Corollaire, Si le cylindre proposé était droit , sa

DES ÉLÉMENS De GéoMÉTRIE. . gS

Base tiendrait lieu elle-même de la section perpendiculaire à la génératrice ; et en la supposant étendue en ligne droite, on lui appliquerait tout ce qui a été dit précédemment par rapport à cette section.

Comme On ne peut ayoir la circonférence du cercle que par approximation , il s'ensuit qu'on ne construit le développement du cylindire droit que d'une manière approchée ; et cet inconvénient a lieu en général pour tous lès cylindres dont la section perpendiculaire n'est pas une courbe rectîfiable : mais, dans les arts, on se contente de partager cette courbe en un nombre de parties assez grand pour qu'elles puissent être considérées comme sensiblement rectilignes , et alors ce n'est pas proprement le cylindre proposé qu'on développe , mais un prisme d'un très grand nombre de faces , inscrit dans ce cylindre.

98. Remarque, Il y a une courbe particulière qu'on Fig. trace sur un cylindre, qui ne saurait être passée sous silence, c'est celle qui jouit de la propriété de faire constamment le même angle avec la droite génératrice, dans quelque position que celle-ci se trouve.

II est aisé de voir que cette courbe devient une ligne droite lorsqu'on développe le cylindre ; car alors toutes les positions de la génératrice se trouvant parallèles entre elles sur un même plan, elles ne peuvent être rencontrées sous un angle constant que par une droite.

Lorsque le cylindre est droit, c'est-à-dire qu'il a sa base circulaire et sa génératrice perpendiculaire sur cette base, la courbe dont nous Tenons de parler est alors celle que forme la tranche d'un filet de vis.

Si l'on conçoit une ligne droite assujettie aux trois conditions suivantes : i**. à être toujours' parallèle au plan de la base du cylindre, a°. k passer toujours par son axe, 3®. à suivre le cours de la courbe proposée ;r

Fig; 6g. cette droite engendrera une surface dont le filet de la VIS quarrée présente Fimage , et qu'on voit tout entière dans le dessous des escaliers tournans.

Cette surface est du genre de celles dont on a donné la définition n® 89; et il est facile de la construire , ainsi que de trouyer ses intersections avec un plan ou une autre surface dont la génération soit connue»

Sïy au lieu d'une ligne droite, on faisait mouvoir un cercle de manière qu'il fût toujours dans un plan paS' sant par l'axe du cylindre droit , et que son centre parcourût la courbe que nous avons considérée dans cet article, la surface qui naîtrait de ce mouvement serait celle qu'on emploie , sous le nom devis Saint-Gilles j dans la construction de l'escalier tournant.

On appelle hélices, les courbes formées par l'enveloppement d'une ligne droite sur une surface cylindrique. Ces courbes jouissent de la propriété d'être les plus courtes lignes qu'on puisse mener , sur cette surface y entre deux de leurs ^points \ et il est facile de s'en convaincre en observant que l'étendue de la surface d'un cylindre ne cbangeant pas lorsqu'on le développe , lies distances respectives des points qui la composent ne souffrent ni extension ni contraction \ mais alors la plus courte^distance de deux quelconques de ces points est la droite menée de l'un à l'autre , et cette droite devient une bélice sur le cylindre.

Ce qu'on vient de dire est non-seulement applicable aux cylindres, mais* convient encore aux cônes et aux surfaces développables en général.

Si l'on traqe une ligne droite sur leur développement, et qu'on remette ces surfaces dans leur état primitif, la ligne proposée deviendra une courbe qui jouira de propriétés analogues à celles de l'hélice.

Cette courbe ne sera autre chose que celle qu'on

DES £l£mëns HE céoftiJÊTniE. 9^

formerait en plîan.i un fîl librement sur une surface développable (*).

PROBLÈME

og. Coiutruire le développement d'une surface conique quelconque.

L'idée qu'on se forme du développement d'une pyr;iiQÎde quelconque , abstraction faite de sa base, conduit .naturellement à celle du développement du cône.

Si l'on conçoit une courbe tracée sur la surface de <^e corps , de manière que tous ses points çoient également éloignés du sommet , lorsqu'on développera le cône, la courbe dont il s'agit deviendra un cercle, ou au moins une portion de cercle , dont le rayon sera la distance consente de chacun des points de cette courbe au sojnmet du cône : or^ si l'on imagine une $phëre ayant pour centre le sommet du cônCi elle coupera sa surface suivant une courbe de la nature de celle dont on vient de parler^ et que par conséquent il est facile de construire (82).

Soit FFjF^ etc. cette courbe, et MMiM^ etc. une Fig- 7^« courbe quelconque tracée sur la surface conique proposée , et qu'il ^'agisse de développer ; on y parviendra en déterminant les distances MS, M(S,MaS, etc. du sommet k chacun de ses points, et la longueur des arcs

(*) Pour se faire une idée de cette conrbe, il n*y a qu'à supposer que le fil ait une certaine largeur, comme celle d'un ruban ; aloTS on verra qu'il y a une manière de l'envelopper an tour de 1^ surface proposée, sans le tordre : la ligne suivant laquelle le rnbau touche cette surface, forme prëcisëment la courbe que nous avons en vue.

