SECONDE SECTION

DE l'enseignement DES MATHÉMATIQUES.

Sur la manière de les enseigner et d apprécier, dans les examens ^ le sai^oirde ceux qui les ont éùâdiées.

Tout homme qui veut rendre son existence utile à la société , doit marcher constamment vers un même but ; ce n'est que par une con** tinuité d'effi3rts dirigés toujours dans le même sens y qu'il peut atteindre à de véritables succès , et acquérir quelques droifi à l'estime de ses contemporains et à la reconnaissance de ceux qui viendront après lui. livré de bonne heure aux travaux de l'enseignement, j'ai tou-« jours tourné mes méditations sur les moyens de présenter les résultats de la science par les faces les plus simples et dans l'ordre le plus naturel. C'est ainsi que j'ai conçu d'abord le dessein de rassembler en un corps d'ouvrage tous les matériaux de la Géométrie et de l'analyse transcendante. Rappelé aux fonctions du professorat , que je n'avais exercé jusque-là que

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dans des écoles où la forme et la matière de rinstruction étaient rigoureusement déterminées, et celle des Écoles centrales étant laissée entièrement à la disposition du maître , je fus engagé par cette liberté à réfléchir sur les moyens de perfectionner le cours qui m'était confié. J'éprouvais sur un auditoire nombreux, les principes et les méthodes que j'avais conçus; leur application servait à les confirmer, ou lea modifiait quelquefois heureusement. De là ré«sultaient des procédés propres à assurer le succès des livres, mais qui n'auraient pu y être décrits sans y faire des. digressions, trop longues pour ne pas, rompre le fil qui doit unir étroitement les propositions les unes aux autres. La. tradition a pu propager quelques-uns de ces procédés^ mais ils m'ont paru assez importans pour ê|f« consignés à part dans un ou* vrage qu'on peut regarder comme le compté*ment de ceux que. )'ai publiés, et terminant en quelque sorte la tâche que je me suis imposée. J'ose espérer qu'on en jugera de même , et qu'on ne regardera pas comme dépourvues d'utilité^ les réflexions que m'ont suggérées, sur la manière d'enseigner les Mathématiques, et d'apprécier le savoir et la capacité de ceux qui les ont étudiées ; les observations que j'ai faites sur moi-même et sur le grand nombre de jeunes gens dont j'ai suiyi Içs progrès.

SUR l'enseignement. 169

La culture des sciences se présente sous deux points de vue qu'il faut bien distinguer : tantôt elle n'est qu'un moyen d'exercer l'esprit , de développer les facultés intellectuelles, et de rendre propre à la méditation et à la discussion; quelquefois aussi, 'mais par malheur beaucoup plus rarement qu'on ne le croit en général, elle fournit des préceptes et dies résultats immédiatement applicables aux usages de la vie , aux besoins de la société.

Quand on l'envisage sous le premier rapport, celui qui la constitue une partie essentielle de l'éducation , on reconnaîtra nécessité de ne rien traiter superficiellement dans les objets qu'on y fait entrer, de diminuer plutôt le nombre de ces objets, s'il le faut, que de sacrifier à la brièveté aucun des développemens nécessaires pour parvenir à toute l'évidence que compçrte le sujet , ou pour rendre sensible le mécanisme du raisonnement* »

L'enseignement des sciences est à cet égard assujetti aux mêmes règles que celui des arts : le choix des exemples est bien plus important que leur nombre; quelques vérités bien approfondies éclairent beaucoup plus sur la méthode , qu'un grand nombre de théories discutées d'une manière incomplète. Les unes jettent des racines profondes qui ne manquent jamais de s'étendre, et d'où sortent des tiges dont les

rameaux nombreux sont cliargés de fruits; les^ autres, qui ont à peine effleuré le sol , disparaissent bientôt après avoir offert un stérile aliment Il la vanité.

Ces remarques, déjà faites ailleurs, et dont la répétition serait ici superflue , s'il n'était pas nécessaire de remettre souvent sous les yeux des bonounes les vérités les plus évidentes., quand elles contrarient leurs habitudes et leurs préjugés; ces remarques, dis -je, prouvent assez qu'on ne saurait s'écarter , dans les écoles publiques, de cette sévérité qui donne aux preuves tout le dévelbppement et toute la ri* goeur d<mt elles sont susceptibles, et qui n'emprunte des apparences et des sensations que ce qu'il n'est pas possible de tirer du jugement seul.

Aurais*je besoin d'avertir que je ne parle pas des premières instructions données à l'en&nce, à J'égard de laquelle il convient d'employer le plus souvent le témoignage des sens 7 J'indiquerai plus loin comment je crois qu'il faudrait initier un jeune enfant aux Mathématiques ( dans les Réflexions sur les élémens de Geo métrie)*y mais après qu'il aurait été imbu des vérités fondamentales de la science, par un procédé plutôt expérimental que théorique, on ne saurait se dispenser de lui en faire recommencer l'élude par des principes purement

SUR L ENa^GNEMENT. I71

çatioqneb y sans lesquels il n'j a jamak dHostructîon solide. £n général , quelque opinion qu'on adopte sur les relations que nos sensations ont avec nos idées , et sur ce que nous pouvons y mettre de notre propre fonds y il me semble qu'on ne peut s'empêcher de convenir que le maître doit chercher à ramener son élève en lui*même , dès qu'il a acquis un assez grand nombre de notions extérieures à comparer entre elle$, et qu'il peut Vy retenir d'autant plas que cette collection de faits est plus grande ou qu'il est plus avancé en âge.

Je déclare donc que )e laisse de côté la dis* cusslon de tout ce qui regarde les connais- . sances . préparatoires qui rendent un en&nt susceptible d'application ; je cmifesse mon ignorance sur la manière dont les idées de nombre et de grandeur s'acquièrent, et je me borne à examiner ici comment, avec ces matériaux déjà élaborés par une preinière instruction , empirique si l'on veut, on peut faire entrer dans des têtes de quinze à seize ans, la théorie élémentaire des sciences mathématiques et les formes des méthodes qui Jeur sont projfbes.

On trouvera peut-être que je fais commencer cette étude un peu tard, et je conviens que j'ai rencontré, des ^nfans beaucoup plus précoces ; mais ce sont encore des exceptions trop peu nombreuses pour modifier la règle générale.

J'aime à croire qu'elles deviendroat moins rares; si l'éducation première se perfectionne : jusque là je m'en tiens à ce que j'ai remarqué le plus souvent.

Je crois à propos de m^arrêter encore ici sur l'idée que je me suis formée de l'enseignement public y et de rappeler que c'est l'intérêt de la société et non celui des individus , qui doit en régler la marche; car le premier demandant que la masse des lumières s'augmente , et surtout que la distribution du travail s'opère en raison des facultés , sinon rigoureusement ( cela est impossible) du moins d'une manière approximative, il iaut, comme je l'ai déjà dit, que l'instruction soit assez approfondie pour, manifester le talent, pour l'éclairer sur sa vocation , pour lui montrer la route qu'il doit tenir afin de marcher vers la perfection , et assez sévère en même temps pour écarter la médiocrité d'occupations toujours oiseuses et stériles entre ses mains , et la renvoyer à des travaux par lesquels elle peut se rendre utile. Ce triage, et pour ainsi dire ce départ des esp^ts , est un des meilleurs fruits que la société puisse retirer des avances qu'elle fait pour Tins* truction.

Il n'y avait donc aucune raison pour craindre de rei>dre un peu abstrait l'enseignement des Mathématiques , dans les Écoles centrales et

SUR l'euseignement. 1^3

dans les livres consacrés à l'usage de ces écoles. Cependant comme on peut abuser de tout , il faut tracer certaines limites, hors desquelles se trouve, d'un côté comme de Tautre, l'exagération ^ qui n'enfante que des chimères. On tomberait nécessairement dans ce défaut , si l'on croyait que suivre une méthode sévère, c'est s'astreindre sans cesse à des formes minutieuses 'f reste du jargon des anciennes écoles , que c'est s'appesantir sans mesure sur des détails purement métaphysiques, que c'est alambiquer les notions les plus claires, et obscurcir, par des preuves superflues, ce qui est évident par sai-même.

S'il y a du danger à passer trop légèrement sur la vraie métaphysique des sciences , il y a aussi de l'inconvénient à s'étendre beaucoup sur les détails de cette métaphysique ; les jeunes gens épuisent leurs forces sur de vaines subtilités, et perdent à les discuter, un temps qu'ils emploieraient bien plus utilement à augmenter la masse de leurs connaissances. Les digressions sont d'ailleurs bien moins propres à faire sentir la nature des vérités que la succession méthodique de ces vérités. Les conséquens, lorsqu'ils sont bien déduits et bien ordonnés^ réfléchissent sur les antécédens une lumière beaucoup plus vive que celle que ces antécédent pourraient acquérir par eux-mêmes. En passant à

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de nouvelles choses, dans un ordre convenabVe^ on sait mieux, celles qu'on a déjà apprises -y, c'est dans ce sens qu'un géomètre célèbre du siècle passé, disait à quelqu'un qui se plaignait des nuages que certaines démonstrations avaient laissés dans son esprit : allez en avant , et la foi vous viendra. Ce conseil y dont il ne faut pourtant user qu'avec mesure , a été sûrement] mis en pratique par beaucoup de jeunes gdns ; et pour ma part j'ai eu souvent occasion d'en reconnaître l'utilité.

