III

Jnalj^e du Cours éléme^Uaire de Mathéma" tiques pures, à Pesage de VÉie^U cwtrah des Quatpe'JS^atioajf,

t^ De VArithmétàque. Les Bfalhëtnatiques 9on% celles de nos connaissances qui reposent sur le plus petit nombre de sensations ^ mais aussi sur les plus rëpétëes , celles qui conduisent aux idées du nombre et de Y étendue, idées. qiù entrent de si bonne heure dans l'esprit y. qn'on ne peut se rappeler quand et comment elles ont été acquises. Leur simultanëitë est telle , qu'il n'y a pas de raison pour commencer par les conséquences de l'une, plutôt que par celles de l'autre, l'éducation mathématique des. enËins. Cependant , comme les applications du. calcul numérique sont les plus fréquentes ^ l'usage d'enseigner d'abord la science des nombres^ ou l'Aritlimétique a prévalu; mais il. cQnviea^ drait que les conséquences des preoiiàres nc^*lions fossent d'abord représentées physiqoeraeiili avant d'être déduites du raisonnement ^ et que les enfkns apprissent primitivement à calculer par leurs doigts ou avec des jetons , ainsi que l'ont fait les hommes eux-mêmes dans l'origine de la science. Par ce moyen , dès leur plus jeune

stR l'enseigmemcnt. aSf

âge^ les élèves sentiraient les avantages et la nature des signes conventionnels qu'on emploie pour abréger l'expression des nombres et faci« liter leurs diverses combinaisons. Si l'on n'en use pas ainsi dans les écoles y c'est parce qu'on a toujours cherché plutôt la commodité de celui qui montre , que celle de ceux qu'il enseigne, et qu'avec des châtimens on vient toujoui-s à bout de faire apprendre par cœur à un enfant , ce que d^autres ont appris de même avant lui* AsscHner de bonne heure le jugement à la mé*^ moite, serait le chef-d'œuvre de la première éducation , si l'on savait s'y prendre pour cela comme la nature. 11 semble pourtant que sa marche à cet égard doit pouvoir se découvrir par des observations simples, qui ont peut-être déjà été faites , et qu'il serait facile de répéter à l'aide des méthodes raîsonnées , qui de nos jours ORt été proposées en assez grand nombre , pour apprendre les premiers élémens du calcul. Jja base de ces élémens, qui est uniquement du ressort de la mémoire, c'est la série des. noms assignés aux nombres,, que l'enfant doit apprendre à énoncer, soit dans l'ordre naturel, ou en montant , soit dans l'ordre inverse , ou en descendant. Dans presque toutes les langues, cette nomenclature est divisée en plusieurs parties liées entre elles par des analogies qu'il faudrait faire remarquer le plus tôt possible , parce

aBa ESSAIS

qa'ayant pour objet d'augmenter l'étendae de la nomenclature , sans accrottre le nombre des mots don t elle se com pose , ces ana logies forment une introduction très naturelle à l'emploi des caractères arithmétiques* Ceux-ci étant amenés par ce moyen , leurs premiers usages s'apprear dront sans peine ; mais comme ils doivent être très familiers , et cjue V^e du disciple ne siipporte qu'une application très bornée, il faut beaucoup d'exemples et beaucoup de temps pour que les procédés s'exécutent tout-à-fiiit mécaniquement, terme avant lequel on ne peut les regarder comme sus. Ceux que )'ai en vue dans ce moment sont, V addition , la soustrac^ tioFij la multiplication f la dii^ision^ ou, les quatre opérations fondamentales de l'Arithmétique, mais sur les nombres entiers seulement. Ce premier enseignement, presque toujours expérimental^ et dans lequel le raisonnement, si on l'emploie , ne doit pas s'élever au-delà des indices qui font apercevoir, ou plutôt pressentir la vérité , est absolument en dehors du cours de Mathématiques que je me propose d'analyser. Je n'ai ^parlé de l'un que parce qu'il sert de base à l'autre, et pour indiquer le peu de théorie qu'on y pourrait aisément faire entrer par des livres destinés > non aux enfans, qui ne sauraient en faire usage , mais aux maîtres des petites écoles , auprès desquels il faudrait

SUR l'enseignement. a33

prendre le langage qu'ils doivent employer avec leurs disciples; car toute tradqction serait trop difficile pour le plus grand nombre. L'impossi-r bilité de prendre ce langage , sans l'avoir observé de près,, est peut-être le plus grand obstacle aux progrès de l'instruction primaire.

