùulipa ,qu'i]s oui tlaos Tespace. ■ ■■.a j

Cemoyea très comùdd^, souvent mtmc nûcfissaire . poW les démonst rations, nie convient pas toujours à I3 . pratique, dans laquelle il est icupoitant de faire k-pliu petit nombre d'opérations' possilble , surtout lorsque l'on trace en grand , et de choisir ces opérations d'une maniera convenable A là nature Aes injtrunieiis «ju'oa, emploie.

Il faut alors tirer parti des' ligues nicnées cl des plans déjà établis dans la figuri;, ce iju! cïîgc dans Ve^poié. des Bolations qucilques détails de plus, et Justine un pea la prolixité des descriptions ïfpui-ns'.^') données par ceux qui n'ont enTÏgagé celle l.'ianclie de la Gio- ., métrie que du côté de ses applicalioiis aus arts sçu-

Ponr moi , qui me suis propose' de' la rçll'uire à uh, petit nombre de questions élémniltairés cVinéos entre elles , j'ai dd choisir nne marclie tâUi <{>Û!, )a «olùtioa de cliaque problème fût anéê H énoncer, ^t ^^suiTre ; cependant, pour faire contialtrc en quoi' Jiéii vent consister les simpliGcatioRS dont je Tiens de i^rlér, ]c vais montrer comment, avec le plan vertical èi'leplan.lkoriiontal seuls , on peut avoir les projec^ons de .toiis les points d'une sphère.

Il est érident qne le plah vertical P'M'MF peut tire conçu enlevé de sa placé , et transporté sur le plan coordonné DAB , de manière que l'angle droit

(') On appelle épure, en tenue de coupu des picrivï, Li coat-

58 COMFlÀiilUT

l' ig. 4<s. MM'P soit appliqué sar l'angle droit 'M"MX ; alors toutes les conslrudions qft'on suppose sur le premier plan , dont la position cbonge avec celle du point que Ton coDSÎd^e , pourroiït s'exécuter sur le second > d*une manière uniforme pour tous les cas. Ainsi Pon prendra Mp égale à MV, et l'on élèvera pp' perpendiculaire -gai' AB; elle rencontrera le grand cercle de la sphère tracé -sur le plan DAB^ en deux pointé p''' P'^' V^^ donneront les hauteurs des points P de l'espace.

Si l'on rapporte ensuite le point P^ sur le plan DAB, on aura en P", les projections verticales des deux points de la sphère qui répondent au point P' du plan hori-~ xontaL

Pour constrjuire le plan tangent , il ne s'agira plus que de mener nn plan perpendiculaire à l'extrémité du rayon de 1^ sphènc qui passe par le point donné, et dont on a jçs projections.

PROBLÈME

7 1 . Mener par une ligne donnée j un plan tangent à une eplière donnée.

Nous ne nous proposerons pas de mener par un point donné pris hors d'une sphère, un plan qui lui soit tangent , parce que cette question c^t indétermi* née , comme il est aisé de le voir en imaginant que le plan tourne autour du point proposé , ce qu'il peut faire sans cesser pour cela de toucher la sphère : il n'en est pas de même si l'on se donne une ligne droite.

Pour résoudre cette question, il faut mener par le centre de la sphère , un plan perpendiculaire à cette ligne , chercher le point où il la rencontre , et, par ce point, mener une tangente au grand Cercle, qui est l'intersection de la sphère et du plau perpendiculaire à

DES ihàMlUn D£ l^ioMÉTBlK. S9

la ligoe donnée ; oeUe-ci et la' tangente dont on vient de parler déterminent le plan dkmandé.

La raison de cette oott8t0ttation*eit ailée à apercevoir en imaginant nu plan M^P'F^, aiené par le centre Fig. 4g. de la spliëreet la ligne detiiiéeF^£%ainai que le plan M'V^N perpendiculaire à <totte ligne v car alors il snit du n" 35, que le plan JUI^F' est perpendicalaire au pobt N de la droite M'N , et ^e par conséquent il touche la sphère au point M.

PROBLÈME

7a. Mener un plan qui reposé éisi^' trois chères don-nées dé grandeur et de position. ' '

Je suppose qu'on ait prb ' pour plan de |>ro)ection liorizontale, celui qui passe par tes ^cètttres des trois sphères 9 ce qui est toujours pos^le.

Soit menée une tangente HM , connllrane aux denx Fig. 5o. grands cercles qui sont les intei'sectfons de la première et de la deuxième sphère , avoo le plan horizontal > et dont les centres se trouvent en ¥ et en E *, on concevra ensuite que l'angle HMF et tout ce qu'il contient tourne autour de la ligne MF : les deux circonférences qui ont leur centre sur cette ligne engendreront les deux sphères proposées , continuellement touchées par la droite HM dans les différentes positions qu'elle prendra. L'ensemble de ces positions formera nn cône droit; car les points de contact seront tous Sur les cercles décrits par les points H et K.

