CHAPITRE III

Déformations parrailement élasliqnes. — Nodules d'élasticité

33. — Définition des modules d'élasticité.— La définition des modules d'élasticité ne présente aucune difficulté, dans les cas infiniment rares où il existe isolément des déformations parfaitement élastiques non retardées, telles que nous les avons définies au n* 2. Nous savons qu'alors la courbe — variable géométrique, variable mécanique — a une forme déterminable une fois pour toutes, toujours la même quel que soit le sens du parcours. Soit X la variable géométrique, X la variable mécanique, le module brut d'élasticité est défini en chaque point de la courbe

(x, X) par l'inclinaison de cette courbe : m = -^ — . Ce module

dx

peut être constant (si la courbe x,X est une droite) ou variable : peu importe.

Par exemple dans le cas d'une suspension bifilaire, le module brut d'élasticité est représenté à chaque instant par le quotient — — : c'est une certaine fonction de l'angle de déforda

mation a. Maximum pour a = o, il décroît, s'annule au voisine nage de a 1= -r- (au moins dans le cas pratique où 4^ : P est

très petit), change de signe et devient encore maximum en valeur absolue pour a = u.

De même un pendule tournant autour d'un axe horizontal est soumis à un couple dont le moment est de la forme K sin a, où a est l'angle avec la verticale : le module brut d'élasticité est K cos a. Maximum pour a =0, quand le pendule est dans la

verticale, il est nul pour a z= - -, quand le pendule est hori-

l'^ 50 ESSAIS DES MATÉRIAUX

1;.^ zontal. Il change alors de signe et devient encore maximun en

valeur absolue pour olzzz-k.

vt; On sera peut être étonné que nous prenions pour donner une

^\'- idée des modules d'élasticité, l'exemple de systèmes où Télasti-

|. cité n'intervient pas, au sens ordinaire du mot : mais nous trou-

vons un avantage considérable à habituer le lecteur à raisonner sur des courbes, c'est-à-dire sur des résultats bruts d'expérience, sans s'inquiéter des conditions particulières des expériences qui ont fourni ces courbes : nous nous débarrassons ainsi d'entraves aussi gênantes qu'inutiles.

Le module brut d élasticité doit nous faire connaître à chaque instant l'inclinaison de la courbe de déformation supposée parfaitement élastique, c'est-à-dire la variation de la variable mécanique quand on donne un accroissement à la variable géométrique : il importe fort peu de connaître le mécanisme du système.

|[ Pour des raisons que Ton va voir, on ne se contente pas du

module brut ; on utilise deux autres modules qu'on appelle module d'Young et module de Coulomb ; je vais montrer ^ comment ils se sont introduits dans la science. Je suppose tout

('[: d'abord que les déformations sont uniquement de la nature de

^•. celles définies au n** a.

34. — Phénomènes de traction. Module d'Youns:. — Supposons qu'un cylindre soit déformé par une tension uniforme appliquée normalement à la section droite : on peut admettre, toutes choses égales d'ailleurs, que l'accroissement de tension nécessaire pour produire un certain allongement est proportionnelle à la surface initiale de la section droite. Il est d'ailleurs évident que l'accroissement de longueur est proportionnel à la longueur initiale.

On peut poser en définitive :

dL

dP = Eso.-7 — ;

E s'appelle le module d'Young.

Cette formule ne suppose rieti de plus que ce que nous avons dit ; elle ne prête à aucune contestation ; bien entendu E est une quantité qu'à priori on n'a aucune raison de supposer constante et indépendante de la grandeur de la déformation.

dP U

L'introduction du paramètre E = -..— • — , au Heu de la

^ dL 8«