DES ÉL^MBNS DE GEOMETRIE

considération des corps terminés par des plans. Toutes les surfaces des corps de ce genre peuvent se développer , mais cependant il existe entre eux à cet égard des différences sur lesquelles il convient d'insister.

Quand on considère une pyramide, abstraction faite de sa base , on voit que le développement peut s'en faire sur le plan de l'une de ses faces, et que, par ce moyen, les autres viendront se ranger à la suite de celle-là , sans qu'il y ait entre elles aucun espace vide, aucune solution de continuité. Il en sera de même d'un prisme lorsqu'on fera abstraction de ses bases, et l'on doit toujours le faire ; car les bases d'un prisme ou celles d'une pyramide , ne sont autre cbose que des termes que l'imagination ou le besoin met à des corps indéfinis.

Si maintenant on applique ce raisonnement à un corps d'une autre nature, un icosaèdre ou un dodécaèdre, par exemple , on verra qu'il ne saurait leur convenir, et qu'il y aura des vides entre les diverses parties de leurs développemens.

Mais les prismes et les pyramides ne sont pas les seuls corps dont on puisse développer les surfaces sans solution de continuité ; la notion du développement fait voir qu'il aura lieu toutes les fois que la surface proposée sera formée de plans angulaires indéfinis , joints les uns aux autres par des arêtes aussi indéfinies, quand même ces angles n'auraient pas leur sommet au même point.

Il est aisé de se représenter la figure du corps dont les faces seraient les plans angulaires MRM, , MiR,Ma , Fig. 65. MflRftMs , etc. , réunis deux k deux par un de leurs côtés , et inclinés d'une manière quelconque les uns à l'égard des autres. Il devient une pyramide lorsque tous les sommets des angles R, R[ ,Ra} etc. se confondent, et un prisme s'ils s'éloignent à l'infini ; car alors les arêtes MR; MiR,,MaRA, etc. sont parallèles.

go COMPLEMENT

Fig- 65. 9^* Concevons un plan assujetti à se n^puvoir sui' Tant une certaine loi^ telle, par exemple, que d'être constamment perpendiculaire à une courbe à double courbure donnée XZ ; soient PMN une des positions de ce plan , P|M,N, une seconde position consécutive 9t la première, et qui la rencontre suivant h ligne M|N|; soit encore PaMaN» une troisième position consécutive à la seconde , et dont la rencontre avec cette dernière soit MftNft ', enfin , soit PsMsNs une quatrième position du plan dans laquelle il rencontre la troisième suivant la ligne MsNs; on voit que, de cette manière , on formera un corps à faces planes terminées par des lignes droites y telles que MN, M(N(, M^N^, MsNs, etc.» qui sont deux à deul. dans un même plan , et qui par conséquent se rencontrent. Il est clair que ce corps peut se développer, en faisant tourner chacune de ses faces aur tour de sa commune section avec la face qui la précède, jusqu'à ce qu'elle arrive dans le plan de celle-ci.

Telle est la manière la plus générale dont puisse être conçue i^ne surface développable ; car , quoique nous n'ayons considéré qu'un corps terminé par un nombpre fini de plans , on peut imaginer qu'ils soient multipliés autant qu'on le voudra , sans quç la pjropriété que nous venons d'énoncer oesse d'avoir lieu ; et il en sera de œ passage comme de celv^i du contour des polygones à la circonférence du cercle : la oialtipUcation indéfinie des faces des corps que nous considérons, conduira h, une surface courbe à laquelle conviendront le$ résultat^ que nous venons de trouver.

lie cône et le cylindre s'en déduisent comme cas particuliers,. ainsi qu'on va le voir. lËn effet, il suit de la génération d'une surface développable quelconque, que les droites MN, M^N, , M.Na, etc. , la touchent dans toute leur longueui*, et ^ rencoutrçqt deux k deux

