CHAPITRE IV
amené à tenir compte de la vitesse de propagation des déformations qui sont alors des vibrations rapides.
Le raisonnement qui donne l'équation différentielle de la propagation d'une torsion le long d'un cylindre, est tout à fait semblable à celui du n° 57 ; je peux donc être bref. J'admets que les tranches sucessives infiniment minces comprises ejitre deux sections droites normales à Taxe de symétrie du cylindre considéré, tournent en bloc, autour de cet axe, d'un angle u fonction de la distance x de la tranche à une origine arbitraire, et du temps. Soient 4 sections droites équidistantes (fig, 38). Le couple moyen nécessaire pour tordre la première tranche
du
AB peut être représenté par jjuI. . Un raisonnement calqué
jx
sur celui du n° 57, montre que la différence des moments des
couples qui s'exercent sur les deux faces de la tranche BC, a
pour expression : [xJ — -- dx. Ecrivons qu'il fait équilibre à
la force d'inertie tangentielle totale. Appelons comme précédemment (n* 38) I le moment d'inertie de la section droite par rapport à une droite normale passant par son centre de gravité (moment polaire) ; l'accélération tangentielle totale est égale à
81 — Y ^^* L'équation différentielle cherchée est donc :
= V** — T , en posant v'
Dt* Dx2
v' est la vitesse de propagation des vibrations tournantes.
On trouve au n*38 les valeurs de J pour les formes principales des sections droites. En particulier pour la section circulaire,
J =z !, v' zi \/-~ . La vitesse de propagation des vibrations
tournantes est donc de même ordre que celle des vibrations longitudinales.
Traitons le cas le plus pratique : supposons que la barre soit fixée à Tune de ses extrémités ; on la tord à l'autre et on l'abandonne ; il se produit des torsions et des détorsions alternatives. L'équation différentielle admet comme intégrale :
27CX . ^ t , , ..
u = Uo sin — r— sin I-k — - ; la barre vibre suivant cette
• P . ^ vT' T . 775" ^, , ,
équation, si 1 on a : L = -- =: — -— == — --v -Ç7- . C est le
4 4 4 V ol
ga ESSAIS DES MATÉRIAUX
son le plus grave qu'elle puisse donner. Il y a un nœud pour X ^ o, et un veotie pour x = L; à celle extrémité le couple est nul.
En particulier on peut comparer les périodes des vibrations TetT' de la même tige dans les mêmes condilioiis, suivant qii'ellesubit des déformations longitudinales, ou des déformations tournantes. Par mêmes conditions, il faut entendre que les tiges seront fixées de la même manière, de sorte que les nœuds et les ventres se répartissent de même. On trouve aisément :
La détermination de T et de T' permet donc de calculer le coefficient de Poisson a,
6i. — Vibrations transversale d'une veree> — Les vibrations d'une verge encastrée à l'une de ses extrémités ont un intérêt suffisant pour ne pas être passées soussilence. Elles nous fourniront en outre l'occasion de démontrer un important théorème de la Ihéorie de la résistancedes matériaux. Reprenons les conditions d'équilibre d'un élément de cylindre déformé (n° 39), et tenons compte de ce que nous avons appelé (l' p. ^9) l'effet tranchant.
L'élément AC A'C compris entre deux sections droites AC et A'C distantes de dx, est en équilibre sous l'action de trois couples dont les axes sont normaux au plan P de la flexion plane.. Les deux premiers sont dus aux forces normales qui résultent de l'allongement et du raccourcissement des fibres parallèlement au plan P. Us ne se font pas rigoureusement équilibre. Nous avons trouvé que l'expression du couple appliqué
El
sur la section droite d'abscisse x est . Pour l'équilibre de
l'élément ACC'A, il faut naturellement un couple égal et de sens contraire appliqué au même élément. En définitive à un élément ACC'A' (fig. 40) se trouvent appliqués deux couples
El ayant l expression : nous les avons supposés égaux ; no:is
avons négligé provisoirement la variation que le couple éprouve quand on passe d'une section à la section voisine. Pour tenir compte de cette variation, nous devons considérer les efforts tranchants '&. forces langentielles, dirigées dans
