DE LA MÉTHODE EXPÉRIMENTALE DANS LES SCIENCES RATIONNELLES

Aux perceptions inséparables des sensations se rattachent des jugements, soit particuliers, soit généraux , d'abord à l'état de simples croyances. Tel est le début et de la science et de la raison. La réflexion survient. Elle analyse les phénomènes , énumèi'e.

dâimite, ordonne les notions et les inductions qui se rattachent à chacun d:'eux en particulier, puis à chaqne combinaison de plusieurs d'entre eux. Du plus au moins^ ainsi agit la réflexion dans tout esprit un peu âevé au-dessus de Tempirisme forcé d'une vie toute matérielle. Le paysan lui-même a sa physique, qui ne devient science qu'à proportion qu'elle se systématise. Cependant la science méritera-t-elle tout à fait son nom, si elle se borne à employer les procédés et à obtenir les notions que nous avons indiquées en analysant la méthode expérimentale? j'en doute.

Prenons pour exemple un phénomène très-simple, fameux pour avoir , dit-on , suggéré à Newton le système du monde, la chute d'une pomme.

Une pomme a changé de lieu de haut en bas. Voilà le fait, objet de l'intuition sensible, ou la matière de la sensation.

Dans la perception qui suit, j'omets comme y étant nécessairement comprises toutes les connaissances sensibles relatives à la pomme, à l'arbre qui la porte, à la terre qui la reçoit^ à l'air que le fruit traverse pour tomber ; toutes ces connaissances sont supposées antérieurement acquises. J'omets égalelement les notions de substance et de qualité, de cause et d'effet, d'espace, de temps, de mouvement, que nous tiendrons également pour obtenues précédemment par d'autres perceptions ; je réduis tout au phénomène spécial et actuel.

L'air est léger au point d'être habituellement insensible ; la pomme est pesante , c'estrà-dire qu'elle est l'occasion d'une sensation dite de pesanteur pour la main qui la soutient. Elle tient en l'air, si elle est

attachée; détachée, cHe tombe, c*esf-à-<Cpeqti*cWé Ta toucher h terre et y reste. Ilnefant ni beaucoup d'expériences du méine fait, nt beaucoup de reflexion pour induire gtie toutes les fois que la potmine sera séparée de l*arl»*e, elle tombera. G^est cependant dqà une itidwclion générale , que rhomme le plus simple généralisera davantage, en rappliquant à tont fruit , à toute pierre , à tout corps pesant , plus pesant que Taîr. Tout corps pesant , s'il n'est retenu ou soutenu, tombe à terre, Toîlà une rérîté physique. La grande masse du genre humain n'en sait pas davantage. Ces mots même, plus pesant que Voir, expriment plutôt ce que les hommes sentent que ce qu^ils so^ient. Combien quf n*ont pensé de leur vie à la pesanteur de fair î

Est-ce la de la science? on peut Fappel^r ainsi, puisque c*est du savoir humain. Cependant ce «avoir ne devient science à proprement parler qu'au moment où par une euribshé aetu^l^nent désintéressée, un homme se denvinde non pas encore d*aa vient le phénomène , mais seulement comment i( se paase. C'est ce qu'Herschel appelfee Fanalyse du pfaé* noraène '. On a pu remarquer que dans la connaiV sanee grossière que nous en avons donnée tout à rheure, Yidée de eausaiion estd^à comprise. Ana*- Ijrser }e phénomène , c*est chercher à reconnaître dé plus près les effets et les causes. Ainsi la pesanteur du corps qni tombe, celle du milieu, qu'il traverse, celle de la surface s<^ide qui résisie à son mouvs^ ment et soutient le corps aprèa sa chute , peuvent éU>e comparées et appréciées d^une manière géné^

* Diseottps- nr l'étuifo^eh phflosophîl» naturelle, part*. II, oh. II.

DE L*E8PMT. $83

rrie«. On ramar^ra, par exemple, que la cause àe la dwte^ c'est la masse, et non la forme, que hi fluidité àà Vmr, plutÂt que sa l^èreté, eal la cause poor laqncUe il ed ixaToraé* La maase et la solidité de la terre soot ensemble la cause de la rëaistafiçe. Sn génëraliiaant cea notions par la vde de Tinduelion , les anciens n'arrivaient guère sur un pareil pbéiio<mène a des oonnaissanees relies plus élendiûes une

Mais un observateur plus attentif et plus curîeiix aademandera^ par exemple, quelle est h vitesse de h okute ; il ne dmilera paa d'abord qu'à hauteur égale> k poids éffly le mouvement ne dure autant de temps, QB que la vitesse de la obute dana toute sa durée ne soit la même. 11 fera alors des expériences; il chaiK géra les ciroonatanoes , les poids, les bauleurs , puis ka matièrea, puis les formes^, puis les lieux ; il recli^ fiera aea idées , et il s^*a peu à peu conduit, par des obaerrationa bien faites et bien méditées , à toutes ks découvertes de Galilée sur l'acoétération de la cbute des graves*

Oèa len , cpe de loia oonetantea seront connues sw la pesantem*, sur le mouvement, sur k résistance de Tair I La scienee proprement dite aura commencé. Je pourrais déjà tirer de là une série d'inductions sur le mouvement, qui dépasseraient les doimées de Texpàri^nce „ bien que suggérées par elle.

