DES INTERSËCTIOINS DES SURFACES COURBES

80. La méthode la plus naturelle et la plus générale pour construire leis intersections des surfaces courbes, consiste à les imaginer coupées par des plans menés suivant certaines conditions. Lorsqu'on a déterminé les sections faites par un même plan dans chacune des deux surBeices courbes proposées , les points qui sont communs à ces deux courbes font nécessairement partie de l'intersection cherchée, puisqu'ils sont à la fois sur l'une des surfaces courbes et sur l'autre.

Les plans coupans peuvent être menés parallèlement à l'un des plans coordonnés. Supposons que ce soit au plan vertical; il sera facile de construire les courbes suivant lesquelles ils rencontrent les surfaces proposées ; car tous les points de ces courbes auront leurs projections horizontales dans la commune section du plan coupant qui les renferme et du plan horizontal ; <*t comme ces points sont placés sur des surfaces courbes dont la construction est connue , on pourra trouver la hauteur de chacun d'eux au-dessus de sa projection. Le plan coupant étant parallèle au plan vertical, on pourra rapporter sur le second , tout ce que le

72 COlfPLÉHEKT

premier contient , sans que les lignes qui s'y trouvent changent de grandeur ou de positions respectives ;çt par conséquent on aura immédiatement dans la rencontre des sections tracées sur le plan vertical , la projection d'^un point de l'intersection des surfaces proposées.'

En répétant les opérations indiquées, on trouvera autant de points qu'on voudra de cette intersection.

La méthode que nous venons d'exposer peut s'étendre à tontes les surfaces courbes en général , mais on voit qu'elle exigera presque toujours que l'on construise dl3nx courbes pour trouver chaque point des intersections de ces surfaces, et il arrive dans beaucoup de cas qu'en choisissant les plans coupans d'une manière convenable, les sections à construire ne sont que des lignes droites ou des cercles, et par conséquent n'exigent qu'une opération pour trouver tous leurs points. C'est en se rapprochant le plus qu'il est possible de la génération des surfaces dont on cherche la rencontre , qu'on parvient à des constructions simples et faciles ; et l'on en obtiendra de telles , en renonçant quelquefois au système des plans coupans , pour employer des surfaces courbes dont les sections avec chacune des proposées soient aisées à déterminer.

Des exemples particuliers rendront très claires ces notions générales, qui peuvent d'abord paraître compliquées y et montreront comment il faut se conduire dans les cas dont on ne parlera point ici.

PROBLÈME

8i. Construire l^ intersection d'un cylindre et d*une sphhe.

On prendra pour plan des projections horizontales, un plan parallèle à la ligne génératrice du cylindre, et pour plan vertical celui qui est perpendiculaire à cette. ligne.

liES £l£mxks de QioyiiTTiiE. . 7 3

Si Pon imagine ensuite que les pians coupans soient parallèles au plan horizontal , ils rencontreront le cylindre dans des lignes droites parallèles à son axe , et la sphère suivant des cercles dont le centre sera projeté au mémo point du plan horizontal que son centre ; les rayons de ces cercles seront faciles à trouyer par ce qui a été dit au n® 63.

Cette construction peut s'exécuter facilement à l'aide des notions qui ont précédé cet article , aussi trouverat-on ici peu de détails ; et cela , parce qu'il me semhie que lorsqu'on a suffisamment indiqué comment il faut mener les plans ou lignes qui résolvent une question, l'ordre, autant que la brièveté , veut qu'on se dispense d'expliquer de nouveau les procédés qui font partie des questions déjà résolues.

Dans les cas dont il s'agit ici , on a mené des droites g''!'', parallèlement à AB, dans le plan vertical ; elles sont Fig. 54. les communes sections de ce plan avec les plans coupans qu'on suppose horizontaux; g^'i'^ est évidemment le rayon du cercle suivant lequel un de ces plans rencontre la sphère dont le centre est projeté en E'' sur le plan vertical, et en E' sur le plan horizontal.

Les points P^, et P"3, où la ligne g^i" rencontre la base du cylindre , sont les projections verticales de deux droites qui se trouvent sur sa surface, et qui sont coupées chacune en deux points par le cercle de la sphère, compris dans le plan horizontal mené par g'^i''.