En reprenant , avec tous les développemens de la théorie ,^ les premières notions de TArithmétique^ il est important, même avec des élèves d'une raison déjà formée , de rentrer ,* autant qu'il est possible , dans les voies qu'on a dû leur faire suivre en commençant leur éducation , et par conséquent d'analyser à la fois la nomenclature vulgaire des nombres ^ et la manière de les exprimer en^ chiffres, afin de faire sortir l'une de l'autre. Ce serait compliquer de trop bonne heure ces premières idées, que de parler en même. temps des décimales; il faut renvoyer celles-ci à l'article des fractions en général , dont elles ne sont qu'un cas particulier, et après que la discussioiji des [procédés mis en usage pour effectuer sur les nombres entiers les opérations fondamentales, a fami? liarisé les élèves avec la progression des valeurs que prend un même caractère en passant par.

diverses places.

Ce sont les conséquences immédiates de ce mécanisme qui constituent l'Arithmétique proprement dite , bornée à la^ théorie et à la pra-

tique des quatre premières r^les; mais la dé^^ composition d'an nombre en parties égales , ne pouvant s'opérer le plus souvent qu'en dé* composant aussi Funilé qu'on a choisie pour terme de comparaison , on rencontre bientôt une espèce de quantités dont l'expression renferme deux idées,' puisqu'il s'agit d'an certain nombre d'unités et du nombre de parties, dans lequel chacune doit être partagée. Le signe propre à rendre ces idées doit être composé de deux élémens, et présente par conséquent deux sortes de modifications qui résultent des opérations qu'on peut effectuer, soit séparé-* ment, soit conjointement, sur ses deux parties. Voilà où conduit, ce me semble, le développement de la définition des fractions , lorsqu'on les déduit des divisions imparfaites, leur origine naturelle. C'est donc à montrer avec soin les changemens que reçoit une fraction , à rai-* son de ceux qu'on fait subir à chacun de ses termes, qu'on doit s'attacher pour fonder la théorie de ces grandeurs.^

Une difficulté sur laquelle la plupart des au-» teurs ont glissé trop légèrement , c'est l'appli-* cation aux nombres fractionnaires , des définitions de la multiplication et de la division, relatives aux nombres entiers. 11 y a ici on pas- Sage très remarquable d'une acception donnée aux mois multiplier et diviser, d'après le cas le

SUR l'enseïgwement. 335

plus simple de Tidée qu'ils expriment, à une acception générale, dans laquelle on enveloppe des cas nouveaux qui ne se lient aux premiers que par de simples analogies. L'indication de ces analogies semble même exiger la ccmsidération des nombres concrets.

Ce n'est , par exemple , qu'en rapportant la multiplication à son usage le plus fréquent, savoir , pour trouver le prix d^une certaine quantité de matière ^ par le prix de t unité de émette matière j qu'on peut montrer comment il y a lieu à multiplier par une fraction , ce qui répond à une véritable division ; car c*est comme cas particulier de la question précédente qu'on dit également , multiplier par deux et multiplier par un défini, doubler le prix de la mesure d^une denrée quelconque , pour as^oir icelui de deux mesures j ou prendre la moitié du même prix pour avoir celui et une demi-* mesure. On ne saurait, sans pécher contre Inexactitude dans la marche du raisonnement i^ passer sous silence une extension d'idées aussi importante } elle exige même une définition des. termes qui puisse s'y prêter, et dont les consé-^ quences mènent aux modifications que doit su« bir le calcul, pour s'appliquer à des cas qui semblent entièrement opposés.