Mais j'aime mieux me repr^enter un nouvel ob^ s«rvatemr> en possession de toutes les notions scientifiques déjà acquises^ et qui se demande comment il se fait que la pomme tombe, e*est--à--dire que téutea les causes connues du phénomène en produisent 1^ effets connus suivant les lois ooneu^s. D'où vient hi

chute des graves ? voilà un problème que ne pose pas la simple observation , une inconnue que la sinn pie observation ne dégagera pas. La matière est inerte; c'est-à-dire qu'elle n'apparaît pas comme pouvant déterminer par elle-même son changement de lieu. D'où vient donc le mouvement? il a une causci et celle cause n'est point phénoménale ; aucune sensation ne la donne. Mais elle existe; la force exisle. La pomme est inerte , l'air aussi , la terre l'est également. Et cependant , à travers Tait* agité, la pomme, tout corps grave court vers la terre avec une rapidité qui peut , dans certaine circonstance, échapper à la vue la plus perçante. D'où vient cela? aucun phénomène n'inspire l'idée qu'une impulsion soit donnée à tous les graves, aa* moment où vous les pesez , et cependant ils pèsent ou tendent à tous les moments vers la terre ; à tous les moments ils sont graves. Seraient-ils constam*ment attirés par elle? Mais toute matière connue est pesante, toute matière serait donc attirée; la terre elle-même serait pesante et attirée. Si elle est at« tirée , et que cependant tous les corps tombent à èSL surface, elle attire plus qu'elle n'est attirée. Or, elle a plus de masse qu'aucun corps terrestre. L'attraction serait-elle donc en liaison de la masse ? S'il

en était ainsi , la terre serait attirée par le soleil

avec cette hypothèse et les lois de Kepler , Newton construira le système du monde , fidèle à catte méthode analytique dont il a donné les préceptes^B^' ces termes : ce Saisir les expériences , . observei?.|||M phénomènes, et de là tirer des conclusions g^Mf^^ raies * ». • • •■

» Opuc., lib. m, qwst. XXXI.

DE l'espkit. 385

C'est d'indaction en induction qu'on s'élèvera à cette hauteur de la science. Mais pour y atteiiidre, l'induction aura-t-elle suffi? je ne le pense pas. « L'induction > dit un illustre disciple de Newton ^ (c en faisant découvrir les principes généraux des (c sciences^ ne suffit pas pour les établir en rigueur. (c.U faut toujours les confirmer par des démonstra- « lions ou par des expériences décisives ' » . Cela veut dire dans la langue philosophique , que la certitude jï'est donnée que par l'intuition sensible et par la raison déductive. £t^ en effet, l'induction que nous venons de citer en exemple n'est devenue concluante que dès qu'elle a eu pour auxiliaires des calculs d'une délicatesse et d'une immensité telles que ni la numération ni la mesure^ seuls moyens de calcul que connaissent l'observation et l'expérience, n'y pourraient atteindre. Il y faut luie haute géométrie traduite •dans une algèbre sublime. Ici, bien évidemment, expirent les forces de l'expérience et de l'observation. Ainsi d'abord les sciences physiques non-seulement admettent, mais réclament le secours des mathématiques. Est-ce la méthode expérimentale qui donne les mathématiques? Si l'expérience est la source de toute certitude, de toute véi-ité , de toute science, il faut ou que les mathématiques soient dénuées de vérité et de certitude , et n'aient point de droit au titre de science, ou qu'elles soient dérivées de l'expérience. La première hypothèse est insoutenable ; voyons la seconde.

Locke est le seul philosophe, a notre connaissance, qui ait paru croire que les mathématiques étaient

■ Essai phiîosopliiqut sur lesprobabilUés, par M. Lapbce.

fondées 5ur l'expérience \ Hume, bien qu'aocnsé de la même hérésie , ne Ta jamais exprimée* Ce n'est cependant pas une hérésie, si la mëtaphjsiqne de Hume, celle de Locke, celle.de Gondiliac est Traie; or, bien des géomètres ont adopté cette métaphysi* que, et je ne crains pourtant pas qu'un seul voulût se i^ndre caution du paradoxe de Locke. C'est une inconséquence; mais ils penseraient commettre en* vers les mathématiques le crime de lèse-majesté. On les accuse souvent de tendance au scepticisme , et de là au matérialisme; si l'on disait, et de là à ridéaiisme, je le concevrais, le scepticisme idéaliste n'est pas incompatible avec les considérajtions géométriques ; mais le matérialisme , appuyé sur cette idée absolue que l'observation sensitive, que l'expérience externe est l'unique source de la certitude, est contradictoire par là même avec les mathéiQati* ques , et le besoin d'unité de la philosophie moderne n'est pas encore allé jusqu'à les confondre avec les sciences physiques ou naturelles.

C'est l'erreur commune du sensualisme que d'abuser des mots. Parce que toute connaissance commence par des sensations , c'est-à-^ire parce que la vie intellectuelle est profondément engagée dans la vie organique, et que l'homme sur la terre a besoin avant tout d'être un animal ou de vivre pour penser, le sensualisme ramène toutes les connaissances à la sensation , et en dérivant de l'expérience; en fondant sur l'expérience toutes les pensées et tout le savoir du monde , semble exclure toutes les autres sources d'instruction et de croyance qui sont en

' Dt rJEnUndenunt humain, tiv. lY, ch, IV, $. 6.