Par conséquent ^ si ^ du point £' comme centre et d'un rayon égal à g'i", on décrit un cercle, les points p', , P 3> P'i, P's^ où il rencontre les projections des droites dont on vient de parler, appartiennent à l'intersection cherchée de la sphère et du cylindre.

Par le même* procédé > on déterminera autant de points qu'on voudra de cette intersection ; mais ceux

74 COMFLSMSMT

Fig. 54* <I^'il ^*u^ s'attacher spécialement à trouyer les premiers , sont ses limites. Ainsi, dans l'exemple qui nous occupe, le cylindre pénètre entièrement la sphère , et par conséquent il la rencontre deux fois , savoir , à son entrée et à sa sortie : chaque opération donne à la fois des points de l'une et de l'autre de ces sections, qu'il ne faut pas confondre ensemble, et c'est à quoi l'on parviendra en se représentant la situation respective des deux corps. On verra alors que la plus grande largeur des sections doit se trouver dans le plan coupant mené par l'axe du cylindre ; que les points placés au*dessous de ce plan sont ceux où les sections s'approchent le plus Fune de l'autre , et qu'au contraire les points qui sont au-dessus appartiennent aux branches les plus éloignées.

A l'aide de ces considérations, on sentira aisément que P'i P's P'4 P'» est la projection sur le plan horizontal, de l'entrée du cylindre dans la sphère , et p\ p's p'4 p'ft celle de la sortie: quant à la projection verticale, elle est commune à toutes deux : c'est le cercle qui sert de base au cylindre', sur le plan vertical.

Fig. 55. La figure suivante représente avec les mêmes lettres le cas où le cylindre n'entrerait pas de tout son diamètre dans la sphère. Il est évident que les points L'i et 1/^ donnent alors les limites , et que la section est unique (^}.

PROBLÈME

82. Trout^er les projections de la courbe qui est l*in^ ierscction d'une sphère et d'un cône.

On fera passer les plans coupans par le sommet du cône , et on les supposera perpendiculaires au plan horizontal ; par ce moyen les sections faites dans ce cône

(*) Dans l'an €t Pantre exemple, les seciions ne sont , analjr tîqoe- Bient parlant , ^a'nne même courbe, donnée par nnt seule ^fuation.

DES éLÉMXNI D8 o£om£tRIB. f5

seront des lignes droites faciles à déterminer , et celles de la sphère seront des cercles dont on trouvera le centre et le rayon par le procédé du n" 63.

En voilà assez pour mettre ceux qui sottt familiarisés avec les constructions que nous ayons données, à portée de résoudre le problème proposé ; nous ferons seulement remarquer un procédé analogue à celui du n° 'jo, par lequel on abr^e un peu l'opération.

Soit menée, dans le plan horizontal, la droite S'K.' ^'S- ^^' qui représente la commune section de ce plan et de l'un des plans yerticaiix passant par le sommet du cône , point dont les projections sont en S' et S" ) au lieu de rabattre le dernier plan , en le faisant tourner autour de S'E.^ , qu'on le transporte sur DAB, en couchant la ligne S'ES sur AB, de manière que le point S' tombe en S 'y alors, en prenant Sk.:=S''K!, on pourra mener les droites S'^k, qui seront les sections du cône, par le plan coupant (76). Faisant ensuite mg=:S'G', le. point g sera la position du centre du cercle dans lequel la sphère rencontre le plan coupant ; car il répond audessus de G', à une hauteur égale à celle du centre de cette sphère , qu'on voit projeté>n E' et E" : enfin le rayon de ce cercle est gh , égale à G'H' (63).

Les points p , où le cercle dont on vient de parler coupe les droites S"]l, appartiennent à l'intersection du cône et de la sphère proposée. Ils sont au nombre de quatre; deux se trouvent sur la courbe formée par l'entrée du cône dans la sphère , et deux sur celle qui résulte de sa sortie. On appliquera ici les observations que nous avons faites pour le cas du cylindre.

Les points p sont placés dans le plan coupant; pour avoir leurs projections > il faut prendre S'P' égale api, et le point P' sera la projection sur le plan horizontal : élevant ensuite P'P", perpendiculaire à AB , la projec-

76 COMl*LiM£NT

Fig. 56. lîon yertîcale P* se trourera à la rencontre de cette droite et de p i ; car le point p étant pris dans un plan Yertîcal, est à la même hauteur que sa projection sur tout autre plan Tertical.

