CHAPITRE IV

méthode s'applique aisément, c*est au contraire la déformation qui reste moyennement constante. Assurément quand on opère au couple nul, (n® 52), on se trouve bien dans le cas traité au no ^i ; mais dès qu'on veut aborder Tétude plus générale prévue au no 53, c'est la torsion qui reste sensiblement constante, de même que c'est la longueur au n* 54. Donc, on peut dire d'une manière générale, que la méthode dynamique ne s'applique commodément qu'au cas où la variable géométrique est maintenue constante en moyenne.

^5. — Absorption d'énerg:ie dans les petites oscillations — Voici deux propositions qui s'appliquent chaque fois qu'on peut poser l'équation différentielle du n*» 51.

1® La variation d'énergie potentielle du système quand on le déplace à partir de sa position d'équilibre u = o, est proportionnelle au carré u* du déplacement. La force non équilibrée

est en effet, mu; le travail de cette force est, mu.du=:=

=ir}

L'expression entre parenthèse représente l'énergie potentielle. Dans le cas traité au n® 54, l'énergie potentielle a pour

C + 2mD ,

expression u*.

a** L'absorption d'énergie dans une oscillation complète est proportionnelle au carré de l'amplitude actuelle. En effet, à chaque instant le travail du frottement est f — -- du zi f( --— ) dt. ^ dt \ dt /

Or, pendant toute la durée d'une oscillation nous pouvons poser très sensiblement u = Ui sin tôt; le travail absorbé par le frottement est donc :

cos^ (i)t dt = ^ - lui^

L'expérience montre qu'il n'est généralement pas possible d'admettre dans les corps solides l'existence d'un frottement intérieur proportionnel à la vitesse. Quel que soit le mécanisme de l'absorption d'énergie dans les petites oscillations, qu'on lui donne comme cause la réactivité ou tout autre phénomène, l'expérience montre toutefois qu'elle reste sensiblement proportionnelle au carré de l'amplitude, mais qu'elle ne varie plus en raison inverse de la période. Elle en est quelquefois indépendante ; il peut même se faire qu'elle croisse quand la période augmente (déformation des corps visqueux).

Nous pouvons donc généralement poser les deux règles expérimentales suivantes :

I* L'énergie potentielle varie proportionnellement au carré de l'amplitude ;

2° L'absorption d'énergie est elle-même proportionnelle au carré de l'amplitude.

Il résulte encore de là que l'amplitude des petites oscillations diminue en progression géométrique.

En effet soit W et W— AW les énergies aux extrémités d'une oscillation ; AW est de la forme uAu (i°) ; elle est égale à l'absorption d'énergie, elle-même proportionnelle au carré de

Au

Tamplitude (2°). On a donc : uAu = Ku^, = K, ce qui revient à dire que les oscillations diminuent en progression géométrique.

Ces faits conduisent à une conséquence importante : du moment que r équation différentielle du w° 5/ ne s'applique pas nécessairement, il nest plus sûr que les forces amortissantes n'interviennent pas dans la période T* ; // nest plus sûr que cette période soit la même que s'il n'existait que des phénomènes d'élasticité parfaite non retardée. En d'autres termes nous ne pouvons plus poser avec sécurité T* r=z T.

Il est important de remarquer que si ces considérations jettent un doute sur V interprétation à donner aux résultats expérimentaux, elles n'empêchent pas que ces résultats ne soient fondamentaux. Mais elles prouvent qu'il faut apporter tout le soin possible à la définition des conditions particulières de l'expérience : par exemple il n'est pas sur qu'on obtiendra les mêmes valeurs du module quand on fera varier la valeur de la période.

56. — Entretien des oscillations. — Quoi qu'il en soit des lois qui régissent les absorptions d'énergie, toujours est-il que, tant par le frottement de l'air que par les frottements intérieurs, l'amplitude décroît souvent trop vite pour qu'il soit possible de mesurer la période avec quelque précision. On est donc conduit à entretenir les oscillations.

Pour bien des raisons et en particulier pour celles expliquées au n*> 33, l'entretien n'est pas indispensable quand il s'agit des oscillations de torsion ou de flexion (n® 52); l'amortissement est faible, car on peut opérer sur des amplitudes très petites qui correspondent à des déformations d'une très petite fraction de