DES SURFACES CONIQUES

•^5. Si l'on conçoit qu'une ligne droite qui se meut dans l'csfiace^ soit assujettie à fesser constamment par un point donné > et à suivre le contour d'une courbe donnée de position sur un plan , elle formera une sur* face dont le cône n'est qu'un cas particulier , dans lequel la courbe prise pour diriger le mou'vement de la ligne droite est un cercle. Construire cette surface, c'est assigner la position de ses points relatÎTement a un ]>]an donné ) et ce but est rempli lorsqu'on est paryenu à connaître pour cbaque point du plan horizontal , la hauteur de celui qui lui correspond dans fa surface proposée , ou sa projection sur un plan vertical donné.

Les surfaces de ce genre étant coupées par des plans verticaux assujettis à passer par le sommet, les sections sont des lignes droites. Si y par un point pris sur le plan horizontal , et par le sommet du cône , on mène un plan vertical , sa rencontre avec la courbe donnée fera connaître un point de la ligne droite cherchée , qui doit passer aussi par le sommet du côi|^. Cette ligne se trouvant tout entière sur la surface du cône , donnera la position d'une infinité de points de cette surface.

Les surfaces coniques coupées par des plans parallèles entre eux , donnent pour sections des courbes semblables entre elles.

Les cônes sont aux pyramides ce que les courbes sont aux polygones inscrits et circonscrits.

V\ç. 5i. Soit| par exemple, la courbe H'X' tracée sur le plan horizontal , et supposons que la droite MH' qui doit se mouvoir le long de cette courbe , soit assujettie à passer constamment par le point M ; voici comment on pourra trouver la hauteur PP' du point P de la surface proposée qui répond au point F du plan horizontal.

DES ^LéMEVS I>ft céoMLTAIE. 65

Si Ton conçoit un plan vertical qui passe par le point Fig. 5u P' et par le sommet M, ce plan coupera la surface conique suirant une ligne droite sur laquelle se trouvera le point cherché; il n'est dpno plus.quesMpn que de construire ce plan et la ligne^qm'il qcuitient. En joignant le point P' avec le point AI-i projeotiop du sommet du cône, on aura la ligne M'Hf qui sei^-la commune section du plan dont on vient de parHvf avec le plan bori- ^ sontal , ou la projection de la ligne droite menée sur le cône par le point cherché». Il est. clair que. H' sera le point où cette dernière rencontrera la courbe : on aura . donc pour la déterminer deux points H' et M , qui étant rapportés sur le plaa vertical , en iS" et M", donneront sa projection MSâ*'\ rapportant aussi F sur le même plan , en P''^ la hauteur cherchée sera. PP^.

Si la courhe X'H^* était . un . cercle « on aurait le cône désigné dans les élémens, sous le nom de cône oblique; et si le point M' était le ceatre de ce ^i^cle, la surface engendrée serait alors celle du cône droit. Dans tout autre cas,^c'est une surface analogue , et que nous désignerons toujours sous le nom <ie cône, parce que nous attacherons à ce mot l'idée d'une auriaçe composée de lignes droites qui se rencontrent toutes en un seul point.

Une ligne droite étant indéfinie par sa nature, il s'ensuit qu'on peut concevoir la ligne génératrice prolongée autant qu'on le voudra au-dessus du point M; la surface çngendrée par cette portion , sera un cône pareil à celui qui est produit par la portion inférieure au point M , et ils ne constitueront a eux deux qu'une seule et même surface dont, ils seront regardés comme des nappes^ mot analogue à celui de branche dans les courbes.

C'est un principe général de considérer comme appartenant à une même surface toutes, les parties qui

Compl, de la Géom, 6' édit. 5

peuvent être engendrées , soit par le mètùe moaveTnenf^ «oit par la même courbe^ embrassée dans toute retendue qu'elle peut avoir.