Ce que je viens de faire remarquer convient à la division aussi bien qu'à la multiplication^

a36 BssAts

qui se changent réciproquement Tune dans^ l'autre 9 suivant les questions qui y conduisent. Une fois que ces notions sont bien éçlaircies, les opérations sur les fractions n'offrent pas plus de difficulté dans la pratique que celles qui se font sur nombres entiers. EUçs ne soat.en effet que des combinaisons de celles-ci ^ déduites des conditions propres aux changemens qu'il faut ,. d'après l'énoncé de la question , produire sur les fractions données , pour en conclure le résultat demandé.

La complication que la diversité des dénominateurs introduit daiis le calcul des fractions, conduit naturellement à l'invention des fractions décimales qui font disparaître cette complication. C'est aiors que l'élève, instruit par sa propre expérience , des inconvéniens attachés dans la pratique, à l'usage des fractipns ordinaires, saisit complètement les avantages du système décimal, quoique le plus souvent il ne donne que des valeurs approchées, au lieu des valeurs rigoureuses. Mais comme, dans l'ér valuation physique des choses, il y a toujours un terme où l'on est obligé de s'arrêter, l'exactitude numérique devient inutile dès qu'elle passe ce terme.

Lorsque les procédés de calcul sont suffisamment développés , il ne reste qu'à montrer leur application aux questions les plus ordi- -

SUR l'enseignement. 237

naires dans les relations sociales, et dont les élémens se trouvent dans les diverses parties du système métrique. Jusqu'à la réforme proposée par les membres de l'Académie des Sciences, suivant les vues de l'Assemblée constituante, ce système était formé de parties incohérentes, difficiles à placer dans la mémoire* Les subdivisions, différentes pour chaque espèce d'unités , et changeant quelquefois de loi pour la même, donnaient lieu à un genre d'opérations qui n était au fond que le calcul des fractions, mais fort incommode par les conversions qu'i^ fallait sans cesse effectuer, pour coinparer les diverses parties du même nombre entre elles. A cette complication , qui n'atteignait encore que le calcul , se joignait la va^ riété des mesures de même espèce , qui chan-^ ^eaient d'une province, et quelquefois d'une ville à l'autre. Quelle innovation devait sembler plus désirable et plus facile à introduire, que l'établissement de mesures uniformes et assujetties a des subdivisions et à des composés pris dans la progression décimale , base du sys- ,tème de numération généralement adopté? La plus légère volonté aurait suffi pour se mettre au courant des très 'petites modifications à faire aux quatre règles pour les approprier aux opérations les plus compliquées, sur^ les n^esures du nouveau système, puisqu'il ne s'agis-

a38 V ESSAIS

sait que du simple déplacement de la vii^le qui fixe la position des unités dans les nombres accompagnés de fractions décimales ; niais pour jouir de cette facilité, il fiadlait abandonner de bonne foi l'usage des anciennes mesures, ope* rer matériellement avec les nouvelles y et l'on n'aurait eu de conversion à faire d'un «jrs-* tème dans un autre , que pour les transactions passées. Ce n'était assurément pas un travail préliminaire bien pénible pour les marchands, que d'établir une première fois le prix des denrées dans la nouvelle unité ; et ils en auraient suivi les variations sur ce pied comxae sur l'ancien. 11 aurait été convenable aussi, dans les constructicms , de remplacer tous les nombre^ ronds de l'ancien système par les nombres ronds les^ plus approchans dans le nouveau. En un mot, il fallait ne pas se bor^ ner, pour obéir à la loi, à parler le langage des nouvelles mesures , mais penser et opérer avec ces mesures : elles seraient bientôt devenues aussi familièk*es que celles qu'on voulait effiicer^ et l'on eût senti promptement tous les avantages qui les recommandent aux esprits supérieurs à la routine ; mais une marche absolument contraire a été suivie par les administrations aussi bien que par les particuliers. Les traductions les plus maladroites, surchargées de chi&es exprimant des parties inappréciables

