ra.r2dr

— . r = 27ra. — . I^dr.

Intégrons maintenant pour le cylindre plein de longueur L et de rayon R.

Le couple nécessaire pour produire la torsion a est:

C = 27ca, --- / r^dr = -—- . a

C'est la formule de Coulomb ♦

Ainsi tant que la déformation est parfaitement élastique, les hypothèses que nous venons de faire, conduisent à admettre que la courbe de déformation (C, a) est une droite ; le couple est, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnel à la 4** puissance du rayon et en raison inverse de la longueur.

31. — Courbe de J. Thomson. — Revenons au tube élémentaire développé et à la fig. 32. A partir d'une certaine déformation, quand la force par unité de surface des bases terminales et par conséquent, le rapport CC* : AC ont atteint une cer-. taine valeur, le frottement solide cesse d'équilibrer la force: il y a glissement et torsion permanente.

Appelons f le frottement solide par unité de surface ; il cède

quand Tangle de torsion a, satisfait à la condition : * > = 1.

La déformation permanente ne commence donc pas simultanément pour tous les tubes élémentaires; le tube extérieur de rayon R cesse le premier d'être parfaitement élastique quand la torsion est ao, donnée par la formule [laoR = Ll. A ce moment le couple est Co :

Pour des torsions a < ao, on a : C = Co (i).

Cherchons ce qui se passe pour des torsions a > oo.

Il faut distinguer dans le cylindre deux parties ; Tune cylindrique centrale de rayon n, tel que jjian = IL; l'autre est la couronne comprise entre les cylindres de rayons n et R.

Pour le cylindre central les déformations sont encore parfaitement élastiques ; la formule du n° 30 est applicable ; le cou-

pie a pour expression C := — jx — - — .

Les différents tubes élémentaires constituant Tanneau ont au contraire dépassé la limite d'élasticité : la force par unité de surface a atteint sa valeur limite f . Le couple a donc pour expres-

sion : C" z= / liir^àrA = — f (R3 — ri3).

En définitive le couple total est :

Introduisons dans ces expressions les quantités ao et Co après avoir remplacé n par sa valeur en fonction de a :

Ainsi la courbe théorique de torsion, connue sous le nom de J. Thomson, se compose de deux parties. La première (i) est une droite ; elle vaut jusqu'à l'angle ao défini par la condition : ixaoR rz Lf . La seconde(a)est une courbe qui admet comme asymp-

tote l'horizontale C = — Co. Les deux courbes donnent le