CHAPITRE VII

Admettons que les N et les T en soient des fonctions linéaires : nous obtenons un système contenant 6 X 6 :^ 36 coefficients.

Supposons maintenant certaines conditions de symétrie : dans le cas des corps isotropes, nous parviendrons à réduire à deux le nombre des coefficients.

Soit 6 iz ' + -1 ; X est un paramètre constant, a est

le module que nous avons déjà défini ; il vient :

' Dx *^ \ Dz Dy /

^ ^ Dy ^ \^x Dz /

Dz V îy îx /

C'est en ces équations que consiste ce qu'on appelle la théorie classique de ^élasticité parfaite pour les corps isotropes. Elle repose donc : i** sur les hypothèses simplifîcatives que nous avons dites plus haut, (emploi exclusif des dérivées premières, équations linéaires;; a» sur Thypothèse de la superposition des déformations, que j'ai expliquée et discutée au n* 46. Tout ce qu'on peut dire en sa faveur, c'est qu'elle semble d'accord avec les faits dans le cas des déformations les plus simples, pourvu qu'elles soient suffisamment petites.

Exemples : Verge tirée dans le sens delà longueur.

Prenons pour axe des z la direction des génératrices. Nous avons admis, n* 44, que la déformation peut s'exprimer par les équations :

w = az, u = — d.ax v .■= — <j.ay.

D'où : Ni z= N2 = =:a [X (I — Id) — 2a(jJ,

Ti=:T8=T3 = 0,

Ces équations représentent bien les conditions expérimentales pourvu que Ton pose :

fS = — ^— H =:= a. ■ —

2|XH-|x)' *" ' X

Conditions équivalentes à l'équation du n«> 46 : E=2|x(l-h(j) Cylindre circulaire tordu. — Prenons encore pour axe des

z la direction des génératrices. Les déformations sont exprimées par les équations : u = — ayz, v=:axz, w=o.

11 vient Ni Z3 Na = N3 = o; T3 — o, Ti zr ax, Ta = — «y.

Le phénomène étant évidemment de révolution autour de l'axe des X, prenons un point dans le plan des zox; il reste deux couples Ti :=ar se faisant équilibre. On vérifiera aisément que le couple dont les forces sont parallèles au plan xoy est précisément celui dont nous avons admis l'existence dans la théorie de la torsion du n* 30; il est en définitive équilibré sur les sections droites extrêmes libres par le couple extérieur.

RHMARauE. — Donner a priori une valeur particulière au coefficient ff de Poisson revient à donner ii priori une valeur particulière au rapport X : }l. Quand ce rapport varie deoà », d varie de o à 0,05. Ce sont les limites admises au n" 44.

9^. — Résistance des matériaux. Déformations élastiques. — Avant même qu'on ait posé le problème des déformations élastiques sous la forme générale précédente dont on ne connaît jusqu'à présent qu'une solution particulière, on avait cherché la loi des déformations élastiques de corps ayant des formes géométriques simples, en s'appuyant sur des hypothèses spéciales que l'expérience semblait légitimer. On a étudié ainsi une série de questions dont l'ensemble forme ce qu'on appelle la théorie de la résistance des matériaux, nous verrons un peu plus loin pourquoi. La théorie de la flexion telle que nous l'avons exposée, est l'une de ces questions.

Il ne faut pas voir d'opposition essentielle entre les théories de l'élasticité parfaite et les théories de la résistance des matériaux. Les secondes sont peut-être destinées à rentrer un jour comme cas particuliers dans les premières convenablement généralisées. Mais les besoins de la pratique ont fait devancer l'établissement d'une théorie générale; on se contente encore de solutions approchées, sans lien bien évident entre elles, comme pis aller et faute de mieux. L'avantage évident de cette manière de procéder est que, partant d'hypothèses beaucoup plus rapprochées des solutions cherchées, celles-ci apparaissent presque intuitivement. Si on voulait, au contraire, dans chaque problème et pour chaque forme particulière des corps, s'appuyer sur les hypothèses les plus générales, c'est à-dire revenir à la déformation de l'élément et aux hypothèses qui relient cette déformation aux efîbrts, ce ne serait qu'après un