, SUR L'EWSEIGNEMENr. ^Sp

et par conséquent super&ues , ont rendu les nouvelles mesures ridicules jusque sur les affiches publiques. Les ouvriers, au lieu de porter sur eux un ëchantillon de la mesure linéaire,' de comparer avec ses divisions les dimensions qu'ils devaient apprécier, et d'acquérir le coup d'œil des parties de cette échelle ^ s'obstinant^ toujours à rapporter leurs ouvrages à l'ancienne mesure, s'imposaient un double travail pour la rédaction légale de leurs mémoires. Je ne pourrai jamais croire que ce ne soit pas la plus insigne mauvaise volonté, soutenue par des associations d'idées aussi bizarres que nuisibles aux progrès de la raison, qui ait occasioné toutes les résistances qu'a éprouvées l'établissement des nouvelles mesures. En vain se retrancherait-on sur la oifficulté de la nomenclature méthodique , composée de mots grecs et latins , dont la simplicité est au contraire une des propriétés les plus utiles du système. L'idiome national est plein de mots également tirés du grec, tout aussi difficiles à prononcer et à retenir, et qui cependant se trouvent journellement dans la bouche des gens les moins instruits. Enfin l'intérêt, qui donne de l'attention et même une sorte d'intelligence aux êtres les moins avancés dans la .civilisation , devait rassurer contre la crainte des méprises que les ouvriers et les petits marchands auraient pu commettre à leur

34o ESSAIS

détriment. J'ignore quel sera définitivement le sort de cette belle institution , basée sur les progrès de T Astronomie et de la Physique y et que beaucoup de gens s'obstinent à classer parmi les tracasseries révolutionnaires , avec lesquelles elle n'a cependant aucun rapport, ni par les choses, ni par les hommes; mais je r^egarde comme un devoii^ pour tous ceux qui tiennent à l'avancement des sciences et de la raison , de combattre tant qu'il sera possible, pour la conservation et la propagation d'une réforme vivement désirée avant qu'on l'eût obtenue.

Parmi les diverses questions auxquelles peuvent donner lieu les transactions sociales les plus fréquentes , il n'en est aucune dont on ne puisse découvrir la solution , par des raison* nemens fort simples ^ dès qu'on entend bien la signification des termes techniques dans lesquels l'énoncé est exprimé. En faisant d'une manière convienable le développement des conditions explicites et implicites de cet énoncé, on parvient à déterminer laquelle des quatre opérations fondamentales , ou de leurs corn* binaisons , il faut faire sur les nombres donnés, pour parvenir aux nombres inconnus. L'habitude de ce genre de recherches constitue le véritable savoir en Arithmétique, dispense la mémoire de s'embarrasser de cette foule de règles dont sont remplis les traités ordinaire^

de cette science , et présente des ressources pour les cas imprévus, dans lesquels échoue le calculateur qui ne sait que des formules d'opérations : il demeure court lorsqu'il n'a pas sous la main celle du problème qu'il doit résoùdre^

Pour amener un jeûne homme au point de trouver dans son esprit les moyens d'analyser quelque question que ce soit , il est à propos de lui en donner à résoudre sur chaque leçon , et de compliquer le plus qu'il est possible , à mesure qu'on avance, les énonces, par des circonstances accessoires qui entraînent avec elles des conditions sous-entendues. Dans les premières leçons , le choix du problème est très borné, mais.il ne faut pas pour cela négliger d'en donner ; je n'ai jamais omis les deux suivàns, quelque simples qu'ils paraissent : je dictais d'abord un nombre en langage ordinaire , pour qu'on en rapportât l'expression en cbif&es j puis j'énonçais isolément une suite de chiffres écrits à côté les uns des autres, et je demandais la traduction en langage ordinaire, du nombre représenté par leur ensemble. De cette manière , les élèves rapportaient , à la suite dé la première leçon , des devoirs qui me faisaient déjà connaître jusqu'à quel point ils étaient susceptibles de mettre de la netteté dans

leurs copies. A mesuré que je passais à de E^s, sur VEns» 16

a42 itss^s

naoYelles opératioM , )e leur en donnai» des exetople* exigeant l'application des diverses parties du procède en^gné dans la leçon précédente, ou composés de grands nombres , afin de les accoutumer peu à peu à faire sûrement des calculs de longue durée , ^l à captiver leur attention pendant nn temps de plus en plus

considérable.