C'est donc à mettre de l'ordre dans les pro« positions , à rendre évident l'enchaînement qui les lie les unes aux autres, et à saisir, autant qu'il est possible , les occasions qui s'ofiPrent de jeter en avant quelques-unes de ces vues fécondes qui ont pu diriger les inventeurs , que consiste principalement l'efficacité de l'enseignement: je dis autant qu'il est possible, car il serait ridicule,' et quelquefois même dangereux, de vouloir rendre raison de tous les artifices que les géomètres ont employés dans leurs recherches. Des, yeux dirigés par une longue habitude de ce genre de spéculations , aperçoivent dans une figure, dans un calcul, des circonstances, prévoient dans une opération a efiectuer, des effets y qu'on ne peut jamais rendre sensibles à un commençant^

Mais ce qu'on peut toujours faire avec suc-

SUR l'ensieignement. 175

ces , c'est d^analyser les diverses formes dé raisonnement qu'on emploie , c'est de montret' comment des preuves qui paraissent plausibles, dont la conclusion 9 vraie en elle-même, est aperçue presque immédiatement par l'esprit, ne mènent pas néanmoins^ d'une manière nécessaire à cette conclusion, et«sont par conséquent Êiutivfs. lac plupart des livres élémentaires four*millent de fautes de ce genre, et me paraissent par là très peu convenables à l'éducation. En effet, quoi de plus important que de prémunir la jeunesse contre les erreurs du raisonnement, contre la séduction du paralogisme ; et c^elle circonstance plus propre à mettre en défiance sur les conclusions précipitées ^ les énuméralions incomplètes, sources de toutes nos erreurs , que celle où des vérités presque palpables se présentent sous des points de vue spécieux au premier coup d'œil ? D'ailleurs , pour mettre le défaut d'exactitude en évidence, et pour y suppléer, il faut employer des raisonnemens très fins, des propositions accessoires dont l'ensemble exerce beaucoup l'esprit et le jugement , et qui préparent l'élève à saisir des choses très difficiles.

Jusqu'où doit-on pousser les élémens ? Voilà la question qui se présente immédiatement après celles que je viens d'examiner. J'avoue qu'il serait difficile de poser des limites fixes

l 'jS ESSAIS

à ces ouvrages. Le but pour lequel ou étudie varie de tant de manières , qu'il n'est guère possible de circonscrire exactement les objets qu'il faut connaître. Cependant il y a certaines règles générales qui se présentent d^ellesmémes y et auxquelles pourtant la plupart des auteurs paraissent avoir^fait peu d'attention. Premièrement , éviter les doubles emplois ; cela devient d'autant plus nécessaire que les progrès récens des sciences physiques et mathématiques ont prodigieusement augmenté la masse des objets d'instruction. C'est , à mon avis y une faute dans un auteur qui doit traiter l'Algèbre, de surcharger l'Arithmétique d'opérations qui Die s'y présentent pas naturellement, et de se traîner péniblement en Trigonométrie, sur des démonstrations synthétiques.

Sans doute lorsqu'on n'embrasse que l'Arithmétique et la Géométrie, il faut Ëaiire entrer dans ces deux branches le plus de choses usuelles qu'il est possible j mais si l'on doit aller au-delà, ne convient-il pas mieux d'employer le temps des élèves à leur faire connaître des résultats nouveaux , plutôt que des procédés diiférens pour parvenir au même résultat? £t qu'on ne dise pas que la comparaison de ces procédés est nécessaire pour saisir l'esprit des méthodes j car je me suis convaincu par mon

SUH L ENSEIGNEMENT. j 77

expérience, que l'application même des diverses méthodes à des objets qui leur sont pro- |)res, suffit pour cela, toutes les fois qu'elle est bien faite, et lorsqu'on passe d'une méthode à une autre, parleurs véritables points de contact.

Secon,^ement y choisir toujours les méthodes les plus générales. Cette règle est en quelque sorte tme conséquence de la première ; car par le moyen de ces méthodes on évite infailliblement les doubles emplois. Préférez dans Ven^ seignement les méthodes générales, attachez^ "VOUS à les présenter de la manière la plus simp^y et vous verrez en même temps qu^ elles sont presifue toujours les plus faciles , a dit Laplâce ( Jourrml des Séances de V École Normale ) ; et Ton peut ajouter qu'elles sont aussi les plus propres à faire connaître la vraie métaphysique de la science.

Il serait bien temps qu'on se défît de cette prédilection pour certaines méthodes particulières, parce qu'elles sont, à ce qu'on dit, plus élémentaires que les méthodes générales , ou , pour dire vrai, parce qu'elles sont plus anciennes , et par là plus conformes à des habir tudes acquises depuis long-temps , et qu'il en coûterait trop de réformer. Cependant il faut tôt ou tard cesser de se traîner sur les pas

des auteurs , même les plus célèbres y puisque Ess^ surVEns, 12

^,^g ESSAIS

la science a fait depuis l'époque où iU ont écrit, des progrès qui changent entièrement la liaison des propositions et souvent le langage. Les géomètres des siècles précédens conserveront leurs droits sur les découvertes de leurs successeurs, et leurs méthodes ne perdront pas de leur prix, mais deviendront des olgets d'érudition , dont l'étude sera recommandée à ceux qui voudront approfondir la science et la perfectionner.

C'ert une erreur de croire que les métliodes générale* aient besoin d'être précédées par Teispositîon des méthodes particulières; elles se suflisent à elles-mêmes lorsqu'elles sont,présentées convenablement, et qu'elles ne rencontrent pas dans la tête de ceux qui les étudient ou qui les jugent, de vieilles idées à effacer ou des préjugés à détruire. Enfin la nécessité de faire un choix entre les méthodes n'est pas douteuse pour tous ceux qui connaissent l'étendue de la science ; et si l'on regrette les méthodes synthétiques parce qu'on croit y trouver plus d'évidence, on ne peut pas de bonne foi les préférer aux méthodes analytiques, qui sont plus fécondes, et d'après lesquelles sont rédigés les écrits des géomètres de notre tempsr, qu'il fiiut nécessairement étudier dès qu'on veut s'élever au-delà des élémens*

SUR L ENSEIGNEMENT. I rjQ

J'observerai à cette occasion . qu'il est bien important de coordonner les ouvrages élémentaires avec ceux qui contiennent les théories les plus élevées : on épargne par ce moyen beaucoup de peine aux jeunes gens, et on leur conserve pour se frayer de nouvelles routes , les forces qu'ils auraient épuisées à chercher l'état de la science* Il est incontestable aujourd'hui que la Mécanique analytique et la Mécanique céleste sont les véritables sources où l'on peut acquérir la connaissance complète et méthodique de toutes les propriétés de l'équilibre et du mouvement des corps , soit solides , soit fluides, objets qui forment la principale appli* cation de l'analyse transcendante : il faut donc que désormais les élémens soient composés de manière à conduire à ces ouvrages.

Dirigé par ces considérations dans le choix el l'ordonnance des matériaux d'un cours, le professeur n'a plus qu^à les mettre en œuvre ; et à cet égard sa tâche est bien différente de celle de l'écrivain. Celui-ci doit éviter surtout la prolixité ; car l|js bons esprits aiment beaucoup mieux lutter contre les difficultés d'un livre un peu concis, que de suivre pas à pas des détails superflus , qui arrêtent leur marche et leur font perdre de vue l'objet principal, noyé dans une foule d'accessoires. D'ailleurs', tandis que le livre fixe les diffé-

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rentes parties des propositions sous les yeux du lecteur, la parole fugitive oblige le professeur à des répétitions qui seraient insoutenables dans Fauteur. Cependant le premier doit prendre garde de se laisser entraîner à une abondance stérile de mots que le vulgaire prend pour de la facilité et de la fécondité, et doit resserrer par des résumés fréquens ce qu'il a développé avec* un peu d'étendue: il faut présenter sans cesse à l'imagination des auditeurs des points fixes, sans quoi elle s'égare bientôt.

Le professeur et ceux qui l'écoutent , l'auteur et ceux qui le lisent, doivent s'entr'aider mutuell^nent. 11 y a dans chaque science des choses qui ne peuvent s'enseigner , et que l'élève doit acquérir par lui-même : c'est l'habitude des procédés de la science, ou autrement le mécanisme des opérations qu'elle prescrit : en Arithmétique et en Algèbre , ce sont des calculs ; en Géométrie, des constructions.

Les jeunes gens ne peuvent^ saisir l'esprit des méthodes lorsque le mécanisme du calcul àb- Borbe seul toute leur attention; le professeur préviendra cette difficulté^ en donnant beau-* coup d'opérations à faire à ses élèves , en les accoutumant à y mettre de l'ordre, seul moyen de soulager l'attention et d'en reculer les bornes, parce qu'il permet d'interrompre le calcul et de le reprendre à volonté. Ils pourront alors en

SUR l'enseigiïement. i8i

entreprendre de très longs , les vérifier par parties , et par là compter sur l'exactitude des résultats. Beaucoup de gens ne témoignent tant d'aversion pour le calcul, que par l'incertitude où ils sont d'obtenir un résultat exact de ceux auxquels ils voudraient bien d'ailleurs se livrer, et parce que, n'ayant aucun ordre, ils ne peuvent suspendre le travail quand leur attention est épuisée. Obligés d'envisager une opération dans toute son étendue , l'espace qui sépare le commencement de la fin , et qui les effraie , ne les eût point arrêtés s'ils eussent pu le partager. Un auteur ne peut , à cet égard comme à beaucoup d'autres , que- donner des conseils , offrir quelques exemples que le lecteur doit regarder comme des types, et sur le modèle desquels il doit effectuer beaucoup d'opérations particulières, après avoir suivi, dans tous leurs détails et la plume à la main ^ celles du livre.

Voilà ce qu'il convient de faire pour conduire des auditeurs ou des lecteurs à l'intelligence parfaite des différentes propositions d'un cours, soit oral, soit écrit; mais il reste encore a leur mémoire une tâche à remplir, dont il faut déterminer la nature et l'étendue.

Lorsqu'on n'envisage que l'exercice de l'esprit, il est peu utile de charger sa mémoire de tous les objets qui ont servi à cet exercice. Que

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l'esprit soit pénétrant , que le jugement soit prompt et sûr, qu'importent les moyens dont on a fait usage pour les rendre tels, si ces moyens ne doivent plus se représenter dans le reste de la vie? Le magistrat , par exemple, formé aux discussions et à l'examen des preuves, par l'étude des sciences exactes , peut oublier sans inconvénient et pour toujours les propositîons techniques de ces sciences , confme l'homme qui s'est exercé à l'escrime dans la vue de développer ses memJ3res, de leur donner de l'agilité , de la souplesse, passe bientôt à des travaux plus utiles, et perd entièrement de vue toutes les finesses de cet art.

