CHAPITRE IV
les sections droites et parallèlement au plan de flexion plane P. Ecrivons que Tensemble des trois couples se font équilibre :
nous arrivons à la relation ^ :r
Dx
L'effort tranchant total
est donc égal à la dérivée du couple de flexion par rapport à la variable x qui fixe la distance des sections droites à une origine O arbitraire.
La figure montre que si les couples tendent à fléchir la pièce vers le bas et diminuent lorsque x croit, il existe un effort tranchant dirigé vers le haut dans la section de l'élément qui correspond au plus petit x. Nous pouvons donc appliquer la formule
Ç =. en grandeur et un signe, à la condition compter
ùx
positivement les i5 vers le bas sur la section gauche de
Télément.
Mais les efforts tranchants varient d'une section à une autre :
le raisonnement précédent ne les suppose constant que comme
première approximation. Généralement quand nous passerons
d'un plan x à un plan x-\- dx, Teffort tranchant passera de © à
DX
dx. Donc il existera un effort tranchant © vers le bas sur
la section gauche, et effort tranchant© H dx vers le haut sur
Dx
la section droite de l'élément. La résultante des deux efforts est une
force appliquée à l'élément de volume, dirigée vers le haut, égale
en grandeur et en signe a dx = — —-■ dx.
Supposons maintenant un mouvement vibratoire du cylindre d'abord horizontal ; ses dilTérenls points se déplacent parallèlement à ky {fig. a^); les y sont comptés positivement vers le bas. Soit s l'aire de la section droite, 5 la densité de la matière. Ecrivons que l'élément se déplace sous l'influence de la force
dx, qui est dirigée vers le haut. L'équation du mouvement
est donc : sodx. — r- ^ dx, = — „ dx.
3t* Ox )xï
ït* ^ Jx* - " Or, avec les conditions de signes précédentes, nous avons montré (n" 40) qu'on a très sensiblement : C = El — ■- . L'équation diflérentielle à satisfaire par les mouvements vibratoires est en définitive :
équation connue sous le nom d'équation des verges vibrantes. Nous l'appliquerons à un cas particulier,
6a. — Verge encastré à l'un de ses bouts et libre à
l'autre, — Posons y = X sin — j-3— t(a) : X est une fonction de
X qu'il s'agit de déterminer, L est la longueur de la verge, m une constante. L'équation (3)est une intégrale de l'équation (i) pourvu
que X satisfasse à la relation : =■ -r-r- X {}).
On connaît l'intégrale générale de l'équation (3) ;
X = Xo cos -^ X + Xi sin -^ X -I- Xvi^ -}- Xse" "
Ecrivons les conditions aux limites. Pour x ^ o, on doit
dX
avoit X = o, -- — =: o ; pour x ^= L, on doit avoir C = o,