Afin de ne pas compliquer la figure , l'opération n'a été exécutée que sur un seul des points p, mais elle aurait lieu de la même manière sur les trois antres.

Quoique la base du cône représenté dans la figure soit un cercle^ comme on n'a employé aucune des propriétés qui la caractérisent y on i^oit que la construction précédente s'étendrait à tout autre cas.

PROBLÈME

^ 83. Construire V intersection de deux cônes.

Nous supposerons, pour plus de simplicité 1 que les côoes proposés aient leurs bases sur un même plan , c'est-à-dire que l'on connaisse la courbe suiyant laquelle chacun d'eux coupe l'un des plans coordonnés , l'hori^ zontal y par exemple : on verra bientôt que la question peut tdAijours être ramenée à cet état.

Cela posé, j'imagine un plan passant par la ligne qui joint les sommets des cônes proposés, et tournant autour de cette ligne; ce plan , dans chacune des positions . où il rencontrera les cônes, les coupera suiyant des y lignes droites, qui seront en général au nombre de quatre, . savoir, deux jiour l'un, et deux pour l'autre*, et comme elles sont toutes dans un même plan , celles qui appar- * tiennent au premier cône rencontreront leurs correspondantes sur le second , dans des points qui feront partie de l'intersection de ces surfaces.

Fig. 57. Soient S' et S", s* et s" les projections des sommets des cônes, l^F' et f'f ' les courbes qui leur servent de base sur le plan horizontal , Ë' le point oh la ligne qui passe par les sommets des cônes proposés rencontre le plan

DES KLÊMSNS DS O^OMKTIUK. *]*]

borisontal ; il est éYÎdent qoe le plan coupant, dans toutes Fig. ses positions y doit toujours passer par ce point.

Je mène ensuite la droite E'F' à volonté , mais de manière cependant qu'elle rencontre les deux bases des cônes , et je regarde cette ligne comme la commune section du plan coupant et du plan horizontal.

Je construis (76) les projections des lignes tirées des points F' au sommet du premier cône , et des points i' au sommet du second ; ces lignes sont respectivement les projections des génératrices des deux cônes proposés , situées dans le plan mené par la droite qui joint les sommets des cônes et par la droite ET' ; et leurs rencontres , marquées sur chacun des plans coordonnes par les chiffres i , 2> 3, 4» seront des points de Fintersection demandée*

En jetant les yeux sur la deuxième figure , on concevra facilement que l'un des cônes proposés pénètre l'autre , et que des quatre points qu'on trouve par la construction précédente, deux appartiennent à l'entrée f et les deux autres à la sortie du cône pénétrant,

84. Corollaire /'^ S'il s'agissait de trouver l'intersection d'un cône et d'un cylindre, il faudrait imaginer par le sommet du cône, une droite menée parallèlement à la génératrice du cylindre ; alors tous les plans passant par cette ligne couperaient le cylindre et le cône proposés, suivant des droites, et la construction serait la même que dans le cas précédent. ,

85. Corollaire //. Enfin, si l'on demandait l'intersection de deux cylindres, il faudrait les imaginer coupés par des plans parallèles à leurs génératrices; et dans le cas où ces cylindres auraient leurs bases sur le même plan , la construction deviendrait analogue à celle qui et é indiquée ci-dessus pour les cônes.

^8 iiOilWLàwUkT

En effet I on déterminerait (ai et 36) la ligne soÎTaift laquelle un plan parallèle aux génératrices rencontrerait le plan horizontal (^) , et l'on mènerait ensuite tant de lignes quon voudrait parallèlement à celle-ci. Les points oii elles couperaient les bases des cylindres proposés, seraient placés sur des génératrices prises dans le même plan , et dont on construirait les projections (76) ; leurs rencontres mutuelles détermineraient des points de la section demandée.

86. Remarque. I^ous ne saurions entrer ici dans le détail des procédés qu'on pourrait adopter pour les différens cas particuliers. Cet objet n'a d'ailleurs aucune difficulté ; et quand on s'est habitué au genre de considérations qu'il comporte, on trouve soi-'ménie les simplifications dont les méthodes générales peuvent être susceptibles.

