CHAPITRE VII

quées à un même corps, Xo, Yo, Zo, sur chaque élément de volume, Xs, Y g, Zj sur chaque élément de surface extérieure; elle ne tient pas compte des actions intérieures dues aux déf or mations. Pour qu'il n'y ait pas incompatibilité, il faut donc que celles-ci s'éliminent d'elles-mêmes dans les équations appliquées à une portion finie du corps déformé.

C'est effectivement ce qui a lieu.

Soit dS un élément de la surface extérieure, dV un élément de volume. Ecrivons les 6 équations ordinaires de l'équilibre d'une portion finie di: corps. Nous avons :

// XsdS -♦- /// XodV =0 et deux autres analogues ;

// (zY, - yX.) dS -f. /// (zYo ~ yZo)dV =.

et deux autres analogues.

Or, multiplions la première des équations (1) par dV et intégrons pour le volume considéré entier; faisons les intégrations possibles, il viendra :

-vV \v >v

équation identique à // (mXx 4- nXy 4- pX.) dS -f /// Xo dV = et à

ffXdS H- /// XodV = G ; expression identique enfin à l'équation ci-dessus, puisqu'il faut poser par hypothèse X n Xs. On montrerait de même que les cinq autres équations d'équilibre d'une portion finie peuvent se déduire des systèmes (1), (2) et (3): les forces intérieures disparaissent dans l'intégration.

94. — Théories de l'élasticité parfaite. — Les théories de l'élasticité parfaite cherchent à relier les torces qui viennent d'être définies aux déformations du solide, sous certaines conditions de petitesse pour ces déformations. Elles se composent : i* d'une partie purement géométrique définissant les déformations, qu'on peut traiter à part et qui n'est pas sujette à contestation, en tant que purement géométrique; 20 d'une partie de physique mathématique posant des équations où entrent les déformations et les forces, et naturellement basées sur des hypothèses plus ou moins contestables. La discussion peut porter d'une part sur la nature des déformations qu'il est nécessaire de considérer et le degré d'approximation auquel on se limitera dans leur définition; d'autre part sur le lien existant entre ces déformations et les tensions ou pressions élastiques.

Voici en quelques mots comment s'est longtemps présenté le problème :

Le point de coordonnées x, y, z subit dans la déformation un petit déplacement; ses coordonnées deviennent x-|-u, y+v, z-j-w. On admet d'abord que u,v, w sont des fonctions continues de X, y, z. Il est clair que si nous nous donnons ces trois fonctions, la déformation d'un élément pris dans le milieu est entièrement connue. Toute la difficulté, et elle est absolument inextricable, sera de relier cette déformation générale aux tensions élastiques

On a donc eu recours à des hypothèses simplificatives; elles ont consisté en des restrictions sur la généralité de la déformation. Considérons deux points voisins dont les coordonnées sont X, y, z pour le premier, x-f- Ax, y-f-Ay, z + Az pour le

second; soient — » — ' •• •• les 9 dérivées partielles des fonc-

Ox oy

tions u, V, w par rapport à x, y, z. On a admis qu'au voisinage

du point X, y, z, on pourrait poser :

Au = Ax A Ay H Az

jx ;)y az

et deux autres équations analogues.

Il résulte immédiatement de cette expression où les Au, Av. Aw sont des fonctions linéaires des Ax, Ay, Az, une série de propositions. Par exemple, une petite sphère se transforme en un ellipsoïde.

Les deux déformations fondamentales, l'allongement relatif d'une petite droite et le changement de Tangle que font deux petites droites, peuvent s'exprimer au moyen de six fonctions des dérivées partielles du premier ordre de u, v, w par rapport à X, y, z.

Pour les applications ultérieures on est amené, surtout si Ton veut traiter des problèmes à trois dimensions, à négliger les termes où se trouvent les produits de deux dérivées partielles. Les six fonctions se simplifient et prennent la forme :

DU 3v 3w 3u ^v îv Dw aw DU

1 TU"» "TZ r 'T~ » "TU r

Dx ' Dy ' Dz ' Dy <)x * i)z ay ' ax "^ dz *

La première partie de la tâche se trouve donc accomplie ; passons à la seconde : il s'agit d'établir entre les N et les T d'une part, et les six fonctions précédentes de l'autre certaines relations