DES COURBES A DOUBLE COURBURE

77. Si l'on conçoit une .suite de points pris sur la surface du cylindre, d'après une loi donnée, Fensemble de ces points formera une courbe, qui le plus souvent ne saurait être comprise tout entière dans un môme plan ; la projection horizontale de cette courbe sera la base du cylindre sur le plan horizontal. Imaginons ensuite que , par chacun des points dont on yient de parler, on abaisse des perpendiculaires sur le p(an verti— cal ; l'ensemble de ces perpendiculaires formera une

{*) n n^est pas nëcessaire qne la ligne dont les projections sont H'P^ et HT^, soit nue des positions de la droite génératrice du cylindre ) il suffit qu'elle loi soit parallèle.

seconde surface cylindrique qui rencontrera la première^ suivant la courbe déterminée par la suite des points proposés ; et les intersections des perpendiculaires arec le plan vertical formeront une courbe qui sera , snr ce plan, ]a base du deuxième cjiindre ^ et par conséquent la projection de toutes les courbes qu'on pourrait tracer sur ce cylindre. Il suitde là qu'elle appartiendra aussi k la courbe suivant laquelle se coupent les deux cylindres qu'on a considérés.

Cette courbe sera déterminée par ses deux projections 'y car elle est donnée par Tintersection de deux surfaces cylindriques perpendiculaires à cbacun des plans coordonnés ; comme une ligne droite est donnée par l'intersection de ses deux plans projetans. Les cylindres remplacent ici ces plans ; mais deux plans quelconques déterminent, par leur rencontre, une ligne droite , et l'intersection de deux surfaces courbes déterminera une ligne courbe dont tous les points pourront ne pas être dans un même plan. De la résulte la division des courbes en courbes planes et en courues à double courbure ; les premières ont tous leurs points situés dans un seul plan : il n'en est pas de même des dernières » qui n'ont jamais qu'un nombre limité de points dans le , même plan.

Pour donner un exemple bien simple de ce genre de courbes, soit un cylindre droit à base circulaire, sur la surface duquel on ait posé la pointe d'un compas, et pendant qiie celle-ci reste fixe, qu'on fasse mouvoir l'autre de manière à repcv^er toujours sur la surface du cylindre; la seconde pointe engendrera évidemment une courbe à double courbure , qui aura tous ses points également éloignés de celui sur lequel tombe la pointe fixe. Cette courbe fera donc partie d'une spbère qui aurait pour rayon l'ouverture de compas donnée; elle.

D£S ilÀMBiUS DU oioMÀTfilE. 69

sera par conséquent l'intersection du cylînçli'e proposé avec la spliëre.

CSet exemple suffit pour faire voir comment les courbes naissent de L'intersection des surfaces ; c'est pourquoi nous renverrons les prcblëmes qui regardent les courbes nui articles où nous traiterons de l'intersection des surfaces (*).

Il résulte de ce qui précède , une extension des deux genres de surfaces que nous venons de considérer 9 tiavoir , les surfaces coniques et cylindriques: on peut, au lien des courbes planes que nous avons cboisies ]>our diriger le mouvement de la ligne génératrice clans l'un et l'autre cas , prendre des courbes à double courbure.

Cette circonstance n'ajoute aucune difficulté à la construction des surfaces coniqnes et cylindriques ; car la courbe directrice étatit donnée alors par ses deux ])ro)ections , quand on a trouvé le point où le plan vertical mené par le sommet du cône, ou parallèlement à la génératrice du cylindre, rencontre la projection horizontale de cette courbe , on rapporte ce point sur la projection verticale, et l'on trouve un point de la projection verticale de la droite qui appartient au cylindre ou au cône proposé : alors il ne reste plus qu'à mener cette droite suivant les condition^ données dans les articles précédens.

(*") On a donne le nom de courbes k double courbure h ccllea dont tons \és points ne sont pas dans un même plan , parce qa'étant le rcfsallat de riotersection de deax surfaces conrbrs, elles' partagent la ronrbare de Tune et de Pautre. On rend cela sensible en supposant «ne courbe tracée sur nn plan, pC que ce plan Tienne à se gauchir, on qn^il soit roule d''ane manière quelconque : alors la courbe pro« posée prend une nouvelle courbure , qui résulte de celle que les circonsfances, on la volonté, ont donnée au plan.

'JO COMFLéMXMT