Nous avons supposé que les bases des cônes ou des cylindres proposés étaient sur un même plan ; quoique cela n'arrive pas toujours , on peut l'obtenir facilement, puisqu'il n'est besoin que de prolonger jusqu'à la rencontre du plan horizontal les génératrices, construites comme on l'a vu (76 et 76).

On pourrait même se passer de cette opération préparatoire , en menant effectivement les plans coupans suivant les conditions données, et en déterminant leur rencontre avec les courbes qui servent à diriger les mouvemens des droites génératrices ; mais ce moyen n'est guère commode , surtout quand les courbes dont il s*agit ne sont pas planes.

(^} Pour construire. on plan suiyant ces conditions , il suffit cTinuM* giner par un point quelconque deux lignes respectivement paraU lèlei ik chacune des gffnératrices ; elles dëtenninérônt le plan de* mande (36).

DSI iLhÊMSfB PS •ioËÊtàrjOE. 79

Voici un cas particulier qui peut être utile : celui de deux cylindres droits.

Nous prendrons pour plan horizontal un plan parallèle à la fois aux deux axes de ces cylindres y et deux plant Terticanx , respectiTcment perpendiculaires à chacun de ces axes.

Gela posé; si l'on conçoit ces cylindres coupés par des plans horizontaux y les sections résultantes seront des droites parallèles aux axes; mais£"F'' étant la rencontre du plan vertical DAB ayec un des plans cou pans, EE^ Fig. 58. et FF^ seront les intersections de ce plan et du premier cylindre, projetées sur le plan horizontal ; on trouvera celles qui leur correspondent dans le second, en menant dans le plan vertical d a h , perpendiculaire à l'axe du second cylindre, fe parallèle à ab, et éloignée de cette ligne d'une quantité égale à la distance de E'T" à AB< Il est clair que f e sera la rencontre du plan coupant avec celui de la base du second cylindre; et par conséquent ee' et/f' seront les lignes cherchées, qui i*encontreront leurs correspondantes i?E', FF', dans le premier , aux points i , a , 3 , 4 9 appartenant à la pro* jection horizontale de la commune section demandée. Quant à la projection verticale , elle se trouve sur le cercle qui sert de base au premier cylindre.

Si l'on demandait la courbe qui serait l'intersection d'un plan quelconque et d'une surface cylindrique ou conique', on pourrait appliquer les méthodes précédentes à oe cas particulier; car un plan appartient également à la famille des surfaces coniq^j^s ou à celle des surfaces cylindriques , puisqu'il peut être engendré par une droite assujettie à glisser le long d'une autre , et à passer constamment par un même point pris hors de cette droite, ou à se mouvoir parallèlement à elle-même. Nons^e nous arrêterons donc point sur ce sujet, qui

8o COMPLéMSMT

d'ailleurs est susceptible de simplifications particulières très aisées à découvrir , en choisissant convenablement les plans coordonnés.

Nous observerons, en général , que l'intersection d'une surface courbe et d'un plan quelconque peut toujours se construire facilement, puisque , quel que soit le système des plans coupans, leurs rencontres avec le plan proposé seront toujours des lignes droites faciles à déterminer.

PROBLÈME

87. Construire l'intersection de deux surfaces de répolution^ dont les axes sont dans un même plan.

Ce cas particulier, mais cependant assez étendu, mérited'étre traité avec quelque détail, parce qu'il offre l'exemple d'un procédé qu'on peut appliquer souvent avec avantage.

Pour construire les intersections des surfaces, ik>us avons employé jusqu'ici des plans coupans : ce choix esijt en effet le plus simple qu'on puisse faire; mais il est aisé de s'apercevoir que l'esprit de la méthode consiste à couper les deux surfaces proposées par une troisième, parce que les sections qui en résulteront, se trouvant placées sur cette dernière , se rencontreront nécessairement, si les premières ont un point de leur commune section situé dans cette même surface ; et il 3' at des circonstances oii les sections formées par une surface courbe sont plus simples que celles qui résultent d'un plan. Dans le cas actuel , il convient de prendre , au lieu de plans coupans , une suite de sphères ayant toutes leur centre placé à l'intersection des axes des deux surfaces de révolution proposées.