Ce n'est donc qu'à ceux qui veulent prati- ' quer une science qu'est spécialement imposée l'obligation d'en confier les détails à leur mémoire; mais jusqu^où doit aller cette obligation? que faut-il retenir principalement ? C'est ce que je vais discuter. Je commence par établir deux fonctions dans la' mémoire : celle de rappeler les choses en masse et celle de les reproduire dans tous leurs détails : l'une sera la mémoire des choses et l'autre celle des mots. On doit sans doute les exercer avec soin toutes deux , mais la seconde semble plutôt affectée à l'étude des langues et des nomenclatures, et l'alitre est la seule qu'on devrait exiger de ceux qui cultivent les sciences exactes. Elle est né-

SUR l'eNSëIGN EMEN'l . l83

cessa ire pour y faire (quelques progrès , quand même on ne se proposerait pas de les appliquer, parce que, dans une suite de propositions bien enchaînées, il faut toujours se rappeler, au moins dans leur objet, les antécédens pour sentir la vérité des conséquens. Dire que le raisonnement doit les faire retrouver lorsqu'on en a perdu le souvenir, c'est comme si l'on disait que la science a pu être inventée en entier par le premier qui s'en est occupé.

La mémoire est encore tréâ nécessaire pour conduire aux découvertes • parce qu'elle fournit , au moment où l'on en a besoin , des secours qu'on ne penserait pas à chercher dans les livres , qu'on n'y trouverait même pas à point nommé ; mais cette mémoire ne se cultive que par l'usage fréquent que l'on fait des choses qu'on lui confie, et non pas par tin travail forcé , par des répétitions continuelles : elle vient sans qu'on y pense. Eulèr, celui de tous les géomètres dont la tête était le plus remplie de formules et de résultats , ne s'était sûrement pas assujetti k en apprendre par cœur tous les jours un certain nombre.

Lorsqu'on applique les sciences , c'est par

des formules ou» par des procédés mécaniques ,

^dont il faut se rendre l'usage familier, afin

d'opérer avec célérité , sûreté et précî^on :

voilà tout ce 'qu'on peut demander pour les

objets vraiaient usuels, dont le nombre est fort petit j et c'est à quoi l'on arrive toujours aisément dès qu'on en sent le besoin. 0^ ne saurait nier quW homme accoutumé à captiver son attention , ne parvienne à exécuter avec promptitude et avec justesse, des opérations intellectuelles, qu'il sera obligé de répéter fréquemment. On peut sur cela s'en rapporter à la nécessité et à la pratique.

On est quelquefois tout étonné de voir un élève fort instruit en Mathématiques , éprouver quelque difficulté à effectuer des calculs numériques y et l'on en conclut qu'il n'est pas propre à exercer des professions où il y a beaucoup de ces calculs à faire. C'est là un lieu commun de plaintes pour ceux qui s'attachent aux petites choses ; mais on peut leur répondre que des hommes sans instruction parviennent à faire mécaniquement des calculs numériques très longs, par cela seul qu'ils en font beaucoup , et qu'apparemment les connaissances acquises par l'élève dont il s'agît ne l'empêcheront pas d'obtenir le même succès, lorsqu'il sera obligé de se livrer journellement au même travail. Il pourra , comme un autre, acquérir de lui-même, perdre ensuite et se donner de nouveau , selon les circonstances , l'habitude des calculs ; car c'est ainsi que cela se passe.

A Tcgard des objets plus compliqués, il n'y a

SUR l'emseignement. i85

point d'inconvénient à recourir aux livres; et je ne vois dans aucun cas la nécessité de charger sa mémoire de démonstrations et de formules.

Ce qu'il fiiut bien posséder, c'est la marche des méthodes , la valeur des termes techniques , l'intelligence des idiotismes de la langue, ou la faculté de saisir le sens des phrases et des formes d'expressions particulières aux principaux écrivains qui ont traité de la science, afin de pouvoir, à la sitnpie lecture, comprendre leurs ouvrages, au moins ceux qu'on a étudiés ou dont on pourra avoir besoin dans la suite; enfin connaître la nature et l'enchaînement des objets qu'ils contiennent , afin de pouvoir les consulter avec fruit lorsqu'il sera nécessaire.

La ménioire la plus exercée n'atteint pas toujours ce but; la petitesse du cercle dans lequel sont nécessairement renfermées des choses apprises par cœur , ne permet pas d'y mettre assez de variété, pour qu'elles puissent offrir des exemples des principales difficultés que l'on rencontre dans la lecture des livres.

Puisque ce n'est pas un effort de mémoire qui constitue le vrai savoir en Mathématiques, et qu'il restreint plutôt les facultés qu'il ne les augmente, c'est doûc à tort qu'on emploie un examen oral et par cœur^ pour s'assureif de la capacité, des jeunes gens qui se livrent à

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l'étude de ces sciences. Aussi il est arrivé souvent que les hommes les plus instruits sont convenus de bonne foi qu'ils ne se croyaient pas assurés d'être reçus à un examen de ce {{enre, quoiqu'il portât sur des objets fort au- ^ dessous de leurs connaissances. On a entendu dans une des leçons qu'il a données à l'École Polytechnique, Lagrange lui-même le dire avec cette modestie qui le caractérisait si émi-* nemment. En effet , contens de posséder l'esprit des méthodes, et de savoir revenir sur les détails lorsqu'ils leur deviennent nécessaires, les géomètres n'entreprennent pas de les confier à leur mémoire ; ils se ^ gardent bien de, se condamner à un travail fastidieux qui émousserait en eux l'esprit d'invention et de recherche. Les professeurs eux-mêmes qui parcourent successivement ces détails, ne cherchent à se rappeler que ceux dont ils ont besoin dans un intervalle de temps très limité. Comment donc peut-on demander avec justice aux disciples ce qu'on n'exigerait pas du maître? Ignqret-on le temps qu'on leur fait perdre à repasser, osons le dire, à rabâcher sans cesse la matière d'un examen , pour se tenir en haleine et se préparer à répondre en même temps sur tout ce qu'ils ont appris? Croit-on que le dégoût qui* suit nécessairement un travail aussi monotone 5 n'arrête pas le plus souvent les progrès

SUR l'ewseigwement. 187

des jeunes gens au terme où finit leur examen , ne les porte pas quelquefois à se débarrasser ^ promptement la tête de connaissances qu'ils n'ont péniblement acquises que pour en faire parade un seul jour, parce qu'ils n'ont pas senti ce charme que la variété jette sur des études qui présentent des objets nouveaux qu'on n¥puise pas? Aussi beaucoup d'entre eux, .guidés quelquefois en ce point par leurs maîtres , étu* dient le goiit , les habitudes des examinateurs , cherchent exclusivement ce qui peut abréger et adoucir l'épreuve qu'ils doivent subir^ et rejettent comme inutile pour eux tout ce qui ne s'y. rapporte .pas. Je ne sais si des raisons particulières n'empêcheront pas bien des gens, qui sont intérieurement de mon avis, de convenir qu'il est fondé ; mais je puis affirmer que, dans près de vingt années^ employées à professer dans différentes écoles de service public , où Ton n'entrait qu'après des examens, j'ai rencontré beaucoup d'exemples de ce que j'avance aujourd'hui.

Qu'on ne s'y trompe point ; c'est contre les examens en général que je m'élève ici , et noopp contre les hommes distingués à qui le Gouvernement a successivement confié le soin de juger les aspirans aux services publics. Je suis persuadé qu'ils ont tiré de ce moyen le meiHeur parti possible j mais ce n'est pas assez d'avoir

entendu répondre des candidats à un exameu pour appreder cette épreuve. Il faut avoir ob* serve l'influence qu'elle a sur leur esprit pendant qu'on les y prépare et lorsqu'ils l'ont subie. Rien ne parait plus satis&isant au premier coup d'oeil , que de voir ces jeunes gens développer avec facilité , netteté , et oiéme avec élégance^ toutes les matières exigées^ lever avec finesse toutes les difficultés qu'on leur oppose; mais quelle perte de temps et de facultés entraîne la méthode dont on se sert pour obtenir ces avantages , et combien le résultat est fugace !

Dans les anciennes écoles des aspirans et des gardes de la marine , par exemple ^ un professeur ayant huit à dix: élèves au plus , et quatre heures de salles (ou classes) par jour, trouvait , le temps de faire répéter une à une , à chacun d'eux , toutes les propositions contenues dans l'Arithmétique et la Géométrie du Cours de Bézout, et de repasser deux oîrtrois fois de la même manière cet ensemble, en sorte qu'un auditeur tant soit peu attentif était absolument ^flUdispensé d'ouvrir son livre. Les professeur^ tenus d'assister aux examens , avaient bientôt remarqué le cercle d'objections dans lequel se renfermait l'examinateur; lès réponses étaient préparées' par des cahiers rédigés en conséquence, et se transmettaient par tradition avec

^ SUR l'enseignement. 189

ttne ^iformité vraiment surprenante. Après avoir par ce moyen brillé le jour de leur examen y la plupart des aspirans , devenus gardes delà marine 9 perdaient au bout de quelques campagnes de mer là théorie qu'on leur avait inculquée , pour ainsi dire , sans leur participation, et n'étaient point capables de l'apprendre par eux«mémes dans les livres. C'est ainsi que j'ai vu un garde de la marine , reçu le premier des trois ports ^ ne pas se rappeler la théorie arithmétique des fractions , trois ans après être sorti de l'école.

On préparait à peu près de même , à Metz , les aspirans de l'artillerie ; mais comme on exigeait plus de ceux-ci , ils étaient forcés de se livrer un peu à Tétude, le. plus souvent sur des cahiers rédigés dans les mêmes vues que les cahiers des écoles de marine ; d'ailleurs les répétitions étaient si fréquentés qu'elles absorbaient un» temps considérable, et les explications si multipliées , qu'elles ne laissaient presque rien à faire à la sagacité de l'élève. Cette marche pourtant était si nécessaire que rarement on voyait réussir aux examens, ceux qui n'avaient pas été préparés dans les pensions où elle était suivie.

