ABCD

Pour simplifier l'écriture, considérons dans le cylindre réel un cylindre dont les sections aient l'unité d'aire, u est une fonction de x et de t. A un instant donné, l'allongement moyen delà

Du

tranche ABest — dx; son allongement relatif moyen, (quo-

tient de rallongement par la longueur; est . D'après la définition du module d'Young la tension uniforme nécessaire pour produire un tel allongement relatif est E — .

Mais — est une fonction de x et de t. L'alloneement re-

latif moyen de la tranche CD est donc au même instant ;

— + — I ■ I 2dx, puisque les milieux des tranches AB JX JX \îx/

et CD sont distances de 2dx. La différence des allongements

moyens entre les deux tranches AB et CD est donc 2 — r- dx, ^ Jx*

pour une dislance 2dx.

Ceci posé nous pouvons conclure que la différence des

tensions uniformes sur les deux seclions B et C qui limitent la

tranche BC et qui sont distantes de dx, est E — ^ dx. Soit 5 la ^ 3X*

densité du milieu. L'équation du mouvement de la tranche BC

est donc :

tv=Y/^;vest,

en posant v =y/ -;:-; v est, comme il est facile de voir, la vitesse de propagation de l'ébranlement longitudinal.

^8. — Son rendu par une barre cylindrique libre aux deux bouts et invariablement fixée en son milieu. — La nature de ce traité m'interdit d'insister sur les procédés techniques qui permettent de mesurer E à partir de l'équation précédente; je vais seulement indiquer en gros la possibilité de cette mesure. L'équation différentielle admet des intégrales de la forme :

u=: Uo cos — ; — sin Zs -=■ , avec l'unique condition À ^ vT;

X est ce qu'on appelle la longueur d'onde.

Considérons une barre cylindrique de longueur L invariablement fixée en son milieu ; l'origine des x est à l'une des extré- . Elle peut vibrer d'après l'équation précédente si l'on a :