On arrivera aux mêmes conséquences pour les sphères dont les centres sont en F et en G , et la ligne OL engendrera pareillement un cône droit qui enveloppera ces deux corps.

Cela posé^ on voit évidemment que les deux cercles décrits par les points O et H ^ placés sur la même

6o COMPLEMENT

Fig. 5<i. sphorcy se roncxMitreront dans un point qui appartiendra en même temps aux deux cônes envcloppans, et dont on.tffoav^ni la fnr<^ectton sur le plan horizontal, en meoan^'OR ctfiR respectivement perpendiculaires k FL et, À .SAIy puis^fiie Ces droites représentent les interseotions ^ oe> fdan avec ceux dans lesquels se tro^Te^t 1^$» aaoddê dont il s'agit.

Le point dont R est fa projection horizontale i étant construit > diâcone des lignes tirées de ce point aux sommets L et M des cônes enireloppans , touchera deux des trois sphères , et elles détermineront un plan qui touchera en même temps les trois sphères ; car il touchera d'abord la prenbière , parce que , passant par deux tangentes au point dont R est la projection ^ il sera perpendkBAaîre au rayon tiré à ce points il tou^ chera ensuite les deux autres sphères , parce que les droites. GN et KE , rayons de cdles-ci, étant en situation , lui soM- perpendiculaires y comme parallèles au rayon tiré du centre de la première sphère au point dont R est la projectioc.

Le même plan rencontrera le plan horizontal^ suivant la ligne LM qui joint les sommets des cônes : il ne faudra pltis que l'assujettir à toucher l'une quelconque des trois sphères , ou à passer par le point dont R est la projection horizontale , ce qui est facile.

73* Remarque. La question proposée est donc réduite à trouver les points de concours L et M, des tangentes communes de deux cercles , avec la 'ligne qui joint leurs centres.

Ce problème, qui est du ressort de la Géométrie ordinaire, n'entre pas dans noire sujet ; cependant , comme il ne se trouve pas dans tous les livres élémentaires ^ nous en donnerons une solution dont l'auteur nous

DU iLildUIS DB oioHiTHIE. 6l

vst iaconnu , mais qui est rcmarqaaUe par » sîm- Fig. Sa. plicitc. ■ -'

ânr la distance GF de» ticits. «lentm , «oiriine mmëtre, «i décrit U demi-ciroonfânaiDe FFO^ on décritauss! da point F comme centre, ufrorc de cerds d'un rayon FQ égal à la difiiÉr«noo des rayons des cercles donnés, et par le point P ou aetirc rencontre le premier, on mène le rayon OF qoi détermina snr la circonférence du pins grand des deux cercles doiH nés, le point O par lequel doit être menée lenr tangente commune.

La démonstration de oette constroctioD est très simple. 11 est aisé de Toir que l'angle FPG est droit-, d'oA il suit que OL est parallèle k FG , et s'en trouTe éloi- ' gnée d'une quantité OP qui , par construction , est égale au rayon NG du petit cercle.

74- Corollaire. Si l'on imagine nu troisibnkc oâne qui enveloppe les deux sphères dont les centres sont en E et G, il suit de ce qui vient d'être dît, que ce cane sera formé par toutes les droites qui pourront toucbir à la fois ces deux sphères; il contiendra par conséquent sur sa surface, la ligne qui joint les points de contact de chacune d'elles et du plan construit précédemment. Ce 'cône sera donc touché par le plan dont il s'agit , et cela dans toute l'étendue d'une ligne droite qui passera nécessairement par son sommet , point qui doit aussi se trouver dans le plan qui contient les centres des sphères proposées : il est donc sur la droite LM, intersection de ce plan arec le pbn tangent; f

De là découle naturellement cette conaéqaeac* , que les points de concours des tangentes communes à trois cercles combinés deux à deux , sont placés sur une

63 coMP^£all£^T

fig. 5a no^^e ligne droite; propositioû dont je dois Ja connaissance à Monge (*).

(*) Le iMxntyic rencontre des tangentes commîmes à deux cercles peot aussi se troilvcr entre c«& cercles; par la même raison , on peut mener des plans tangens communs h trois sphères qui ne les touchent pas tontes d'un même câte'. On pourrait demander, par exemple, que Pu ne d'ellrs fftt tonchvc-dant sa partie inférieure, et les deux ftotres dans leur partie supérieure. En combinant ces conditions , on trouverait quelii problème du n^ 72 esi susceptible de huit solutions, mais qui se déduisent toutes de la même constructioBv