DE L'aSPMT. 387

nous, et tout confondre, tout identifier dans une seule opération. C'est grâce à ce langage équiroque, tantôt hasardé sans explication, tantôt rigoureusement en^ tendu , que l'on a pu spécieusement «ccràiiter let formules chéries du sensualisme, et ce que Locke « dit des mathématiques n'est que ce qu'il avait dit des idées en général. Cependant cela choque davantage à propos des mathématiques, et la raison se révolte plus promptement à cette pensée qu'une démoasti«tion soit une pure expérience. Mais au fond la chose n'est pas plus fausse, elle n'est pas plus vjniie, qu'il s'agisse de géométrie ou de toute autre connaissance rationnelle, et, dans un cas comme dans l'autre, voici d'où vient la méprise.

Si l'on veut dire que les mathématiques n'existeraient pas pour l'esprit de l'homme, dans' le cas où 1 homme n'aurait jamais vu de choses numéraWes et mesurables, en un mot, l'espace divisé et figui^, et SI c'est là le sens restreint de la proposition, que les mathématiques sont <lérivées de l'expérience, elle est incontestable. Si jamais aucune figure ae s était montrée à nos sens , si nous n'avions connu, par I expérience commune, des cercles et des triangles, s, l'observation intuitive ne nous avait anté-" neurement familiarisés avec les contours des solid^ nous n am-.ons jamais inventé ni compris les math^ matiques. Mais cela veut-il dire que les mathématiques n existeraient pas? Oui, sans doute, comme science humaine; mais les vérités mathématiques existeraient : c'est là une conviction absolue dd I humanité. Les mathématiques sont donc fondée sur 1 expérience, dérivées de ^'expérience,- si l'on entend par là que l'expérience est l'origine hisio-

rique de leur présence, de leur possibilité actuelle dans l'esprit humain. Mais que l'expérience soit leur fondement logique, qu'elles en soient dérivées comme la conséquence est dérivée du principe, c'est la chose insoutenable, et cteux qui l'auraient dit ne se seraient pas compris eux-mêmes. Quand Montesquieu traitait avec tant de dédain quiconque aurait pu dire qii avant qu'on eût tracé de cercle tous les rayons n'étaient pas égaux, il refoulait l'expérience dans son domaine légitime, et il proclamait une vérité qui n'intéressait pas les mathématiques seules , et qui servait de titre ( il le savait bien , il le disait luimême ) aux croyances les plus précieuses de l'humanité \

11 serait doux de citer aux géomètres, aujourd'hui que si rarement ils philosophent sur leur science, les autorités les plus hautes de la philosophie et de la géométrie , Aristote et Platon , Descartes et Leibnitz*. On aimerait à leur étaler comme leurs titres de noblesse dans l'esprit humain , les témoignages de ces grands hommes qui font des mathématiques une science exacte et pure, supérieure à l'expérience

' Esprit des lois, liv. I, ch. I. C'est dans le même sens et en parlant des propriétés du cercle que Leibnitz dit : ^ Hoccine verum esse putas, etiamsi a te non cogitetur ? B. Imo, aniequam vel geometrœ id demonstrassent , vel homines observassent ( Dialog. de connex. in t. verba et res).

» Platon, République, liv. VI in fin,, et liv. VII. — Aristote, MetapJi,, VI, I, II, 5, XIII, 3.— Plutarque,/n Sjrmpos,, lib. VIH, cap. II. — Descartes, T. I. Méditât. V.— Quatrièmes obiections (par Arnauld). Réponse aux cinquièmes objections (celles ae Xi^w»sendi), T. II. — Règles pour la direction de Tesprit, règle XIV,* T. XI. — Leibnitz, Nouv, essais, avant-propos, liv. I, ch. I, liv. IV, ch. I, II, XI et XII. — Malebranche, Mech. de la vérité', Uv. VI, part, J, ch. lU, IV, V.

DB l'esprit. 389

comme ia raison l'est aux sens. Mais les citations les pins imposantes ne nous dispenseraient pas d'une démonstration qui nous fût propre. Essayons de la donner en exposant modestement aux ignorants comme nous , sur les rapports de la méthode d'observation avec les mathématiques, quelques idées que nous croyons scientifiquement irréprochables. Ces idées s'appb'queront d'elles-mêmes aux rapports de la même méthode avec toute science rationnelle.

Kappelons d'abord que raisonner par expérience c'est raisonner en matière contingente , et que les mathématiques raisonnent en matière nécessaire. Cette distinction est essentielle, et elle a paru néremptoire à d'excellents esprits. Kant s'y appuie sans autre examen, pour admettre les mathématiques au titi'C de science a priori i et un métaphysicien exact et rigoureux, M. llamilton, a c^u cette distinction suffisante pour les affranchir de toute ressemblance avec les sciences d'observation ' .