DES iL^MENS DE oioad^TRIE. 9I

aux points R , R, , etc. ; la suite de ces points appar- Fig. 65. tient à une courbe qu'on nomme arête de rebroussement de la surface proposée ^ parce que cette surface ne s'étend point daïis Tintérieur de la courbe, nsais forme deux nappes qui se recouvrent , l'une indiquée par la partie pleine des lignes MIN , l'autre par leur partie ponetuée. Si tous les points R, R[, R», etc. se confondaient en un seul, la surâice proposée serait celle d'un cône ; elle deviendrait un cylindre , si tous ces 'points de concours s'éloignaient à l'infini , et que les lignes MN, MjNi , etc. fussent parallèles entre elles. Dans le dernier cas, la courbe XZ, à laquelle le plan générateur doit être perpendiculaire dans toutes ses positions y est une courbe plane. En effet, )e plan gêné* rateur dans chacune de ses positions, se trouvant perpendiculaire k un même plan , celui de la courbe donnée , ses intersections successives seront aussi perpendiculaires à ce plan, et par conséquent parallèles entre elles.

La courbe RRjR» etc. pourrait servir à la génération de la surface proposée ; car celle-ci résulte de Fensemble des tatigentes de cette courbe, et il n'y a pas de surface développable qu'on ne puisse imaginer produite de cette manière.

Quand la courbe RR,Ra etc. est plane , la surface engendrée par toutes ses tangentes n'est autre chose que le plan dans lequel cette courbe est située (*).

94. On obtiendrait dies surfaces analogues aux précédentes et variéesà l'infint,en substituant auxlignesdroites des courbes d'une nature donnée ; et Pou trouverait qu'il

(^) G?68t Monge qui a nommé ceue courbe arête de rebroussement de la surface déweloppable , dans le IXe et le X« volume des Mémoires des Savans Étrangers , où il a traité ce sujet analytiquemenl avec beaucoup d'étendue : nous y renvoyons ceux de nos lecteurs qui voudraient l'approfondir davantage.

faut aussi trois conditions pour déterminer d'une ma* niëre complète le mouvement d'une courbe quelle qu'elle soit ; maisi sans entrer dans ces généralités^ je me bor-* nerai k indiquer la description des surjaces annulaires, Fig. 66. Soit XZ une courlje quelconque y GH un cercle mobile dont le centre M soit toujours sur cette courbe , et dont le plan PQ la coupe perpendiculairement ; ce cercle engendrera une surface dont la partie ombrée de la iîgure peut donner une idée.

Si l'on remplaçait le cercle GH par une autre couitie, il faudrait ajouter une nouvelle condition ; car le plan PQ peut tourner sur le point M ^ sans cesser d'être per-^ pendiculaire à la courl>e XZ. Cette circonstance , qui ne change rien par rapport au cercle G H , ferait varier la surface engendrée par une courbe qui ne serait pas symétrique autour du point M. On pourrait^ par exenà-* pie y assujettir une ligne fixe dans le plan PQ^ à passer constamment par une ligne droite ou courbe > donnée dans l'espace.

Au lieu de supposer le plan PQ perpendiculaire à la courbe XZ , on pourrait le faire mouvoir parallèlement à lui-même; et, si la courbe GH n'était pas un cercle, concevoir qu'une droite fixe dans le plan PQ , demeure constamment parallèle à elle-même.

Le cas le plus simple des surfaces annulaires est celui

« ^. oh. la courbe XZ, située tout entière dans le plan bori-

"^ zontaly est un cercle, et la courbe GH, un autre cercle

Fig. 67. placé dans le plan vertical DÂH% ayant son centre (/

toujours sur la circonférence X'Z', qu'on suppose décrite

du point A comme centre : tel est l'anneau ordinaire.

On voit que cette surface est en même temps du nombre des surfaces de révolution ', car elle est produite par un cercle G'PH' tournant autour d'un axe AD, pris en debors, mais dans son plan.

DES iLillENS DE o£oM1ÊTRI£. qB

Ce serait ici le lieu de traiter des intersections mutuelles des divers genres de surfaces courbes que nous venons de considérer , mais de semblables détails passent les bornes que nous nous sommes prescrites (*).

Nous terminerons par quelques indications sur la ma* niëre de développer les surfaces qui sont susceptibles de cette opération, et sur celle de mener des tangentes aux surfaces courbes en général.