Les détails d'une telle instruction ne subsistaient pas non plus bien long-temps dans la mémoire de ceux qui l'avaient reçue j j'en

pourrais citer assez d'exemples , parce qui dans Vécole de régiment à laquelle j'ai été attaché , on faisait revoir aux jeunes officûers une partie des objets qui avaient été la matière de leur examen , et sur lesquels ils étaient encore interrogés chaque année en présence de Vlns^ pecteur. A la vérité, les sujets un peu appli« qués se faisaient facilement exempter des salles, mais ils avaient la bonne foi de convenir qu'il leur était, sinon impossible, du moins très difficile d'entendre d'autres ouvrages de Mathématiques que le cours qu'on leur avait mis entre les mains ; et ils paraissaient presque tous fort . dégoûtés d'une éjtude abstraite , qui ne leur rappelait que les redites fatigantes dont on les avait accablés.

On sent que ceci convient principalement aux théories qui n'ont que peu ou point d'application au service, et qu'une pratique éclairée, dont elles ne dispenseraient pas, remplace bien plus utilement.

Sans pouvoir donc porter atteinte aux talens du grand nombre d'officiers qui s'est distingué dans les corps dont je viens de parler, les remarques précédentes montrent au moins , si je ne me trompe , que l'instruction des écoles n'était pas propre à leur faire aimer la science, et qu'il leur a fallu une aptitude bien prononcée pour rassembler les connaissances qu'ils

SUR l'enseignement. jgi

ont acquises depuis. Les réflexions suivantes achèveront , je pense , de prouver le peu d'accord qui existait entre l'enseignement des écoles de service public et le but pour lequel il était donné.

Les opérations de ces services se divisent en deux classes bien distinctes : l'une a pour objet des constructions appropriées à certaines vues ; l'autre, ]a mise en activité de machines (au nombre desquelles je comprends l'homme , quand on le réduit à n'exécuter que des mou* vemens réguliers et prévus ) pour en tirer des efiGets demandés ou les meilleurs possibles. Dans ces deux classes, tout ce qui tient aux concep-iions est réservé à des hommes sortis depuis long-temps des écoles , et ayant mérité par leurs services passés la confiance de leurs che& et du Gouvernement. Les déta^s d'exécution qui , dans l'une et l'autre classe d'opérations , ne reposent que sur les premiers élémens du calcul et de fa Géométrie, sont exclusivement le partage des jeunes officiers. Rendre fidèlement sur des dessins exacts les idées consignées dans les croquis qu'on leur remet, ou tracer les mesures qu'ils ont prises sur le terraiii , établir des devis, arrêter des loisés : voilà leur principale occupation 'de cabinet ; et quand ils ont dçs machines à mouvoir, les procédés qu'il faut employer pour cela sont décrits avec le plus grand

détail dans des instruclions arrêtées par leurs che& , et dont ils ne sauraient s'écarter.

Les conceptions de travaux ou de machines ne consistent pour la plupart que dans une combinaison plus ou moins variée, plus ou moins savante , des moyens de l'art , déjà éprouvés séparément par une longue pratique. Ce n'est tout au plus que lorsqu'il faut avoir recours à des constructions inusitées , pour lesquelles il n'y a point encore de procédé arrêté, de données précises., soit de théorie^ soit d'expérience, qu'il peut être nécessaire de recourir aux considérations transcendantes de la Mécanique des solides et des fluides. Il est visible qu'on doit peu compter dans ce cas sur l'instruction montrée à un examen subi il y a un grand nombre d'années , quelque brillant qu'il ait été. Le secours des livres sera indispensable pour rappeler à l'officier les notions un peu élevées et les formules compliquées, sur lesquelles s'appuient les déterminations dont il a besoin. Il y a plus , si , dans l'intervalle qui s'est écoulé depuis que l'officier dont nous parlons est sorti des écoles, les sciences ont acquis de nouvelles richesses dont il puisse profiter, où les trouvera-t-il , si ce n'est dans les Uvre^ où elles sont consignées, et dont elles ne sauraient être tirées que par ceux qui ont l'habitude de saisir les méthodes et le langage

SUR l'enseioïiement. igS

scientifique ? En raisonnant comme ceux qui préconisent les efforts de mémoire, ne semblerait-il pas que, pour constater leur durée, on devrait astreindre les officiers des services publics à suivre perpétuellement des cours, à se présenter à des examens dont il n'y aurait pas de raison de les dispenser dans la succession des grades les plus élevés , pour lesquels il est naturel de demander de plus en plus des lumières étendues, puisqu'ils chargent l'officier qui lés obtient de déterminations plus importantes. C'est pourtant ce qu'on ne fait point et ce qu'on ne doit point faire, parce qu'il y a un âge où l'homme ne peut plus s'instruire que par lui-même ; et c'est à rendi^ cet âge le plus précoce qu'il est possible , que doit tendre l'éducation. Dusse -je fatiguer mes lecteurs, je répéterai encore que les leçons les plus profitables sont celles que donnent les livres, parce qu'on les prend quand on y est préparé ou qu'on en a besoin , qu'on les quitte quand on est mal disposé , et qu'on les reprend lorsque le repos ou une occasion inattendue rendent à l'esprit son énergie ou sa curiosité, parce qu'enfin-^, en ajoutant à nos connaissances des notions nouvelles ^ elles rappellent , dès qu'on le veut , celles qui se sont effacées. En vain dirait-on que l'on n'a pas toujours des livres avec

soi; cette objection ne peut valoir que pour Ess. sur VEns, i3

ig4 ESSAIS

des opérations journalières qu'il est tout simpfe de confier à sa mémoire , et que leur seule répétition y place sans effort , ou pour des aperçus qu'un coup d'oeil exercé et un examen rapide peuvent mettre à porléc de saisir; maifr on n'exécutera jamais aueun travail demandant un long enchaînement de méthodes ou une grande rigueur de calcul , si l'on n'a pas sous la main les écrits de eeux qui ont préparé les théories on qui en ont recueilli les résultats.

11 est incontestable^ d'après ce qui précède, que l'instruction étendue donnée maintenant aui élèves des services publics, a bien moin^y pour objet ^'usage immédiat et prochain qu'Ain en pourront faire ^ que de perfectionner leur entendement, et d'exciter en eux l'esprit de recherche. Elle sert aussi à faire mieux distinguer, dans le grand nombre des candidats qui se présentent , ceux qui montrent un véritable talent , et dont il est permis d'espérer de plos grands succès dans les occasions rares, mais importantes , où les connaissances transcen^ dantes trouvent leur application. Il ne faut pas s'attendre que tous les officiers d'un corps n^bm" brcux possèdent au même degré ^ chacune des sciences sur lesquelles a roulé leur éducation. La diversité des goûts doit nécessairement di* rîger leurs esprits vers celles qui s'y rapportent

SUR L'EirSElGrfEMÊNT. îqS

le plus. La plupart ont préféré une vie active et les travaux d« aervice aux spéculations du cabinet : cela même est nécessaire )po\]^ que l'exécution soit prompte et assurée ; et il suffira toujoura à la gloiiîe des corps i comme à Futilité de rÉtat, qu'il y ait dans chacun d'eux quelques sujets capables de faire tourner les sciences au profit du service.

Constater que les élèves ont vu avec attention les diverses parties du cours qui leur a été fait, et qu'ils ont eflèctué toutes les opérations k mesure qu'elles se sont présentées , tel est le but que doit avt)ir , d'après les principes posés ci-<dessus j Fépreuve destinée à régler l'admission de ces élèves à l'école spéciale du corps auquel ils se destinent, abandonnant du reste ^ leur facilité, à leur, goût et aux circonstances dans lesquelles ils se trouveront , le- perfeciionneqaent' et la conservation de leurs connaissances. Ne serait -il donc pas possible de modifier les examens, de manière à épargner aux Jeunes gens les fastidieuses répétitions auxquelles ils sont forcés par la forme actuelle? et ne pourrait*on s'assurer qu'ils ont parcouru exactement et pas à pas la carrière de l'instruction , sans exiger qu'ils en franchissent d'un ^aut toute l'étendue ? car c'est à cela qu'on les astreint maintenant.

La première idée qui se présente est d'o-

kliger les jeunes gens de rendre compte , à àe^ époques très rapprochées , des leçons qu'îU ont reçues ^ et d'en faire de fréquentes applications.

Ce moyea^ qui ne laisserait rien à désirer, sHl n'y avait que peu de candidats , devient presque impraticable quand leur nombre est très grand ; il ne peut même alors avoir lieu dans l'enseignement. Le temps qu'il faut nécessairement employer pour répoudre à une question relative à l'Analyse ou à la Géométrie^ à cause des calculs et des constructions qu'elle exige, est trop considérable pour que le professeur chargé de diriger l'instruction et de la surveiller y puisse interroger individuel-élément les élèves , dans un détail propre à faire juger avec certitude , tant de leurs connais-^ sances théoriques que de leur facilité à effectuer les calculs et les opérations qui en dérivent. L'examinateur, obligé, dans un intervalle de temps très courte de multiplier ses questions assez pour faire parcourir aux sujets qu'il interroge la plus grande partie des objets qu'on leur a enseignés , ne doit pas être moins embarrassé; car si, pour abréger, il écarte les applications , il n'acquerra aucune donnée sur la facilité des élèves à cet égard. D'un autre côté^ la nécessité de varier les questions, que les élèves se communiqueraient les uns aux autres ^

SUR l'enseignement. 197

quand même ils n'assisteraient pas aux examens, pourvu qu'ils y passassent successivement, forçant à distribuer ces questions comme au hasard , la variété des objets , aussi bien que celle des réponses, ne laisse plus la possibilité de comparer avec précision les candidats entre eux. Si l'on ajoute à ces difficultés celles qui résultent des effets de la timidité dans les exa* miens oraux subis de mémoire j effets trop connus et constatés par des exemples trop fa* meux , pour qu'il soit nécessaire d'en parler ici , on sera convaincu que ce mode d'épreuve est souvent très incertain.