Par ses nombreuses applications, par son^bjet même , par l'emploi qu'elle fait du tracé des figures, la géoméli-ie proprement dite semble la .partie la plus expérimentale des mathématiques , et , nous en sommes déjà convenu, s'il n'y avait ni grandeurs figurées, ni côtés, ni plans sinsiljles, la géomcU-ie spéculative ncseraitpas de ce monde. L'expérïeOi cest-à-direl'intuition directe, iioussiifîgèrc la cona sance élémentaire des figures, 1 1 lar-iuti quelque! lions inductives de leurs proprlt-tcs, quclqnea jj mentsimplicitesdontilseraitnlsf', l'ii Ifs reiid'ai pLcites, défaire des axiomes. Telle est la géométrîe'*^

■ Fragments de philofophie pir Tnathùnatiques-

naturdle et familière de ceux-là qui ne sayent pas même le nom de géométrie. Mais ce ne sont pas là les mathématiques. Ne sont-elles que le développe^ ment ultériçar et continu de ces notions d'origine ejEpérimentale ? Nullement. On conçoit que par hasard 9 même par observation et induction ^ un esprit attentif pût arriver à reconnaître en fait les rapports de certaines lignes dans de certaines figures f à les traduire en règles générales et pratiques qui lui servissent soit à les tracer^ soit à les mesurer; et qu'il se formât ainsi une géométrie pratique. Toutefois, il ne la saurait pas seulement de routine, il la comprendrait, il l'appliquerait avec intSligence, qu'il ne saurait pas encore la géométrie ; la géométrie ne commence que lorsqu'elle se démontre. La géométrie expérimentale n'est pas la géométrie.

Gondillac n'a pas méconnu cette vérité. Voulant enseigner l'art de raisonner , ou discuter les diffé^ renis%iù/ens de s'assurer de la vérité^ il distingue trois sortes d'évidence, l'évidence de fait, l'évidence de sentiment» l'évidence de raison*. C'est à cette dernière qu'il rattache à juste titre les mathématiques. Seulement on pourrait lui demander en passant comment dans la philosophie des sensations il peut y avoir une autre évidence que l'évidence de sentiment. Celle-ci est un fait immédiat de conscience; c'est ainsi qu'il est évident pour l'homme qu'il est capable de sensations. L'évidence de fait existe pour lui y toutes les fois qu'il s'assure d'un fait par sa propre observation ; elle n'est donc que

« Dt tort de raisonner, introdnctioa et liv. I, ch. I , IV, TH ,

et Vin.

rëvidence de sentiment non immédiate. Mais rëyidence de raison vient au secours de l'évidence de fait et nous conduit dans nos observations; c'est du concoars de l'évidence de fait et de celle de raison^ que résulte la science qu'on nomme physique. Ainsi parle Gondillac. Soit, mais voilà une évidence de raison qui, fondée sur les lois mêmes de Tesprit, est un élément hétérogène à la sensation.

Quoi qu'il en soit, pour montrer par un exemple ce que c'est que l'évidence de raison , Condillac la cherche dans la démonstration de ce théorème de géométrie élémentaire , souvent pris pour exemple par les philosophes : « Les trois angles de tout triangle sont égaux à deux droits. » Cet exemple pourrait devenir l'occasion d'un travail qui aui*ait son intérêt. En recherchant les diverses manières de faire admettre , puis d'exposer, puis de démontrer cette proposition , on arriverait à déterminer clairement en quoi l'expérience peut servir à la géométrie, comment cependant la méthode expérimentale n'est pas géométrique , comment cependant non pas l'expérience, mais l'intuition de l'intelligence peut, sans l'appareil des démonstrations , arriver a la certitude en géométrie , en quoi plusieurs démonstra^tionsy admises comme telles par bien des géomètres, senties unes inexactes ', les autres plus intuitives que déductives , enfin comment la démonstration proprement dite est à part et constitue une

' Condillac lui-inême t'y est trompé. A la manière dont il dé» montre son théorème , il prouve bien qnc les trois angles du triangle rectangle, sur lequel il opère , sont égaux à deux droits ; il ne le prouve pas d'un triangle quelconque, ce qui était cependant son intention. .

certitude spéciale et formelle^, complètement pure de toute preuve expérimentale. . Nous- avons fait ce travail , mais il nous entraînerait à une digression apparente qui rebuterait le lecteur^ et nous en extrairons seulement quelques idées suffisantes pour notre objet.

On nous dit que toute vérité repose sur l'expérience, ou, ce qui est la même chose, que toute science se fonde sur l'observation des faits. La géométrie est une science; ses propositions sont des vérités, des faits. L'observation, l'expérience peuvent donc, doivent donc nous les enseigner. Cette méthode , la meilleure , peut-être la seule bonne , pourquoi ne l'emploierions-nous pas ici? U s'agit de savoir si les trois angles du triangle sont égaux à deux droits : pourquoi ne constaterions-nous pas cette vérité par le même procédé que toute vérité chimique, minéralogique , zoologique? Les vérités géométriques ne sont-elles pas aussi des vérités naturelles? Assurément, car sans cela, que seraientelles ? Est-ce que la méthode expérimentale ne serait pas applicable? Si vraiment; prenez autant de triangles que vous voudrez, appliquez un i^apporteur bien gradué, mesurez, comptez, vous trouverez toujours que si, par exemple, deux angles d'un triangle comprennent ensemble 90, ou 1 15, ou6a degrés de la demi-circonférence , le troisième angle en comprendra 90 , ou 65, ou 118, c'est-à-dire que les trois angles réunis seront de 180 degrés, mesure, comme on sait, de deux angles droits. Tracez autant de triangles que vous voudrez, de toute grandeur, de toute espèce, le nombre des degrés compris entre leurs trois angles sera constamment de 180.

