SUITE DE LA GÉNÉRATION DES SURFACES COURBES

89. Nous avons parlé, dans les articles précédens , de la génération et des intersections des surfaces dont la construction dépend d'une seule ligne directrice ^ nous

{*) d'est par la solation de ce problème « que je dois à nn élève de rÉcole de Mëzièret, où Monge professait, que j'ai eu connaissance de la méthode donnée an n^ 87.

Le même problème a été résolu algébriquement par Estève , dans les Mémoires des Savuns étrangers , tome II , page 408 , et pai^ Kramp , dans son Arithmétique universelle , page' {oa.

86 COMFLiMBNT

allons maintenant passer à celles qui exigent le concours de plusieurs : nous commencerons par les surfaces composées de lignes droites.

Pour déterminer le mouvement d'une droite ^ il faut trois conditions ; car, dire que la ligne droite génératrice est assujettie k passer constamment par un point donné, dans le cas du cône, ou h être parallèle à une même ligne, dans la génération du cylindre, cela équiraut à deux conditions. En e£Pet , un point est donné par ses deux projections *, il en est de même d'une lignes la coexistence de ces données offre donc évidemment deux conditions : la courbe suivant laquelle se meut la lïgae génératrice est la troisième.

Pour offirir quelques exemples d'une surface engendrée par le mouvement d'une ligne droite assujettie à passer par deux lignes données , supposons d'abord que la première de celles-ci soit une droite verticale, et la deuxième une courbe quelconque donnée par ses pro^ Fig. 62. jections. Le mouvement de la ligne génératrice ne sera pas encore entièrement déterminé ; car , ^ient XM et ££' la courbe et la ligne donnée ; tandis que la ligne génératrice EM est fixée par un de ses points sur la courbe XM , elle peut tourner autour de oe point , et parcourir ainsi tou» ceux de la ligne ££'. Il faut donc ajouter une i(iouvelle condition ; et parmi toutes celles que l'on peut choisir, nous supposerons que la ligne £M r^ste constamment horizontale, c'est-à-dire que le point M et le point E soient toujours à la même hauteur.

La construction de cette surface est on ne peut pas plus facile ; car il n'y a qu'à faire passer par la ligne donnée E£' et par le point P, choisi arbitrairement sur le plan horizontal BAC, un plan vertical : l'or4onnée MM' de son intersection avec la courbe XM, sera la ' hauteur du point P au-dessus de sa projection horizontale.

DES éL^MBNS D£ GÉOMETRIE. 8^

^. Nous donnerons encore un autre exemple de surfaces analogues : nous concevrons que deux courbes XM, xm soient perpétuellement. coupées par un plan Fig. 63. DF^ assujetti à passer constamment par une ligne Terlicale AD. Si Pou jointe par une droite indéfinie Mm^ les deux points oii ce pUn^ dans chacune de ses positions, rencontre les conrbes proposées, XM et xm , l'ensemble des^ droites ainsi déterminées formera une surface courbe facile à construire par ce qui précède.

Nous ne nous arrêterons pas à détailler l'opération ; nous remarquerons que le cas le plus simple est celui oit les deux lignes courbes XM et xm sont remplacées par deux lignes droites ; et alors la surface proposée est celle qui est çngendrée par le mouvement d'une ligne droite assujettie à glisser le long de trois autres. On voit par là combien cette surface est aisée à construire , en choisissant les plans coordonnés de manière qu'il y en ait un qui soit perpendiculaire à l'une des droites données.

En général, le mouveq^^nt d*une ligne droite sera déterminé toutes le$ fpis que cçtte ligne sera assujettie à glisser le long dâ trois courbes données. Les surfaces dont nous venons de parler ne sont que des cas particuliers de celles qui naîtraient de ce mouvement ; toutes SQnt comprises âious le nom de surfaces gauches : le coin conoîde de Wallis est une de ces surfaces (*).

{*) Voici sa génération : BDE' étant nn qaart de cercle situé Fig« 64» dans un plan yertical et parallèle à la ligne AG , si Ton conçoit qa^un second plan vertical perpendiculaire à cette ligne , se meuve parallèlement à Ini-méme, et qu'on joigne par des droites G'F^ les points oh il rencontre la ligne AC et Parc DE^, dans chacune de ses positions , Tensemble de ces droites sera la surface dont il s'agit.

On voit qVie le corps terminé par cette surface et par les plans DAB , BAC , donne des triangles rectangles tels que FG'F^, lorsqu'on le coupe par des plana perpendiculaires à AC. Il nVst d'ailleurs que

91. Les deux dernières familles des surfaces qaenou^ Tenons de considérer , quoique composées de lignesr droites, différent essentiellement du cône et du cylindre. En effet, ceux-ci peuvent se développer, c'està-dire s'étendre sur un plan , sans déchirure ni duplicature ; car on peut conceroir le cône comme composé de plans infiniment longs et infiniment étroits ; et si Ton imagine que chacun de ces plans tourne autour de sa commune section avec le plan consécutif, comme autour d'une charnière , il pourra être rabattu sur celui-ci. On peut se rendre cette vérité sensible en substituant par la pensée au cône, une pyramide d'un très grand nombre de faces , et l'on verra aisément qu'à quelque point que se multiplient ces faces , la pro^ position ne cessera pas d'avoir lieu : elle conviendra donc au cône qui enveloppe toutes ces pyramides. Un pareil raisonnement s'appliquerait au cylindre , en substituant les prismes aux pyramides ; mais les surfaces dont nous avons parlé n® 8g ne jouissent pas de cette propriété ; car toutes les lignes droites qui les composent doivent se croiser dans leur direction , en passant

Fig. 6a« l'une au-dessus ^e l'autre dans la ligne E£^, sans se ren* cpntrer : or , d'après ce qui précède , pour qu'une surface soit développable , il faut que les lignes droites qui la forment se rencontrent au moins deux à deux. Il en sera de même du genre de surfaces considéré n® 90 , dans tous les cas, excepté ceux où , par la nature

fig. 63. et la position des courbes XM et xm^ elle se réduit ^ un plan ou à un cône.