On a proposé d'y substituer Fexamen par écrit, qui donne au candidat plus de temp»

pour rassembler ses idées , qui diminue les désavantages de la timidité , qui ,> simultané pour tous les élèves , j^ermet de faire à chacun les mêmes questions, et rend leurs réponses plus comparables. Cet examen peut être aussi moins pénible pour l'examinateur , parce que, au lieu de l'attention continuelle qu'il faut donner aux réponses orales 9 des efforts de mémoire nécessaires pour se rappeler l'impression qu'elles ont faite, il n'a plus qu'un travail stisceptibïe d'être divisé et suspendu , quand il éprouve trop de fatigue, et que toutes les pièces qui servent de base à ses jugemens sont en même temps sous ses yeux. On sait d'ailleurs que Tatr

rgS ESSAIS

tention esl bien mieux captivée par les yeux que par les oreilles. Je crois aussi cet examen heaucoup meilleur que Tautre, pourvu que rou ne fasse que des questions concernant les applications de ce que le candidat a dû apprendre, et qui n'exigent pas qu'on le prive des secoursnécessaires pour aider sa mémoire ; car je soutiens qu'on eu a souvent besoin pour se rap* peler y soit des artifices analytiques, soit des> construelions qui ne se présentent pas toujours immédiatement à^ l'esprit , surtout lorsqu'il y va de l'état que l'on se propose d'embrasser. Les retrouver si on les avait entièrement perdus de vue,, ce serait inventer; et l'on ne fiiit pas dans un moment de crise, ce qui a coûté souvent beaucoup de peine à de fortes têtes > dans le silence dti cabinet. C'est donc principalement sur les applications des théories que* iloîvent rouler les questions d'nn examen par écrit, et sur les calculs, tout-à-fait déplacés dans un examen oral. Il est surtout bien essentiel de n'en proposer qu'une à la fois , parce que les jeunes gens, qiii ne peuvent les attaquer toutes, font des choix différens^ et donnent des Copies que l'on ne peut comparer, inconvénient qui n*a pas lieu pour une question que tous les doncurrens sont obKgés de traiter^ ehacun à sa manière. Mais , par cet examen »eul, on ne serait pas éclairé sur la facilité que

-Sun l'ëmseigkemeist. igg

|>eut a^t)ir l'élève à s'énoncer, facilité qu'il est cependant nécessaire d'exercer et d'encourager^ parce qu'elle est utile dans presque tous les instans de la vie , et qu'elle est indispensable pour des hommes qcii auront un jour des pro* jets à proposer ou k discuter en présence de leurs camarades ou de leurs supérieurs ; et <:e n'est qu'un examen oral qui peut les £iire apprécier sous ce rapport. Voici donc comment je propose que cet examen soit fait, et c'est à ce point que j'attache le plus d'importance.

11 est évident que si quelquVn s'annonçait pour avoir étudié une branche des Mathématiques dans un livre connu , le moyen le plus tiimple de s'assurer s'il la possède réellement , serait de lui présenter l'auteur qu'il a suivi, ^'en choisir quelques passages, et de les lui faire expliquer comme s'il avait à donner une leçon sur ce texte. Un homme au courant de la science, et tout examinateur doit y être, saura bien s'assurer si le jugement dirige celui qu'il interroge de cette manière ; il pourra se permettre alors des questions incidentes , et <lemander des développemens que ne sauraient généralement donner des candidats aux prises avec leur mémoire; et, pour compléter l'épreuve, il pourra exiger que celui qui la subit présente le tableau des divisions de la matière

aoo EasAis

qu'il a embrassée, ea énonce les pnoi^ipaux théorèmes et les questions les plus importantes , enfin prouve qu'il connaît assez bien les res* sources que lui offre son sujet ^ ou la table de» matières de ses auteurs , pour savoir les eonsulter lorsqu'il en aura besoin. Son esprit^ beaucoup plus Kbre dans cette forme d'examen que dan»

celle qu'on suit, se montrera avec bien plus d'avantage.

Dans tous les cas, il est convenable de di* mînuer l'étendue des examens, soit oraux ^ soit par écrit, et d'en rapprocher les époques^ afin que les élèves ne puissent Sr'arriérer, et remettre à un temps éloigné , où il» ont perdu de vue le» développemens des leçons, l'étude qu'ils doivent faire des matières qui leur auront été en-* seîgnées. En vain objecterait-^ on contre la multiplicité des examens , qu'on rencontrerait quelque dffîculté â classer des sujets qui auraient mal satisfait aux premiers, et brilleraient aux derniers. Ces raisons ne doivent point arrêter ; car quoiqu'on puisse dire en faveur des sujets dont je parle, qu'ils ont, par un travail opiniâtre, réparé le temps qu'ils avaient perdu , il est bien évident que les fruits d'une étude précipitée sont toujours passagers, que ce que l'on sait le mieux , et ce qui reste le plus dans le souvenir, ce sont les notions mûries^ par le temps et la réflexion. '

SUR l'enseignement. 201

La forme qu'il faut donner à l'enseignement pour préparer aux esamens que je propose, est très simple , très convenable aux grandes écoles, et peut contribuer beaucoup aux pro-? grès de la science. Un professeur habile , dont le nom et les travaux inspirent la confiance^ donne aux leçons ce juste degré de développement qui soutient l'émulation des auditeurs^ et les excite à de grands efforts, sans les re~ buter. Dirigés par ses conseils , guidés par ses exemples , des jeunes gens doués d'un talent remarquable , et qui méritent d'être pour ainsi dire mis en réserve pour les fonctions du professorat , font répéter publiquement aux élèves , partagés dans un nombre suffisant de sections , toutes les leçons du cours général , en s'y astreignant avec la plus grande exactitude. La génération, des maîtres se perpétue, et les élèves se forment à un travail utile, parce qu'ils tirent dç leur propre fonds tout ce qu'il peut produire; car, encore un coup^ l'expérience a prouvé à tous les hommes instruits , que savoir diriger son esprit dans la méditation , et savoir étudier ce qui a été fait, était le vrai et le seul moyen de se rendre propre à quelque profession intellectuelle que ce soit.

C'est uniquement à procurer cette faculté que doit servir toute éducation , lorsqu'elle est ^ donnée à une époque convenable de la vie ^

mais malheureusement beaucoup de circonstances s'opposent à ce que la plupart des hom-mes reçoivent à temps l'éducation dont Us auront besoin : des professions auxquelles il faut se livrer de bonne heure, la Marine, par exemple, ne laissent pas assez de loisir à la jeunesse pour fréquenter îes écoles. Il faut à cette classe de citoyens, des livres et des leçons unîq^iement dirigés vers l'application , et bornés par consé* quent à l'exposition claire et précise des pré* ceptes; les meilleurs traités sont alors ceux qui renferment le plus d'exemples et le moins de raisonnemens* iCetle espèce de livras, qu'on doit i^onsidérer comme des manuels dont il &ut se rendre l'usage familier, est très multipliée eïi Angleterre ; et c'est là probablement ce qui lait que l'instruction est beaucoup plus répandue parmi ceux qui pratiquent les arts dans ce pays que dans le nôtre (i).

(i) Les concours établis entre les aspirans au professorat seraient susceptibles de remarques analogues à celles qui viennent de m'occnper ; mais le sujet m'entraînerait trop loin : je me bornerai à .relever l'inconvenance de faire argumenter les candidats l'un contre l'autre. Cette e'preuve est véritablement odieuse ; c'est aux juges de s'assurer par eux-mêmes de )a facilite qu'ont les concurrens pour soutenir une discussion, qui , entre ceux-ci, n'est au fond qu'une dispute envenimée par la crainte et la baine qu'elle engendre.

SUR L'ENSEiGNEMENT. àoî

§ M, De la méthode en Mathématiqueè.

On s'accorde à reconnaître deux méthodes pour traiter les sciences mathématiques : la syri'» thèse et Vanafyse.

En remontant à Fétymologîe grecque de ces noms, on trouve que Fun signifie composition, et l'autre résolution on décomposition.Kien ne semble plus clair au premier coup d'œil , que ces dénominations , et l'on Conçoit aisément que les méthodes qu'elles désignent doivent être inverses Fune de Fautre ; cependant il m'a paru qu'en général on ne s'entendait pas sur la diffe- \

rence des procédés de la synthèse à ceux de l'analyse, et qu'on ne se formait pas toujours des idées bien nettes des uns et des autres; j^ai donc cru devoir chercher dans les écrits, des anciens des exemples de synthèse et d'analyse, pour fixer mes idées sur' ce point important : de là sont nées les réflexions suivantes.

Les Élémens d'Euclide sont traités par la méthode synthétique. Cet auteur, après avoir posé des axiomes, et formé des demandes, éta-

La présence des juges et du public contient Fexpressien , mais Famertuine qui ne peut s'exhaler n'en déliaient que plus intense et plus pe'nible.

blît des propositions qu'il prouve successivement en s'appuyant sur ce qui précède , en marchant toujours du simple au composé, ce qui est le caractère essentiel de la synthèse.

Dès lorigine de la Géoméirie, on rencontre des traces de la méthode analytique; car il ne faut pas croire que l'Algèbre constitue exclusivement l'analyse; on peut aussi s'en servir pour faciliter des démonstrations synthétiques , puisque ce n'est au fond qu'une écriture abrégée et régulière, par le moyen de laquelle on représente toutes les relations que les grandeurs peuvent avoir entre elles ; et je ferai remarquer à ce sujet que Condillac , en voulant montrer dans sa Logique que l'Algèbre était une langue , n'a pas été plus loin que les notions claires et précises données par Clairaut, dès 17489 dans sesElémens d^ Algèbre.

On attribue à Platon le premier usage de la méthode analytique dans les recherches géométriques. Par cette méthode, on suppose que le problème proposé soit résolu; il résulte de là quune certaine condition est remplie, ou, ce qui revient au même , qu'il y a égalité entre plusieurs grandeurs, les unes données, et les autres à trouver. C'est en cherchant les conséquences de la condition qu'on a supposée remplie , ou de l'égalité qui en est la suite ^ qu'on parvient enfin à découvrir la quantité inconnue.

SUR l'enseignement, 2o5

ou à tracer le procédé qu'il faut suivre pour exécuter ce qui est demandé.

Je ne crois pouvoir mieux faire que de rapporter ici les définitions que Viète a données de la synthèse et de l'analyse, d'après Théon, géomètre d'Alexandrie, plus à portée que nous de juger de la méthode des anciens géomètres grecs.

ïlst veritatis inquirendœ via quœdam in Mathematicis , quant Plaio primas invenisse dicitar, à Theone nominata anafysis y et ah eodem definita, adsufriptio quœsiti tanquam concessi per consequentia advenun conces^um»

Ut contra syntJiesis , adsumptio concessi per consequentia ad quœsiti finem et comprehen-sionem (Vietae opéra , page i) (i).