Vous ne trouverez point d'exception , et vous ne vous croirez pas obligé de répéter indéfiniment Texpérience^ pour induire que les trois angles d'un triangle sont égaux k deux droits. Voilà une vérité générale entée sur une vérité expérimentale , et je suis autant en droit pour le moins de tenir vraie cette proposition « les trois angles d'un triangle sont ^aux à deux droits » que ces autres proposi-tions : « L'alun cristallise en octaèdres. — Le tapir a vingt-sept dents molaires.-— Les crucifères ont quatre pétales et six étamines. » La certitude qui résulte d'une intuition sensible , généralisée après quelque expérience , en vertu d'une induction, fondée sur. un principe de foi dans la constance des , lois constitutives des êtres , serait suffisante pour toute espèce d'emploi pratique du. théorème en question. La certitude expérimentale n'est-elle pas^ au dire des habiles ^ la première de toutes ?

Cependant est-ce là de la géométrie? eàt-ce de la vérité mathématique? L'Académie des Sciences est remplie des expérimentateurs les plus habiles et les plus croyants. Il n'y manque pas probablement^ parmi les naturalistes , d'esprits distingués qui n'a* joutent foi qu'aux méthodes expérimentales. Pourquoi donc personne n'y proposerait-il de démontrer ainsi le théorème? Pourquoi la seotion des sciences physiques ne conseille-t-eile pas à la section des sciences mathématiques de traduire ainsi la géomé* tiûe en une science naturelle? Rien de faux pourtant, rien d'obscur, rien de hasardé , dans cette manière d'enseigner. Elle suffirait pour instruire et convaincre tous ceux qui , dans la pratique des arts utiles , ont besoin des notions vulgaires de la géométrie,

elle suffirait et réussirait dans une école primaire* Si cependant personne ne songe à la considérer comme scientifique, c'est que tout le monde compi^end, les naturalistes aussi bien que les géomètres , que l'intuition sensible développée par une induction géné^ ralisatrice , ne donne pas aux notions concernant les rapports de l'étendue le caractère de notions mathématiques; il est donc admis qu'il y a une autre vérité que la vérité d'observation, une autre méthode de certitude que l'expérience.

Et en effet , s'il m'était permis d'entrer dans des détails fastidieux, je montrerais que si l'on veut se représenter ou plutôt concevoir le triangle, on reconnaîtra tout d'abord qu'il ne peut être composé que de trois combinaisonsd'angles; savoir, d'un angle droit et de deux angles aigus ; de trois angles aigus; de deux aigus et d'un obtus. La même réflexion , l'intuition mentale atteste en second lieu que ces trois combinaisons d'angles sont les seules qui puissent remplir toute la surface du demi-^cercle , ou pour mieux dire, que si l'on demande trois angles ayant leur sommet au centre, et mesurés par trois arcs, dont la somme soit égale à la demi-circonférence , c'est>Àdire trois angles égaux à deux angles droits, ces trois angles seront nécessairement ou un angle droit et deux aigus, ou trois aigus, oiideux aigus et un obtus. On voit ainsi que des différentes combinaisons triples qui sont possibles et qui sont au nombre de dix, les trois seules qui puissent composer chacune un triangle , et les trois seules qui puissent équivaloir chacune à deux angles droits, sont les mêmes* Sur ce fondement, je dis qu'il est facile d'établir pour l'intelligence, que ce que ces trois combinaisons

DE l'esprit. 305

d'angles peuTent seules être , elles le sont toujours , c'est-à-dire équivalant à deux angles droits , ou que telle est la mesnrede tout triangle. Je dis (et il faut ici qu'on m'en croie sur parole , car je dois me borner) qu'il est aisé de feire naître, par une suite d'intuitions, la conviction absolue de cette Térité, et cela par un procédé un peu lent que je n'ai vu employé dans aucun livre de géométrie, mais qui conduit à l'évidence sans démonstration proprement dite.

Ce procédé est intuitif; mais ce n'est pas l'intuition sensible, ce n'est pas l'expérience. Voici la différence. Pour constater, par exemple , que les trois angles du triangle sont mesurés par la demi-circonférence, ou égaux à deux droits, il faut mesurer avec le rapporteur un triangle réel, un triangle graphique, et répéter l'expérience sur plusieurs triangles. Alors seulement vous arrivezà une conviction , et c'est une conviction expérimentale fondée sur une intuition sensible. Mais quand il s'agit de savoir si un triangle peut avoir plus d'un angle droit , vous pouvez sans doute vous convaincre qu'il ne le peut, en regardant la figure visible, mais ce n'est pas nécessaire, et la conception du triangle suffît. C'est du triangle conçu, du triangle idéal , c'est-à-dire de tout triangle quelconque en lui-même que vous affirmez que s'il a un angle droit, ses deux autres angles sont aigus. Et vous n'avez pas besoin d'y revenir à plusieurs fois , de renouveler cette expérience intellectuelle. C'est assez d'une seule conception pour que la certitude soit complète. 11 y a là une sorte d'intuition de l'esprit très-différente de l'intuition sensible. Le résultat de l'une diffère également de celui de l'au-

396 BSSAi X.

tï*e ; tandis que la seconde ne vous a donné qu'ua fait qui, si vous n'y ajoutez rien par la réflexion, est comme un phénomène naturel, contingent quoique général, une qualité du triangle pris

* comme objet de la perception; la première tous donne une condition du triangle , objet de la conception; vous concevez que le triangle ne peut être autrement. C'est une vérité nécessaire. . Elle résulte d'une série de conceptions directes du même genre ^ qui toutes appartiennent non à la perception inductive ^ mais à la raison intuitive.