Nous remarquerons ici que l'on peut de mémo envelopper librement un fil sur une surface courbe quelconque , en le tendant autant qu'il est possible entre ses extrémités ; la courbe quMl de'lcrmine, par son application sur la surface proposée , tpst là fha» courte qn^on puisse mener entre deux quelconques de ses {loints , snr cette mémo surface.

Complém, de la Géom. 6* édit. 7 *

g8 COMTLXMXNT

Fig. 70. FF,, FF», etc. compris , sur la première courbe, entre uue de ces distances prise à Tolouté y telle que MS, pai exemple j et chacune des autres.

Ajant tiré sur un plan une ligne indéfinie sf ^ pour représenter la position de la génératrice du cône à l'origine du déyeloppementy on décrira un cercle du point s comme centre, et d'un rayon sf égal à SF ; ensuite on dierchera de quel uombre de degrés doit être un arc de cercle ffi dont la longueur égalerait celle de l'arc FF,, et ayant fait l'angle fsf, , de ce nombre de degrés, on prendra sur sf, une distance smi = SM/: le point m,, ainsi trouvé, appartiendra au développement qu'on se propose de construire.

100. Remarque, Cette solution demande, comme on Toit , qu'on connaisse la longueur des différentes parties de la courbe qui a tous ses points à égale distance du sommet du cône , ou que du moins on puisse transformer en arcs de cercle 9 ces parties : or ^ c'est ce qu'on ne peut obtenir que par le calcul intégral^ et le plus souvent par approximation seulement , en sorte que le procédé que je viens d'indiquer ne peut éire employé qu'à l'aide de l'analyse. Mais, dans les arts, l'objet qu'on se propose n'étant que d'obtenir une précision suffisante pour les ' itioyens d'exécution dont on peut disposer , on modifie Ijsi méthode précédente de manière qu'elle puisse être pratiquée fort simplement.

On développe alors au lieu du cône une pyramide qui lui est inscrite, et qu'on suppose d'un très grand nombre de faces, en sorte que les arcs FF,, F, Fa, F^Fa, etc. puissent être regardés comme ne différant pas sensiblement de lignes droites, et on les porte successivement en ff, , fifft^fftfs, etc., sur la circonférence du cercle t;r«cé danjt le développement. Le reste de la construction s'achève comme il a été dit précédemment.

DES àiisssas db ahoMitna. 99

ICI. CorollairÉu Si Ton sapposeque le cône dont on cherche le développement soit droit, c^est"^- dire à base circulaire 9 et qoe son ax% fsade par le centre de cette base, alors la coorbe FFiF» etc. devient nn cercle parallèle k la base do cône; et comme le rayon SF. peut être pris à volonté, il sera pins commode d'employer la base elle-même. On voit que, dans le dételoppement, cette base fait encore partie d'an cercle, mais dont le rayon n'est pas le même que sur le cône : sur celui-ci c'est Fig. 71. 0£ , et sur le plan c'est ES , ou le côté même du cône. . Si les lignes 0£ et ES sont commensurables entre elles, il est aisé d'avoir le développeraent ; car la longueur de la circonférence de la base d« cône et celle de l'aro total du développement étant dans le rapport de ces lignes, la même chose aura lieu pour chacune de leurs parties correspondantes. La construction sera parfaitement rigoureuse si ee rapport est tel, qu'on puisse construire géométriquement l'arc ge ; car alors la question se réduira k prendre sur les ^rcs G£ et ge des parties qui soient entre elles dans le même rapport , et on peut le faire par la simple opération de la bisseclion des angles.

loa. Remarqué. Nons n'entrerons dans aucun détail à l'égard des surfaces développables en général ; la méthode rigoureuse à employer pour leur développement ne saurait être indiquée ici ; et quant aux méthodes d'appro3Limation, elles sont elles* mêmes trop longues et d'un usage trop peu fréquent pour qu'on doive s'y arrêter. Iifous nous contenterons d'observer qu'on peut chercher au lieu du développement de la surface , celui du polyèdre inscrit à cette surface , et formé suivant la même loi.

On déterminera donc les angles MRM, , M[R(Ma , F,g. 65. Mg^RaMs, etc., les longueurs des lignes MR, MiR,,

Fig. G5 MftBay etc^RRi, B.iRft> etc.; et à l'aide de ces doti-' nées 9 on construira /sur un plan, lea triangles MRM| , M,R«lVIa/ etc.^ dans la situaf^on respective où ils se trouvent sur la surface du corps proposé. .

Si l't>n passe des polygones aux. courbes, c'est-à-dire du polyèdre à la surface proposée, toute courbe tracée sur cette surface sera rapportée à l'arète de rebrousse* ment par les tangentes mêmes de cette arête i^).