(i) On tg>uve encore dand la préface du YII* livre àes Collections Mathématiques deVapfnSy la définition développée de l'analyse et de la synthèse. Voici la traduction de ce passage curieux , qui ne peut manquer d'intéresser les lecteurs.

« L'analyse est le chemin qui, parlant de la chose » demandée, que l'on accorde pour le moment, mène , » par une suite de conséquences, à quelque chose de «* connu antérieurement , ou mis au nombre des prin- » cipes reconnus pour vrais. Cette méthode nous fait M donc remonter d'une vérité ou d'une proposition, à » ses antécédens, et nous la nommons analyse ou nrn solution , comme qui dirait une solution en sens in-

Ija df^monsl ration des théorèmes, dans ta forme qu'où a[)peUe réduction à P absurde j est, à proprement parler, un procédé analytique; t^ar on y suppose que la proposition énoncée

« verse, Dans la synthèse, au contraire , nous partons » de la proposition qui se trouve la dernière de Fana- « lyse; ordonnant ensuite, diaprés leur naturelles » antécédens qui, plus haut, se pre'sentaient comme n des conse'quensy et les combinant entre eux, nous » arrivons au but cherché, d'où nous étions parti» i> dans le premier cas.

» On distingue deux genres d'analyse: dans l'un^ n que Ton peut nommer théorique, on se propose de >i reconnaître la vérité ou la fausseté d'une propon sition avancée ; l'autre se rapporte à la solution des n problèmes ou à la recherche des vérités inconnues. M bans le premier, en posant pour vrai ou pour déjà » existant le sujet de la proposition avancée, nous u marchons, par les conséquences de l'hypothèse, à n quelque chose de connu ; et si ce résultat est vrai, to la proposition avancée est vraie aussi. La démonsn tration directe se forme ensuite en reprenant, dans » lui ordre inverse, les diverses parties de l'analyse. » Si la conséquence à laquelle nous arrivons en der- )> nier lieu se trouve fausse, nous en concluons que la ^> proposition analysée l'est aussi. Lorsqu'il s'agit d'un n problème, nous le supposons d abord résolu, et » nous poussons les conséquences qui en dérivent vi> jusqu'à ce qu'elles nous mènent à quelque chose de Yk connu. Si le dernier résultat peut s'obtenir, s'il est .1» compris dans ce que les géomètres nomment don^

SUR I /enseigne WENf. ' 2O7

(est vraie , et Ton en cherche certaines conséquences qui, se trouvant absurdes, font voir que l'hypothèse que Ton examine l'est aussi.

Je crois que , par ce qui précède, les caractères de la synthèse et de l'analyse mathémattiques sont assez évidens. Dans )a première méthode, la proposition énoncée est toujours la dernière conséquence de la suite des raîsonnemens qui forment la démonstration : c'est une composition, car on ajoute^ pour ainsi dire, principe sur principe, jusqu'à ce qq'on parvienne à cette conséquence.

Dans l'analyse , au contraire , en supposant la question résolue, on embrasse le sujet proposé dans sa totalité, et c'est en le faisant passer par

»» nées, la question proposée peut se résoudre j la de- » monstration (ou plutôt la coifstructlon ) se forme n encore en prenant dans un ordre inverse les partief^ » de l'analyse. L'impossibilité du dernier résullat » prouvera évidemment dans ce cas, comme dans le » cas précédent, celle de la chose demandée.

« Il y a en outre ^ dans la solution de chaque pro-» » blême, ce qu'on appelle la détermination , c'est-à- »» dire la partie du raisonnement par laquelle on » montre quand, c^ofkiment et de combien de manières n le problème peut être résolu, n

Les scolies des propositions i — 5 du i^ livre des Èlémens éCEuclide (édition de D. Gregory), sont présentés comme des exemples d'analyse et de synthèse.^

exposer daDS \e livre des Principes j ses admirables découvertes sur les mouvemens des corps célestes, et cela parce qu'il croyait qu'une proposition mathématique n'était digne de voir le jour que lorsqu'elle était revêtue d'une démonstration synthétique (i).

(i) Dans le Commercium epistolicum de varia re mathematica, publié par ordre de la Société royale de Londres, au sujet de l'accusation de plagiat intentée à Leibnitz par Keill , on lit (page Sg de la 2* édition ) , que Newton avait trouvé par l'analyse ( Ope noçœ illius analjrseos) la plus grande partie des propositions contenues dans son livre des Principes; mais que les anciens n'ayant rien admis en Géométrie qui ne fût prouvé synthétique ment, il avait employé ce genre de démonstration afin que le système des mouvemens célestes fut appuyé sur la certitude géométrique. La même chose est affirmée dans V Annotation placée à la fin de la a* édition du livre cité , et qui est de Newton , ou du moins a passé sous ses yeux.

De plus il a dit ailleurs : w Postquam area curvfB » aîicujus ita (analjrticè) reperta est et constructa, in- )i daganda est demonstratio constructionis , ut omisso, » quateniis Jieri potest , calculo algebraico , theorema )> fiât concinnum et elegans xc lumen fublicum susti— » NERBVALEAT.)) (Ncwtonî Opusculo, tomel*', p. 170.)

Cette prédilection pour la synthèse a été très pré* judiciable à la science» en effaçant les traces de la route suivie par Newton dans ses découvertes. On doit bien regretter 'qu'il n'ait pas pensé sur ce point comme Descartes, qui était mécontent des livres dans lesquels

SUR l'enseignement. 2 1 i

Des auteurs de genres très divers, croyant que la certitude dont la Géométrie se glorifiait exclusivement, était due à la méthode des géomètres, s'imaginèrent qu'en appliquant cette méthode aux objets de leurs recherches, ils parviendraient à les mettre pour toujours à l'abri des contestations ; mais on sent bien que cette imitation 4e méthode ne pouvait être qu'imparfaite, et qu'il y avait toujours quelque diflférence due à la nature même du sujet.

C'est dans la Chimie que l'application des <leux méthodes paraît plus évidente et plus conforme à l'étymologie des noms par lesquels on les désigne. Qn combine ensemble plusieurs substances simples, ou regardées comme telles, et l'on opère ainsi par synthèse. On prend un <:orps mixte , et l'on en sépare les composans : voilà l'analyse. Cependant les choses ne se pas- «sent pas ainsi dai!is tous Ibs cas : toutes les analyses ne sont pas parfaites j souvent on ne reconnaît le composant que l'on cherche, qu'en rapprochant les propriétés qu'il manifeste, de celles qui ont été découvertes antérieurement

ic on ne paraissait pas dire assez clairement à Tesprit » pourquoi les choses étaient comme on les montrait, »^ et par quels moyens on parvenait à leur découverte.» (Œi/i^j complètes de Descartes, tome XI , p. 219, lie l'édition donnée par M. Cousin.)

par la synthèse, sans pouvoir le mettre à mu De même aussi les synthèses ne réussissent pas toujours complètement ; et Ton pourrait soupçonner avec raison qu'elles sont souvent accompagnées de décompositions qui en altèrent la certitude : c'est du moins ce qui me paraît résulter des objections de Duluc contre la nouvelle théorie; «t sans les admettre, elles doivent^ à mon avis, rendre très circonspect sur les conséquences qu'on'tirera des expériences, tant qu'on ne connaîtra pas d'une manière certaine la nature des effets de la lumière et de la chaleur, ainsi que de l'électricité, et en général des substances qui sont incoercibles ou impondérables (i).

Les mêmes raisons qui avaient fait adopter la marche synthétique dans toutes les sciences, lorsque les géomètres ne procédaient que par théorèmes et par corqtlaines, portèrent les mé-^ taphysiciens , au milieu du siècle dernier, à appe<* lev méthode analytique celle dont ils se servirent pour exposer leurs découvertes. Les Mathématiques à cette époque jouissaient de la considération que la Physique et la Chimie ont

(i) Voyez les réflexions judicieuses que Monge a faites à ce sujet dans son beau Mémoire sur la Composition de l'eau. {Mémoires de VAcad, des Sciences j année 1783, page 87.)

SUR l'enseignement. 2i3

acquise depuis; les géomètres successeurs de Newton avaient perfectionné des théories qu'il n'avait qu'ébauchées , résolu des questions qu'il n'avait pu atteindre , et cela par l'application de l'analyse. Les métaphysiciens voulurent en quelque sorte associer leurs travaux à ceux des géomètres, et attacher la révolution qu'ils faisaient dans le système des idées, à celle que Newton avait opérée dans le Système du Monde ; mais examinons si la marche de leur méthode est conforme à celle de^l'analyse mathématique, décrite plus haut d'après les auteurs anciens qui ont inventé et nommé cette dernièrCi.

Ce sont l'es écrits de Gondillac qui me fourniront des exemples de cette méthode. Dans son Traité des Sensations y il commence par réduire sa statue au seul sens de l'odorat , en faisant abstraction de tous les autres, et il examine la nature des idées qu'elle peut acquérir par ce sens. En passant au deuxième chapitre de cet ouvrage, je vois dans le paragraphe I une dé- ^ finition, dans les paragraphes II et III de vrais théorèmes, c'est-à-dire dès propositions énoncées d'abord et prouvées ensuite, en les ramenant à des idées identiques ou à des définitions de mots. En poursuivant la lecture du même chapitre et celle de tout l'ouvrage , on voit qu'il procède d'une manière analogue à celle des Élémens de Géométrie : il va du simple au couir

posé. Le seoUment, ou plutôt la rapidité avec laquelle s'exerce la faculté de comparer les idées et d'en pressentir le résultat , le conduit à des assertions dont il démontre ensuite la vérité , en développant toutes les propositions intermédiaires que son jugement n'avait fait que balancer, à peu près de la même majsiière dont les joueurs estiment, presque sur-le-champ, ce qu'ils doivent espérer ou craindre des diverses chances qui peuvent se présenter. C'est bien là ce qu'on appelle synthèse en Géométrie. Cette synthèse, dira-t-on , a été précédée d'une analyse, puisque l'auteur a décomposé le système des sensations pour ne discuter d'abord que ce qui regarde l'odorat; mais il en est de même en Géométrie, et l'équivalent de cette analyse se trouve dans les diverses abstractions que les géomètres font pour simplifier leur sujet : c'est ainsi qu'ils dépouillent en premier lieu le corps de deux de ses dimensions pour ne considérer que les lignes. Enfin on ne saurait retrouver dans les procédés deCondillac cette marche^ de l'analyse mathématique, qui consiste à sup-^ poser la question résolue , et qui vraisemblable^ ment ne saurait s'appliquer atix objets qu'il a traités.