Pour s'en assurer , il faut d'abord observer que deux surfaces de révolution ayant un axe commun, se ren-*

flantrent toujours dans un cercle dont le plan est per^

DES iubfENS DE oiOMETRIE. 8l

pendiculaire à cet axe> et qui a pour rayon la distance du même axe au point où se coupent les courbes génératrices situées dans un même plan. Cela posé y on voit qu'une spliëre dont le centre est au point de rencontre ^es deux axes des surfaces proposées^ pouvant être alternativement considérée comme décrite par la révolution d'un de ses grands cercles autour du premier axe et autour du second , doit couper^ suivant des cercles ; les deux surfaces proposées: voibi l'application de ces remarques.

SE et SF étant les axes, EX et FY les courbes gêné- Fij ratrices, du point S comme centre et d'un rayon pris à volonté, on décrit un cercle MN qui appartient à une spbëre dont le centre est en S, et qu'on peut regarder comme engendrée par la révolution de ce cercle autour de l'axe SE ; le point N , dans oe mouvement , produit un cercle qui ^est la commune section de la spbëre et de la surface qui a pour génératrice EX» Le plan de ce cercle est perpendiculaire à celui de la fjgure et passe par NH. En raisonnant de même, on verra que la surface décrite par FY autour de SF, est coupée par la spbëre dont on vient de parler, suivant un cercle qui a pour rayon GM, et dont le plan est perpendiculaire au plan de la figure : le point P sera donc la projection borizontale d'un point de l'intersection des deux surfaces de révolution proposées.

Le procédé étant répété fera connaître autant, de points qu'on voudra de cette projection : quant à la projection verticale, on la construira par les hauteurs, comme dans le problème du n® 4^, avec lequel celuixÀ a le plus grand rapport. On peut en effet arriver à la solution par le moyen de deux cônes ayant même sommet, et se coupant dans toute leur étendue suivant deux lignes droites , qui rencontrent aussi les surfaces de révolution v et par là on appliquera tout oe

CompL de la Gêom, 6* édit. 6

82 COUtliU&IT

qui est dit dans le n° cité et dans le suivant, à la qnes^ tion dont il s'agit ici.

88. Remarques. Pour donner quelques applications des problèmes précédens, notts allons énoncer plusieurs questions qu'on pcfùt résoudre par leur moyeh , et sur lesquelles il sera bon de s'exercer.

I*. Supposons que, connaissant les distances d'un point à trois droites données de position, on demande lés projections de ce point ; il est évident qu'en prenant ebacune des lignes données, pour l'axe d'un cylindre droit , dont le rayon serait la distance de cette ligne au point cberdié , cbacun des cylindres ainsi formés doit contenir ce point : il ne peut donc être qu'à leur ititersectîon.

Mais pour trouver la rencontre de trois cylindres, il faut d'abord cbercber les projections de la courbe suivant laquelle se coupent deux quelconques d'entre eux , puis déterminer eÀstiite les rencontres de cette courbe et du troisième, ou, ce qui revient au même, construire les plt>jections de l'intersection de ce dernier avec un de ceux dé)à employés ; on aura ainsi deux courlies qui détermineront, par les points où elles se rencontreroiit, ceux qui soiit communs à la fois aux trois cylindrée proposés.

Ces deux courbes étant données par leurs projections, les points oà celles-ci se rencbntreront seront les projections des points demandés.

Il est héùessaire d'appliquer au cas présekit ce qui a été dit pour les lignés droites (ig).

Toutes lés constrttetiôtts qu'on vient d'indiquer peuvent être exécutées fecilement par ceux qui auront com-» pris ce qui précfède ; ils ne sauraient élte arrêtés que par la lo^ueur de l'opération , capable de rebuter peut-être les personnes qui Okit peu d'habitude dé la règle et du

DES ^liimUIS DE o£oMéTRIE. 83

compas. Au reste, noas dirons ici, pour ceusL qui connaissent l'analyse, que la question proposée est en général du huitième degré et à trois inconnues ; il n'est donc pas étonnant que le procédé soit compliqué.

Il se présente un cas assez simple, que nous inTitons nos lecteurs à construire d'abord; c'est celui où les trois droites données sont parall^es à un même plan, qu'on choisira alors pour plan horizontal, et la constrnclion sera celle qu'on a donnée plus haut (85).

2®. Supposons qu'un objet D placé eti l'air, un ballon , Fig. 60. par exemple, soit tu à la fois de trois points donnés £, G, F', et qu'on obserye dans chacun, l'angle que fait le rayon visuel mené au point D, avec la verticale; on pourra trouver la hauteur de ce point, et sa projection sur le plan horizontal, de la manière suivante.