Il resterait à exposer les démonstrations de notre théorème. Les géomètres en donnent plusieurs. Elles ne sont pas toutes d'une valeur égale. Quelques-

. unes n'ont pas l'universalité requise, et paraissent ne s'appliquer qu'à un triangle donné; d'autres ne sont pas assez purgées de méthode intuitive ni de méthode expérimentale. Deux surtout nous paraissent devoir être distinguées.

L'une consiste à démontrer séparément d'abord que la somme des trois, angles d'un triangle ne peut être plus grande que la somme de deux droits, puis qu'elle ne peut être plus petite, d'où il suit qu'elle est égale. Cette démonstration n'est peut-être pas la meilleure; elle force la conviction, mais elle ne satisfait pas. Elle n'est pas directe. Elle donne la conviction et non l'évidence. En effet, la réduction à l'absurde revient le plus souvent en géométrie et notamment dans la question donnée à ce syllogisme: Si l'hypothèse opposée au théorème était vraie, il s'ensuivrait telle conséquence; or, cette conséquence est contraire à tel autre théorème démontré; donc l'hypothèse est impossible. Ce raisonnement est

DE l'esprit. 397

valable, mais il transforme la démonstration en un, corollaire de démonstrations antécédentes; il laisse dans une oliscarité profonde la génération de la propriété cherchée; il l'inculque par force plutât qu'il ne la démonlre; et tout géomètre sévère sait que ce genre de preuve ne doit être employé que lorsqu'il n'y en pas d'antre ; bien qu'avoué par la logique, il n'est après tout qu'une preuve a posteriori, seulement cette preuve est tirée de propositions antérieures, au lieu d'être induite de l'expérience ou d'une intuition sensible. On a, je crois, prouvéque les méthodes dites indactionhelles, telles que la méthode d'exhaustion si chère aux anciens, et à laquelle on pourrait rattacher ta démonstration doiit il s'agit, sont, malgré la recommandation du grand nom d'Archimède, plus pratiques que théoriques, et suffisantes pour l'art, ne donnent pas à la vérité , ce caractère purement rationnel qui est>le signe distinctif de la science.

L'autre genre de démonstration est plus scientifique. Telle est la démonstration analytique et a ^rion que donne Legendre dans les notes de sa Géométrie. Telle est encore celle qui repose sur le triangle inscrit et qui est sans contredit la plus élégante. Mais nous renvoyons aux traités de géométrie.

Les mathématiques ont le privilège d'employer en tout la déduction; en d'autres termes, elles sont éminemment démonstratives. Ce qui cni.iclérise In démonstration géométrique, c'est que la f'uinie dialectique y remplace tout procédé expéi-imcntnl , tout procédé d'intuition : c'est qu'étant doiiii<; l<-s principes , c'est-à-dire un petit nombre de connaissances intuitives, comme 11 en faut îi la tête de toute science

308 B6SÀI X.

ezacie, la démonstration en est déduite parla lo^^qne pure , ou s'y peut rattacher par un fil logique catt^ linu. C'est donc une science a priori f si on la oon* sidère en elle-même , non dans l'histoire de sa forma» tion ; car alors la part de l'expénence rqiaraitrait. Les sciences autres que les sciences exactes ne relèvent pas aussi exdusiyement des axiomes , ne pro>« cèdent pas aussi exclusivement par la démonstration^ et font plus souvent appel soit à Tintuition intellectuelle, soit à l'induction expérimentale, présen* tant par là même uhe variété qui les rend plus diffi* ficiles et plus attrayantes. Il y a entre les sciences mathématiques et les sciences ontologiques quelque chose de la différence qui sépare la statuaire de la peinture.

Ainsi , des tf ois genres de procédé employés pour évaluer les trois angles d'un triangle, nous pouvons appeler, pour nous entendre, le premier, méthode expérimentale , le second , méthode intuitive^ le troisième , méthode déductive.

Le premier n'est pas une démonstration , bien que pratique et persuasif; il ne donne qu'une vérité gé* nérale , induction de l'expérience , une proposition empirique et a posteriori qui n'est point nécessaire, qui a tout au plus l'autorité résultant du principe de la foi dans la permanence des lois de la natm^e. Mais il est évident en principe qu'une preuve expérimen* taie ne peut être adéquate en géométrie, les êtres géométriques eux-*mêmes n'étant pas et ne pouvant pas être objets de l'expérience. Nous ne percevons en effet que des triangles , jamais le triangle. Et l'on ne confondra pas celte circonstance avec ce qui se passe en histoire naturelle f où nous ne rencontrons

BB l'esput. 309

que des animaux, jamais Tanimal, des végétaux > ja^ mais le végétal. Quoi qu'on pense de la vieille ques* tion de l'existenbe des genres et des espèces , quelque parti qu'on prenne dans la querelle des réalistes et des nominaux, on est forcé de convenir que la no« tion que nous nous fonnons du type d'un genre ou d'une espèce y est pour nous une abstraction idéolo* gîque f dont nous ne savons rien que par expérience et que nous ne composons qu'avec les souvenirs des qualités contingentes des êtres réels. Il n'en est pas de même du type des figures géométriques , de la conception pure du triangle et du cercle; nous sibmmes assturés, non-seulement que ce type n'existe pas y mais même qu'il ne peut exister réellement; et en même temps y nous le connaissons comme existant certainement et nécessairement dans l'idéalité , et nous en avons à ce titre une connaissance intrinsèque, comme nous ne l'avons d'aucun objet doué d'un autre mode d'existence. Rien ne nous est connu en soi au même point que les figures géomé^ triques. II serait assez curieux de rechercher s'il est vrai qu'il n'en soit ainsi que dans les mathématiques, comment il se peut qu'il en soit ainsi , et quelle est la raison de cette coïncidence unique entre l'objet perçu dans l'expérience et son type conçu dans la raison , le second restant connu d'une connaissance plus entière et plus certaine que le premier. Rien , plus que les figures géométriques , ne parait favoriser la théorie des idées de Platon.