En examinant sa Logique sous le même point de vue, je pense que l'on sera convaincu comme moi, qu'il y suit une marche synthétique; à la^

SUR l'enseignement. 2i5

wérké y cette mardie a pu être méccHinue pour telle 9 par ceux qui n'ont été fra^^s que de la difficulté d'entendre des propositions que Newton , par exemple , a démontrées d'une manière synthétique; mais ceci n'est qu'une illusion facile à détruire. La marche de Newton serait aussi ais^ à suivre que celle de Condillac , si toutes les vérités qu'il a exposées se touchaient d'aussi près que celles que l'on rencontre dans les ouvrages de ee dernier; mais l'intervalle qui les sépare, soit les unes des autres, soit de celles qui font partie des élémens, est si grand, le nombre^ des intermédiaires à comparer, et quelquefois mémie à suppléer, est si ooEtsidérable, qu'à moins d'être susceptible à la fois de l'application la plus soutenue et de la pénétration la plus profonde , on se perd dans cette longue suite de conséquences.

On ne saurait pourtant révoquer en doute qu'en rétablissant tous les chaînons intermédiaires^ on ferait de l'ouvrage de Newlon un liuce aussi facile à entendre que les Eiémens d'Euclide; et en poussant les développemens aussi loin qu'il serait nécessaire, on pourrait passer d'une proposition à l'autre par des nuances presque insensibles. Mais il est facile d'apercevoir que^ même dans les Eiémens d'Ëuclide, il se trouve un grand nombre de passages dans lesquels il s'en faut de beaucoup

2l6 ESSAIS

que tous les intermédiaires soient exposés : iU n'ont pas même été connus des inventeurs ; et il serait difficile de les refaire, quoique leur existence paraisse une chose évidente par ellem^e (i).

L'analyse reproduit ces intermédiaires , et les fait passer sous les yeux de celui qui opère, mais dans un ordre inverse ; et quand il deviennent si nombreux qu'il serait impossible de les exprimer autrement que par des formules algébriques, c'est alors qu'il faut nécessairement employer le calcul, et c'est ainsi qu'il fait connaître des vérités auxquelles le raisonnement seul ne saurait atteindre/

Il arrive quelquefois que la synthèse , reprenant les choses de moins haut que l'analyse, conduit au but d'une manière plus simple. Les recherches sur l'attraction des sphéroïdes, par Maclaurin , ont offert un bel exemple de ce cas; mais , entre les mains de Lagrange , de Laplace et de Legendre , le calcul analytique a repris dans ces recherches, les avantages qu'il offre dans toutes les autres.

D'après ce qui précède , il paraîtra prouvé , je pense , à tous ceux qui ont des idées nettes

(i) Voyez dans l'ancienne Encyclopédie, l'articfe: Déduction.

SUR l'enseignement. 317

sur la méthode employée par les géomètres , que jusqu'à préseni la véritable analyse n'a point été appliquée à la Métaphysique , qui ne semble pas même susceptible de cette application, du moins dans l'état actuel des connais-* sances.

Ce n'est donc pas parce qu'ils se sont servis de la méthode analytique , que la Métaphysique a fait tant de progrès entre les mains de Locke et de Condillac j mais parce qu'ils ont puisé leurs premières notions dans la nature , et non pas dans leur imagination : c'est parce qu'ils sont remontés à la véritable origine des connaissances au lieu d'en créer une à leur façon. Si les premiers géomètres avaient voulu, ou plutôt avaient pu se former de la ligne droite et du cercle, d'autres idées que celles qu'ils avaient reçues de la nature, il n'est pas douteux qu'ils auraient créé une Géométrie qui n'eût ressemblé en rien à celle de la nature, et qui eût été entièrement imaginaire. La méthode des géomètres n'est pas l'unique cause de la certitude de leurs résultats , cette certitude est principalement due à la nature même des idées qu'ils ont eues à combiner. Une démonstration mathématique peut être obscure^ embarrassée, et même incomplète , et n'en conduira pas moins à la connaissance de la vérité de la proposition énoncée , celui qui aura la. par

2lS ESSAIS

tience et la sagacité nécessaires pour suivre et rectifier cette démonstration. Cela vient de ce que les mathématiciens n'ont employé que des idées complètes , ou telles que la propriété établie pour caractère principal^ emporte toutes les autres. Lorsqu'ils ont voulu raisonner sur des idées d'un autre genre , ils se sont souvent trompés y malgré tout le soin qu'ils ont apporté à conserver la rigueur dans la forme des raisonnemens, chose à laquelle personne ne contestera qu'ils doivent se connaître.

C'est donc moins dans la méthode que dans la simplicité des premières idées et dans leur évidence , que consiste la certitude du raisonnement ; et à l'égard de ces pnncipes généraux , dont CondilLac parle toujours avec le mépris qu'ils méritent, jamais la Géométrie n'en a offert de pareils. Celui de la moindre action , dont M aupertuis a fait tant de bruit , n'a jamais été regardé par les géomètres que comme un résultat analytique des lois générales de la Mécanique , et il n'a été bien circonscrit que par le calcul; car avant, il avait pris plusieurs formes très différentes entre les mains des métaphysiciens.

Les articles II et III des Pensées de Pascal me paraissent contenir ce qu'il y a de plus lumineux sur les fermes du raisonnement, et je ne Yoi» pas qu'on y ait beaucoup ajouté depuis..

SUR L ENSEKÏNEMENT. 2ig

Déjà Pascal avait senti l'abus des définitions, et les avait réduites à leur juste valeur, c'està-dire à des descriptions et a des impositions de nom ; mais , loin de proscrire aucune manière de raisonner, ainsi qu'on l'a fait dans ces der-^ niers temps , en appelant synthèse ce qui n'était que l'abus du raisonnement, il classe les différentes méthodes pour traiter les sciences , de manière à faire voir le secours qu'on doit attendre de chacune d'elles.

ce On peut, dit-il, avoir trois principaux » objets dans l'étude de la vérité : l'un , de la » découvrir quand on la cherche; l'autre, de » la démontrer quand on la possède; le der- » nier, de la discerner d'avec le faux quand on » l'examine. )>

En effet , ces trois cas peuvent se présenter : le premier d'abord a presque toujours lieu; mais il arrive aussi que l'analogie de quelques circonstances^ fait soupçonner une proposition, et alors on ne la découvre pas , mais on s'assure de son existence par une démonstration «n forme. Enfin si l'on veut soumettre à l'examen une proposition j pour en constater la vérité ou la fausseté , il peut être utile de connaître des moyens généraux propres à cet objet.

A l'égard de l'exposition des idées acquises ou des vérités connues, la seule loi à observer^

autant qu'on le peut y consiste à les rapprocher pir les côtés où elles ont le plus de rapport, et entre lesquels il y a le moins d'intermédiaires à remplir.

En appelant , comme on le doit , d'après l'ëtymologie de ces mots, synthèse, la marche suivant laquelle on procède du simple au composé^ analyse, celle par laquelle on revient du composé au simple , on verra que ces deux méthodes se rencontrent presque toujours ensemble : il n'y a même de connaissances coaiplètes que , celles qui résultent du concours de l'une et de l'autre ; mais elles varient un peu dans leur forme , suivant la nature des sujets auxquels on les applique.

Rapprocher la synthèse de l'analyse^ toutes les fois que l'on peut se servir en même temps de l'une et de l'autre; apporter l'attention la plus scrupuleuse dans l'énumération des différentes faces ou des différens cas que présente la proposition qu'on examine , afin de s'assurer si tous sont compris dans les considérations sur lesquelles on s'appuie, c'est-à-dire si la liaison de idées est observée : c'est à ce petit nombre de principes , ce me semble , que doit se réduire tout l'art du raisonnement (i). Mais

(i) L'article V des Élémens de Philosophie donnés par d'Alemberty et le supple'ment à cet article^ con-*

SUR l'enseignement. 221

cet «rt , qui ne s'acquiert , comme tous les autres , que par un exercice continuel et bien dirigé , présente de plus un cercle vicieux qui a produit toutes les subtilités des anciennes écoles , et qui paraît devoir promener Fesprit humain d'erreurs en erreurs , toutes les fois qu'on voudra pousser la théorie au-delà d'un certain terme. En effet f si rien ne semble limiter les progrès que l'on peut faire en appliquant le raisonnement aux sciences qui reposent immédiatement sur des idées acquises par les sens , il n'en est pas ainsi lorsqu'on veut analyser par elles-mêmes les opérations de l'entendement. Il doit arriver dans ce cas ce qui arrive dans les recherches .mathématiques, lorsque , par erreur ou autrement , on combine une équation avec une autre qui n'en diffère qu'en apparence, mais qui, étant Ja même quant au fond , n'apprend rien sur la question proposée , et donne un résultat purement identique. Dans le calcul , ce résultat , qui tombe immédiatement sous les sens, et qui d'ailleurs

tiennent en peu de mots tout ce qu'il est nécessaire de savoir sur le mécanisme naturel du raisonnement. Quant aux diverses formes que l'on peut donner aux syllogismes, on les trouve exposées d'une manière aussi brève que lumineuse^ dans les Lettres d'Euler à une princesse d'Allemagne, (Lettre Cil et suiv.)

a22 ESSAIS

est exprimé par des signes dont la valeur est bien déterminée , ne peut être méconnu pour ce qu'il est; mais à force de retourner ses idées sur des sujets qui ne sont pas susceptibles de la même précision , on parvient à se faire illusion , au point de regarder comme des modi- £k»tions essentielles, de légères nuances que produit, dans la manière de sentir et de juger, Vintensité que l'on donne à l'attention en la captivant long- temps sur une même pensée^ i peu près comme on parvient à égarer sa vue en la fixant sur un objet. On croit donner, pour ainsi dire, un corps à ces remarques fu« gitives, en créant, pour les désigner, des mots nouveaux , ou en combinant d'une manière nouvelle des mots déjà connus; on disserte ensuite à perte de vue sur ces abstractions hypothétiques; et, comme elles sont dénuées de fondement , il vient enfin un temps où l'absurdité des conséquences qu'on en tire éclaire sur leur peu de solidité. On cherche donc un ehemîin nouveau, et le plus souvent on reprend une route anciennement battue, dans laquelle on se perd ensuite comme dans celle qu'on vient de quitter.