On choisira pour plan horizontal le plan P'Qf, qui passe par un des points donnés F^ ; et puisque la situation des points G et E est connue , on aura leurs projections G' et £' sur ce plan.

Gela posé , concevons que l'un des rayons visuels, DE , par exemple, tourne autour de la yerticale E'M qui lui correspond, en faisant constamment avec elle le même ai^le ; il engendrera un cône droit » sur la surface duquel se trouvera nécessairement le point D. £n appliquant ce raisonnement aux deux autx*es points F' et G , on aura trois cônes qui contiendront le point cherché : il sera donc placé à leur intersection.

Ici , comme danjs l'exemple précédent , on cherchera les projections des intersections de l'un des cônes avec chacun des deux autres ; et nous avons donné des méthodes applicables à cette détermination. Mais les cAnes proposés ayant leurs axes perpendiculaires à un même plan , et étant droits , il sera commode de prendre les plans coupans parallèles à celui-ci ; il en résultera ,

84 dOMPLiMSNT

pour les sections de chaque cône^ des cercles dont le rayon sera la perpendiculaire menée par le point de l'axe oji passe le plan coupant^ et terminée à la rencontre du côté ; et les cercles ainsi trouvés seront égaux, à leur projection sur le plan horizontal. Ces détails suffisent pour achever la construction. On s'assure aisément^ par l'anal jsC; que ce problème n'est que du quatrième degré.

Il esl aisé de voir que ce dernier procédé convient également à des surfaces de révolution y dont les axes sont perpendiculaires à un même plan.

3^ Supposons y pour la dernière question , qu'un observateur placé dans un ballon veuille déterminer sa situation ^ en mesurant les angles que font entre eux les rayons visuels menés à trois points dont la position respective est donnée.

Dans ce cas > on connaît les angles £DF'^ GDF et GDE I ainsi que la position respective des trois points Gy'E' et E ; nous supposerons qu'on ait pris pour plan horizontal celui qui est déterminé par les trois points proposés : on a donc alors la base d'une pyramide trian- ^laire> les angles au sommet, et l'on demande la projection de son sommet , sur la base, ainsi que sa hauteur. Fig. Gi. Soit GEF le triangle de la base ; ^imaginons qu'ob ait décrit sur £F, un segment de cercle £KF, capable de l'angle donné EDP {^fig, 60) ; ce segment , en tournant autour de EF> engendrera un corps qui contiendra sur sa surface tous les points de l'espace , tels que , menant de chacun d'eux des lignes aux points £ et F, elles feront un angle ^al à l'angle donné : le point D sera donc sur cette surface. Ce raisonnement étant appliqué à chacun des côtés "GF et GE, fera connaître deux autres surfaces de révolution , engendrées de la même manière , et contenant aussi le point cherché ; ces surfaces auront leurs axes dans' le même plan , et l'on en déterminera les inter-

DES ÉLÉMENS D£ oioM^TBIE. 85

sections par le procédé du n® 87. Les points de ren- Fig. 63. contre des projections horizontales de ces intersections détermineront le point H, qui sera la projection du sommet de la pyramide ^ sur le plan de sa base ; et la hauteur sera donnée par la même opération.

Ce problème y mis en analyse , offire des résultats curieux; et les formules données par Lagrange dans les Mémoires de F Académie de Berlin , année 1775, c(miduisent à l'équation d'une manière très simple. Les considérations géométriques qui ont servi à le résoudre^ étant traduites en langage algébrique , mènent à leur tour aux expressions trouvées par cet illustre Géomètre.

Ce problème est en général du huitième degré : on peut cependant , dans sa construction , réduire le nombre des solutions à quatre ; car les corps que l-on emploie j considérés dans toute leur étendue , sont produits par la révolution d'un cercle entier autour de sa corde ^ mais la partie engendrée par un des segmens appartient aux points dont les rayons visuels font des angles qui sont les supplémens de ceux que donne la partie en-r gendrée par l'autre segment.

Ainsi ^ dans la construction ^ on n'emploiera que le segment EKF ; car l'antre sèment £kF appartient à un angle qui est le supplément de F'DE (jlg. 60) (^).