Mais si la méthode expérimentale est impropre à la géométrie , il n'en est pas de mêifte des deux autres niéthodes, l'intuitive et ia déductive; elles donnent seules l'évidence de raison , l'universalité absolue, la

vérité nécessaire. La méthode déductive ou la démonstration géométrique rigoureuse est la plus scientifique, non qu'elle conduise à une certitude plus grande , mais parce qu'elle remplit au plus haut degré les conditions de la logique , et résulte plus explicitement de l'application des lois formelles de la raison. Les vérités intuitives attestent la nature de la raison^ les vérités déductives sa puissance. L'évidence des premières semble résulter de la conformité de la raison avec elles; celle des secondes semble plutôt être son ouvrage. Mais les unes et les autres sont évidemment autre chose que lés vérités d'observation ou d'expérience; elles leur sont, sous de certains rapports , bien supérieures , et la méthode deis naturalistes n'est par conséquent ni la seule ni la première de toutes comme hl conducteur de la vérité.

Ce que nous venons de voir à propos d'une question de géométrie élémentaire , plus visible dans les mathématiques transcendantes , est vrai encore dans les mathématiques appliquées. Sans nous lancer dans l'appareil pédantesque des exemples , qui ne sait que la mécanique rationnelle se déduit à la manière d'une science a priori ^ une première donnée étant fournie par l'expérience, comme les notions générales sur l'étendue figurée dans la géométrie ? Citons pour toute preuve quelques mots de D'Âlembert sur la statique : «f L'observation et l'expérience nous éclairent sur le (( fait , en nous montrant que dans l'univers , tel qu'il « est, la loi de l'équilibre est unique.... Cette obser- (( vation commuîie, ce phénomène populaire, si on (c peut parler ainsi , suffit pour servir de base à une <c théorie simple et lumineuse des lois du mouvement :

DE L'£SPRIT. 401

(( la physique expérimentale n'est donc plus néces- (c saire pour constater ces lois qui ne sont nullement « de son objet. Si elle s'en occupe, ce doit être comme « d'une recherche de simple curiosité.... Un physi- (c cien proprement dit n'a pas plus besoin du secours ce de l'expérience pour démontrer les lois du mouce vement et de la statique qu'un bon géomètre n'a « besoin de règle et de compas pour s'assurer qu'il a (c bien résolu un problème difficile. » Et ce qui est dit ici de la statique s'appliquerait à la dynamique ; et le tout est tellement vrai que les géomètres ont été conduits à se poser la question si les lois du mouvement et de l'équilibre étaient telles qu'il ne pût pas y en avoir d'autres. C'était demander si la mécanique donnait des vérités nécessaires; la question a été résolue par l'affirmative , et le philosophe sceptique que nous venons de citer a écrit que « les lois du mouvement et de la dynamique sont ce non-seulement les plus simples et les meilleures , ce mais encore les seules que le Créateur ait pu établir ce d'après les propriétés cju'il a données à la matière ' . » En définitive, les mathématiques sont bien certainement une science théoretique, pour parler comme Aristote et Kant, ou une science exacte, abstraite, nécessaire. Cette science procède par la déduction ; mais la déduction y porte sur deux fondements, ou s'appuie sur deux sortes de principes, les uns généraux ou les axiomes, et lés autres spéciaux, purement miathématiques, ou les définitions. Ce n^st pas des premiers , mais des seconds , que se déduit la démons-

' D'Alembert, Encyclopf^e , art. Expérimental, Équilibre, Dynamique. Voyez aussi ses Éléments de philosophie , XVI. II. 26

tratioD ; mais celte déduction s'opère par Tapplu^ation constante des premiers. Locke et d'autres ont eu raison de remarquer qu'on ne pouvait rien déduire directement des axiomes ; mais sans les axiomes , c'est-à-dire s'ils n^étaient ni vrais ni connus , on ne tirerait rien des définitions. En d'autres termes^ l'esprit ne construirait aucune science , s'il n^avait les lois générales de toute science. Aussi Dugald Stevirart propose-t^il d'appeler les axiomes éléments de raîsonnement , et il réserve le nom de principes de x*aîsonnement pour les définitions , principes spéciaux des matliéma tiques ^ Ces définitions elles-mêmes sont à la fois évidentes et lijpothétiques. Elles n'affirment rien , elles ne prouvent rien , quant a l'existence de leur objet. Mais elles le font connaître essentiellement ou dans son essence^mathémafique , et elles contiennent et engendrent «ne science k la fols nécessaire et conditionnelle (Leibnttz). La notion et les propriétés du triangle sont nécessaires, quand même le triangle n'existerait pas. En cela est l'iiypothèse et l'abstraction ; cat* toute abstraction prise ^ elle-même est hypothèse.

