DU DÉVELOPPEMENT DES SURFACES

gS. Lorsqu'on développe une surface, on a pour but de rapporter sur un seul plan , les courbes que l'on a considérées sur cette surface ; par exemple, on développe un cylindre pour y tracer plus commodément un filet de vis. On sent aisément que pour exécuter ce développement , il faut rapporter les courbes proposées S4ir la surface qui les contient > à des données qui ne changent pas de grandeur dans le passage de la surface au plan^ et dont la position respective , dans ce dernier cas, soit facile à déterminer.

PROBLÈME

g6. Soiù un cylindre à développer.

Si l'on coupe ce cylindre par un plan perpendiculaire à sa droite génératrice, comme elle est toujours parallèle à elle-même dans quelque position qu'elle se trouve, il est évident que le cylindre proposé ne sera formé que de lignes perpendiculaires à ce plan. Cela posé , lorsqu'on imaginera que chacune de ces lignes , F(£, , F FsEg, etc. tourne autour de £F pour s'appliquer sur le développement, les arcs FF, , F,Fa, etc. deviendront

(*) J'ai donne dans le premier volume de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral, la théorie analytique et complète des surfaces courbes et des courbes t double courbure.

g4 COMFLéB££NT

Fig. 68. des lignes droites, et tomberont tons dans le même pro** longement ; car ils sont perpendiculaires à l'axe autour duqnel se fait le mouvement de rotation : le résultat sera donc une ligne droite, sur laquelle les lignes génératrices du cylindre seront toutes perpendiculaires.

Soit maintenant une courbe MM^M^ etc. , tracée sur lé cylindre, suivant une loi quelconque, ou produite par l'intersection de ce corps avec un autre dont la génération soit connue ; puisque le cylindre est donné ainsi que la position de tous les points de cette courbe, par rapport aux plans coordonnés , il sera aisé de construire sur ceux-ci les projections de la section perpendiculaire que nous avons indiquée; et en la supposant divisée en autant de parties qu'on voudra, FF , ,F,Fa , etc., on déterminera les distances MF, M, F,, M^F., etc., des points de la courbe y^roposée à ceux de cette section qui se trouvent sur la même droite génératrice. Ces distances ne changeront pas dans le développement , et on les portera perpendiculairement à la droite qui représente alors la section perpendiculaire, sur chacun des points f, F,, f a , etc. , correspondans aux points F, F(, Fa, etc. : la courbe m mim» etc. sera ce que devient la courbe proposée, lorsqu'on développe le cylindre.

Il faut bien remarquer que , quoique la courbe MMiMa etc. puisse être fermée, son développement, dans beaucoup de cas , sera indéfini : cela tient à ce qu'un plan , en se roulant en cylindre , peut passer sur lui-même autant de fois qu'on voudra, puisqu'il est indéfini par sa nature. C'est ainsi qu'en construisant le développement de l'ellipse qui est la section du cylindre droit par un plan oblique à sa base , on trouve , pour résultat, une courbe indéfinie.