Il est probable qu'on a commencé par voir dans nos sensations l'origine de nos idées ; mais à force de classer, de diviser, de distinguer, d'abstraire les diverses circonstances que pré-

^UR l'enseignement. 2:23

^sentaient les idées acquises , on s'égara dans les catégories et dans toutes les abstractions qu elles amenèrent à leur suite. La renaissance de la Physique , en donnant au raisonnement un sujet réel j ouvrit les yeux sur l'abus qu'on en avait fait. La marche tracée par Newton dans le troi* sième livre de ses Principes, ne pouvait demeurer restreinte aux seuls objets auxquels il l'avait appliquée. L'éclat des découvertes qu'il fit en la suivant , excita dans ceux qui cultivaient les sciences une émulation qui produisit bientôt le renouvellement de la Métaphysique. Il faut convenir qu'elle a beaucoup gagné dans cette révolution; mais peut-être est-il temps que l'on s'arrête, et qu'en comparant ce qu'elle a perdu d'un côté et ce qu'elle a acquis de l'autre, on reconnaisse que , seule entre toutes les sciences , elle n'est susceptible que d'un progrès limité , et qu'il existe dans la théorie des opérations de l'entendement, un point que nous ne pourrons jamais dépasser (i).

(i) Depuis que ceci a été écrit (en 1797 ; voyez la première édition de mes Èlémens de Géométrie ) , on s'est beaucoup occupé en France, non de l'ancienne Métaphysique, mais de V Analyse des sensations et des idées. L'examen attentif^ des écrits distingués qu'ont produits ces recherches nie semble confirmer ce que j'ai avancé ci -dessus, puisqu'il montre que

Tournons donc vers les sciences physiques , qui nous promettent des découvertes nombreu-

les considérations sur les facultés intellectuelles de rhomme n'ont de réalité qu'autant que l'on se borne à l'analyse exacte des faits bien sentis et bien constatés, a6n d'en découvrir l'enchainement et d'établir entre eux une succession propre à nous guider dans, la recherche des vérités et dans leur exposition : et pour atteindre ce but, il faut peu de préceptes et beaucoup d'exemples.

En restant dans ces limites, on est bien en arrière de la Philosophie de la Nature j tant préconisée eu Allemagne , mais dans laquelle on n'a pu voir eu France « qu'un jeu trompeur de l'esprit, où l'on ne » semble faire quelques pas qu'à l'aide d'expressions » figurées, prises tantôt dans un sens et tantôt dans » un autre, et où l'incertitude de la route se décèle » bien vite, quand ceux qui s'y donnent pour guides » ne connaissent pas d'avance le but où ils prétendent » qu'el le conduit. » {Rapport historique sur les progrès des Sciences physiques, depuis 1789 , par G. Cuvier, page 9 de Fédition in-4*'.)

Ce reproche d'arranger les raisonneraens pour les conséquences, que quelques métaphysiciens allemands ont mérité jusque dans la partie physique de leurs systèmes, pourrait bien être adressé, pour la partie morale, à quelques écrivains de l'École écossaise. En recherchant avec trop d'affectation ce qu'ils appellent le mérite delà tendance d'une doctrine, ils ont constitué assez légèrement yât/^ primitifs des produits de nos facultés intellectuelles, en sorte qu'on pourrait croire qu'ils veulent trouver dans ces faits un moyen

SUR l'enseignement. aiS

ises et utiles, toute Factivilé de notre esprit; et que k théorie des probabilités , devenue familière à tous ceux qui Cultivent les sciences morales et politiques^ donne enfin des bases solides à celles de nos connaissances qui ne sont pas susceptibles d'être ramenées a un petit nombre de notions abstraites et d'idées complètes.

Remarques sur le Paragraphe précédent. *

Dans ce paragraphe, le mot analyse, pris dans l'acception que lui donnaient les géomètres anciens, indique toujours une méthode de raisonnement indépendante des signes, c'està-dire qu'on peut employer en se servant du discours ordinaire, aussi bien qu'en faisant usage des symboles algébriques. Mais, à cause

de retourner vers les ide'es innées, sans paraître cesser de professer la partie des principes de Locke que le temps a consacrée comme un excellent préservatif contre le retour des chimères qui ont fasciné si longtemps les meilleurs esprits. Mais pourquoi craindre les conséquences des principes s'ils sont solidement établis? La vérité, lorsqu'elle est bien expliquée et bien comprise, ne peut devenir dangereuse, puisqu'elle ne saurait être que l'expression des lois qui régissent les êtres, et dont les faits sont par conséquent une suite nécessaire.

Ess, sur VEns, i5

que ces symboles en fiicilitent beaucoupies ap<> plications, on a transporté le nom de Ia méthode au signe ^ et l'on a regardé comme traité ana* fytiquement tout ce qui l'était par le calcul j quoique très souvent ce fût de la véritable syn* tlièse. C'est ce dont il serait facile de trouver beaucoup d'exemples dans les ouvrages les plus célèbres et les plus récens.

Il me semble donc qu'on doit considérer séparément y dans les écrits concernant les Mathématiques pures, ce qui regarde la marche du raisonnement et ce qui regarde les signes , et qu'après avoir établi, par rapport à l'une , la distinction de la synthèse et de V analyse^ il faut faire , par rapport aux autres , celle du signe représentatif et du signe arbitraire. Par le premier, j'entends les lignes et les figures; car sous cette forme la grandeur, objet essentiel des Mathématiques, est indiquée par le signe qui peint la chose en elle-même, ou qui est représentatif de l'attribut que Ton y considère. Cette espèce de signes a dû s'offrir la première. De «là vient, sans doute, que les Anciens ont commencé par la Géométrie, et qu'ils ont représenté les grandeurs abstraites, les nombres, par des lignes.

En effet, c'est ce qu'il faut faire toutes les fois qu'on se propose de rendre plus frappantes les variations d'une quantité quelconque. Que

l'on ]étte les yeux sur les courbes oot^struites d'après les Tables de mortalité) ou sur les Ta^ bleaux ffj^rithmé tique politique deW. f layfaii*, on sentira combien l'iiiipression que font ces tigures, qui parlent a^x yeux, est plus nette et plus vive que <ieUe que ferait la série des nombres quJL ont servi à les construira. IMbis ravanlage 4e ces Teprésentations ne va guère au-delà dé l'effet dont je viens de parler: les cbmpamsons précises , les combinaisons utiles se font beaucoup mieux par les diiffres. L'histoire de^ Mathématiques prouve aussi que c'est l'usagé de plus en plus étendu des symboles arbitraires, ima^nés dans la vue d'abréger les expressions ou de mettre en évidence leur analogie , qui à <;ontribuéle plus à l'avancement d^ la science, ^n soulageant la mémoire et facilitant les càtà*binaisons des relations données ^ des raisbhtiemens;.

d'est donc dans l'emploi du signe représen*tatif seul, ou de la Gonsidératidn des l^rèé «t des propriétés de l'étendue j qu'il faut , à c€ qu'il me semble , placer le véritable caraeéérë de ce qu'où appelle la Méthode dès Anciens, €t non dans l'abus des fermes dôgraatiiques , objet d'une juste critique , aitisi qu'on le verra vers la fin du paragraphe concernant les Êlé^ mens de Géométrie. Par une transposition d'i- ' dées qui diseuse de toute transition , de tout

:ia8 ESSAIS

dëveloppement explicatif, ces formes peuvent . serrir quelquefois à rendre plus concise l'eiposition d'une doctrine. Des ouvrages de pur calcul présentent aussi ces formes dans certaines circonstances où l'auteur, rompant la liaison des idées, semble vouloir surprendre son ïeo* leur par l'apparition de résultats inattendus. Cet artifice peut doùner à ces résultats en ap-» parence plus de prix , mais il ne saurait satisfieiire les esprits judicieux qui n'étudient les sciences abstraites que pour assurer la marche de leur 'intelligence dans la recherche des vérités d'un accès difficile.

L'exactitude du langage semblerait demander -qu'on prévînt l'équivoque occasionée par les divers sens dans lesquels se^ prend le mot analyse, et que pour cela on désignât autrement l'emploi du signe arbitraire. La dénomination de calcul conviendrait assez biçn à ce procédé , mais elle est trop vulgaire pour faire fortune dans le sens qu'on voudrait lui donner ici ; c'est apparemment parce que la qualité de mathématicien était devenue inséparable du nom de l'auteur supposé de VAlmanach de Liège (i), que des savans n'ayant jamais cultivé la Géométrie proprement dite que dans ses

(i) Mathieu Laensber^.

SUR L ENSBIGNEMENT; iag

élBmeiis , et dont la réputatioa se fondait sur dés ouvrages de calcul, ont adopté le titre de géomètre : le mot calcul conduisant à celui de calculateur^ les eut fait prendre pour des arithméticiens* Les anciens auteurd d'Algèbre l'ayant appelée logistique spécieuse à raison des symboles (species) dont on y faisait usage , ne pourrait- on pas maintiexiant appliquer à toutes les espèces de calcul le mot logistique, dont on ne se sert plus pour désigner l'Algèbre en particulier (i)? Au r^este le changemeiit de dénomination est peu important en lui-même , dès que l'on conçoit nettement la différence des procédés; et par cette différence on saura toujpurs bien quand une analyse méritera véritar blement ce nom, ou ne sera qu'une sjrnthès0 réduite en calcul.

(i) S.trabon distingue ^arithmétique de la logi»r tiqué; mais il emploie eu sens inverse, ces dénomir nations : la première est, suivant lui , le calcul transcendant, et de pure spéculation, et la seconde le calcul élémentaire et commercial. {Géographie de Strabon , trciduite en français ; Paris , 1819, tom; Y v

page 223. ^07-ez aussi Proclus, Commentaire sur J&fr^ çlide, liv. I, cbap. i3.) ^

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