La démonstration, appuyée sur les principes et opérant par les axiomes, est la même d'ailleurs en mathématiques qu'en toute autre science; elfe consiste dans une série d'intuitions liées et dépendantes les unes des autres. Toute connaissance est intuitive; mais la connai^nce dédnctive résulte de l'enchaînement logique des connaissances intuitives. Cest là ce qui permet de distinguer nettement Tintuition

' PhOosopIuc ék t esprit humain^ T. III^ ch. I, sect. F et ch. II, 8ect« ly.

DB L'BdniT. 403

de la dédm^lîon y quc^ique oette-oi n^aitte pas lans celle-}^ ; maîa la réciproque ii^eel paa vaie.

Enfin , la clarté de la caniiaîsaanee mallbésialiqiie est garantie el oomplélée par la poiaUbilité d\in appel firéçiient soit à «ne oeneeplien en imagination, soil à nne représ^asalkm eacterne 4e« Mêlions, matliématiques à l'aide dSine oopalmolion aenailblo en géon^trie, lymbotiqiie en arithmétique et en algèbre. C?est comme cela que, dans ce» sdences , le particulier se mêle au gAaÀrat, et rexpërimental au rationnel. C^eet ce qui a donné lieu aux paradoxes de quelques philosopkes e«^piriques comme Hobbee, comme Locke, sur les mathématiques.

Ainsi y quatre points à r^coarquer dans les mathématiques.

i^. Les axiomes qui appartiennent h fes^it humain dans son universalité, ^ qui rdhi^eraijent cçmme te)s de la science philosophiquew

a*. Les principe^ mathématiques qi^ sont la s0«rce féconde de toutes les démonstrations et qi»i sont tes hypothèse» dont p9rle Platon, quapd it dit que H ces hypothèses une fois établies ^ les géomètres u et les arithméticiens les regardent conmie autant H de Térilés que tout le monde peut reoonnaitre , et c< n'en rendent compte ni à euie-Baémes ni amc auce tres| enfin, partant de ces hypothèses, ibdescenc< dent par une chaîne non interrompue , de pro- M position en proposition , à la conchisioi» qu'ils u ayaient dessein d^établir \ »

3°. La dédiiction ou l'applici^ion d& la logique ordinaire ou syllogistique à ces principes; c'est la

' De la Hipi^l ^ Ib. YIi -^ Ti:aAtt<;tio^ dq^HI, Q)i|«fl'l

démonstration proprement dite, qui ne diffère ici de toute autre que parce qu'on la voit , pour ainsi dire, circuler dans une langue transparente.

^. Enfin, la possibilité d'une vérification ou plutôt d'une élucidation continuelle des notions et des raisonnements , par le moyen des constructions , c'est-a-dire par une expérience fictive. •

C'est par le second et le quatrième points que les sciences mathématiques différent des autres sciences. De là leur rigueur et leur évidence. Elles suffisent pleinement à leur objet, elles lui sont, comme on dit , adéquates , parce que cet objet est lui-même idéal, (c II y a, dit Kant, des définitions réelles en a mathématiques; car la définition d'un concept arec bi traire est toujours réelle*. »

Sous les autres rapports , les sciences mathématiques ne différent pas des autres sciences rationnelles ; et a tous égaixls, elles sont une preuve que la méthode expérimentale n'est pas la méthode imique. Puis, donc que les mathématiques sont nécessaires à la physique même, et que Newton n'eût pas découvert le système du monde s'il n'eût été géomètre , les idées de l'école de Bacon sur la méthode des sciences sont étroites et incomplètes. Mais nous voulons aller plus loin.

Les conséquences qui sortent de ces recherches sont évidentes , elles minent l'absolutisme des méthodes expérimentale^. Mais les sciences mathématiques pures et appliquées ne seraient pas les seules qui nous pourraient fournir des arguments. La lo-

' Logiqae; méthodologie géDérale, §. to6. Yojez aussi FintroductioD, m , et la dissertation déjà citée de M. Haniilton.

gique, considérée elle-même comme science des lois du raisonnement abstrait, non comme analyse psychologique du raisonnement en acte , est pomrrue d'une ëyidence qui ne doit rien à rohservation. C'est une science exacte^ qui n'a besoin d'aucune application réelle pour être Traie. Les règles for* melles du raisonnement subsistent^ lors même que l'on compose le raisonnement de propositions sans vérité objectiye* L'objectif de la logique, c'est la forme du raisonnement, non sa matière ; elle est la science du raisonner et non du raisonnable. Elle est Traie du raisonnement abstrait et possible, .comme la géométrie est vraie de Téteiidue £^rée, abstraite et possible, et ni l'une ni l'autre science n'a besoin pour.être légitime, qu'il y ait au monde des raisonnements actuels ou des figures effectives. Ici encore se place la remarque importante que dans l'existence positive de l'homme, c'est à propos de ses sensations qu'il est provoqué à raisonner, c'est sur le souvenir ^es objets de ses perceptions qu'il commence à le faire. Si donc il n'était ca- . pable d'observation , il ne raisonnerait pas ; mais cela ne veut pas dire que la faculté de sentir soit identique à celle de raisonner, encore moins que la vérité des sensations soit le fondement et la pierre de touche de la régularité du raisonnement en luimême. La réalité bien observée est une chose, la vérité logique en est une autre, quoique la réunion de l'une et de l'autre soit en général nécessaire pour produire la connaissance utile et complète.

S'il en est ai^si delà logique, il en est de même de la morale. Supposé qu'il n'y eût ni volontés ni actions au monde, nous ne concevrions pas la morale,