C -f- Yx — Xy = El I j qui est Téquation cherchée

Admettons, et c'est là précisément où se trouve la difficulté quand on veut réaliser un calcul rigoureux, que le spiral ait une forme telle que les pressions sur Taxe O (mesurées par les forces X et Y) soient négligeables. Il reste seulement:

C = El I ■ ; discutons cette équation.

Elle s'applique à tous les éléments : appelons ds la longueur de l'élément MM' ; multiplions les deux membres par ds et intégrons pour toute la longueur L du spiral : C est une contante dans l'intégration et /ds z= L. Il vient :

Or — est 1 angle dô que font les 2 normales menées aux

/ds = /dO, est l'angle que font

entre elles les normales menées au point A et B quand le corps est déformé. La parenthèse représente donc la variation de cet angle; puisque la normale en A est invariable, cette variation est précisément égale à l'angle a; d'où l'équation qui résout le problème :

Ela

Quelle que soit la forme du spiral plan ou cylindrique (pourvu

que les spires soient suffisamment rapprochées), le couple est donc proportionnel à l'angle de torsion, en raison inverse de la longueur, et proportionnel au produit El, qu'on appelle quelquefois le moment d'élasticité.

J'ai donné plus haut la valeur de I pour les sections circulaire et rectangulaire : dans ce dernier cas il faut que Tun des côtés du rectangle soit parallèle au plan de flexion, pour que la flexion reste plane.