CHAPITRE III

Cherchons les conditions d'équilibre de cet élément et de la tranche à laquelle il appartient.

D'après nos hypothèses, les forces extérieures se réduisent à une résultante verticale (c'est-à-dire dirigée sensiblement suivant CO), et à un couple dont l'axe est normal au plan de symétrie P (c'est-à-dire normal au plan du tableau).

1° La résultante verticale produit ce qu'on appelle un effet tranchant © ; elle tend à séparer la tranche des parties voisines, à produire un eflFet de cisaille suivant les sections droites qui la limitent. Nous pouvons négliger pour l'instant les déformations toujours faibles qui résultent de cet effort. Nous retrouverons d'ailleurs cet effort tranchant au n® 6i .

20 Le couple doit être équilibré par un couple égal et inverse qui résulte de la déformation de la tranche ou, si l'on veut, de l'ensemble des forces qui proviennent de la transformation des éléments qui forment cette tranche, de rectangles en trapèzes, comme nous l'avons expliqué plus haut.

Or cette transformation exige l'allongement de certaines fibres (telles que CCi qui devient CC') et le raccourcissement d'autres fibres (telles que AAi qui devient AA'). Ces allongements et raccourcissements ne peuvent provenir que de forces horizontales : comme par hypothèse aucune force extérieure n'est horizontale, il faut satisfaire une première condition ; à savoir que la somme algébrique de toutes ces forces horizontales soit nulle.

Nous allons tirer de cette conditition la position ce qu'on appelle les fibres neutres. Par fibre nous avons désigné les cylindres élémentaires qui composent au début le cylindre non déformé, et qui deviennent les baguettes élémentaires constituant le cylindre déformé. Les fibres neutres sont celles qui, dans la déformation, ne subissent ni allongement ni raccourcissement. Dans le cylindre non déformé, elles forment un plan ; par la déformation ce plan devient un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan du tableau. Le fibre BB' de la fig. 22 est une fibre neutre. La surface formée après la déformation par les fibres neutres est un cylindre, puisque son intersection par les sections droites qui par hypothèse ne se déforment pas, ne peut être qu'une droite. Ces droites parrallèles sont les génératrices du cylindre formé par les fibres neutres après la déformation. Avant la déformation le cylindre est un plan.

Ce qui précède revient à admettre que la section AiCi tourne

6o ESSAIS DES MATÉRUUX

autour d'une certaine droite A normale au plan du tableau dont la trace est en B' et qui est, avant la déformation, Tintersection du plan des fibres neutres avec la section A'C

Soit z la distance d'un élément do) de la section droite à la ligne que nous venons de définir.

L'allongement de la fibre de longueur dx et d'aire do) est

dx

z6 =: z. . D'après la définition du module dToung, la force

horizontale nécessaire pour produire cette déformation est:

— z6 Ezda>

E --- d(o= : elle est dirigée vers la droite.

dx ^

Pour les fibres qui subissent un raccourcissement et pour les quelles la force est dirigée vers la gauche, la formule précédente s^applique à la condition de prendre z négativement au-dessous de la droite A.

La condition à laquelle nous sommes parvenus ci-dessus, consiste donc à écrire :

//zdo) = o, l'intégrale étant étendue à la section toute entière.

Elle est satisfaite si la droite A passe par le centre de gravité de cette section .

En définitive toutes les fibres horizontales du cylindre non déformé, qui se trouvent sur l'horizontale A passant par le centre de gravité, ne subissent ni allongement ni raccourcissement pendant la déformation : ce sont les fibres neutres.

30 II faut maintenant écrire que le couple qui résulte des déformations et dont l'axe est normal au plan du tableau, fait équilibre au couple extérieur. Calculons la somme des moments des forces par rapport à la droite A : elle s'exprime par l'intégrale :

C = — //z^do), étendue à la section droite entière.

Or elle représente le moment d'inertie I de cette section par rapport à la droite A ; nous avons en définitive :

pour l'équation d'équilibre.

40. — Autre forme de l'équation d'équilibre. — Qénéralisation. — Rapportons le cylindre à deux axes, l'un x horizontal,