Tous ceux qui ont appris par eux-mêmes les Mathématiques, savent que le plus grand nombre des difficultés que Ton rencontre dans la lecture des ouvrages consacrés à ces sciences , vient souvent de ce qu'on néglige d'effectuer, à toesute qu'elles se présentent , les opérations de calcul indiquées dans ces livres} et qu'en s'astreignant au contraire à les étudier la plume à la main, le développement des premiers exemples procure infailliblement la facilité de s'élever jusqu'aux plus compliqués, surtout si l'on a soin d'imiter, sur de nouveaux exemples qu'on choisit soi - même , ce qu'on a fait sur ceux de son auteur. C'est dans la vue de plier les îeunes gens à cette marche, que j'ai toujours feit exécuter à la leçon les exemples énoncés dans le texte, pensant d'ailleurs que les circonstances d'un discours ou d'une leçon ^ se liant les unes aux autres dans la mémoire des auditeurs, les particularités de l'exemple rappelleraient i la lecture les développemens

SUR l'ensbiûnement. . 243

dont elles avaient été accompagnëes de ^ive voix, et qn'ainsi f accumulerais les signes commémoratifs propres à fixer l'enseignement dans l'esprit des élèves. J'ai toujours cru que ces avantages devaient l'emporter sur le petit mouvenient d'amour - propre qui porte beaucoup de inaîtres à s'interdire la faculté de consulter leur livre pendant la leçon. A la répétition , on exposait la solution du problème proposé dans la séance précédente , on donnait en dé^ tail toutes les parties de cette solution , quand le calcul n'était pas trop long ; mais dans le cas contraire, qui n'avait lieu que lorsque le cours était avancé, «on se contentait de décrire et de démontrer l'enchaînement des opérations partielles, et d'inscrire sur le tableau leurs résultats, ce qui suffisait à des élèves déjà familiarisés avec les procédés des quatre règles fondamentales* ~

11 ne fallait pas s'élever bien haut pour pouvoir proposer des questions qui paraîtraient assez difficiles à des jeunes gens qui ne connaîtraient que la marche ordinaire des livres d'Arithmétique ; telle est la suivante :

Un marchand a dans son magasin des étoffes de quatre prix différens;

520 mesures de la première valen^ 2'jo^b francs ,

ai5 fnemrts de la seconde, valent ioio5 francs,

3i^ de la troisième , 1^680,

5q de la quatrième , 2i83 ;

A Tun de ses créanciers, auquel il doit 8 1600 francs, il fournit,

g pièces de 49 mesures chacune, de la i^ ^^^jSf> 3 deSi de la 2^ y

21 de S'y de la 3*,

19 de OQ delaé^^i

On demande s' il s* est acquitté, ou combien il redoit?

Cette question peut se résoudre directement dès que Ton sait pratiquer les quatre règles sur les nombres entiers seulement , quoiqu'elle semble d'abord exiger l'emploi des proportions ^ mais on s'en passe facilement, en remarquant que la principale difficulté consiste à déterminer le prix de la mesure de chaque espèce d'étofie ^ ce qui se fait par la division seule ; et avec ce prix ^ quand on a choisi les nombres de l'exemple, de manière à éviter les fractions , on forme par la multiplication ordinaire les valeurs de chaque espèce de fourniture.

On varie d'autant de manières que l'on veut ces sortes de problèmes^ et il est facile d'en préparer qui se rapportent aux règles de trois, amples , directes ou inverses , et même aux règles de trois composées ^ pour les faire résoudre sans le secours des formules ordinaires.

SUR l'enseigi^ememt. 2/^S

Tous reviennent au fond, quels que soient les nombres proposés , à prendre une fraction ou un multiple donnés y d^un nombre donné; on y ramène aussi les règles d'intérêt simple , d'escompte , de société ^ des changes , et la comparaison des mesures des divers pays. . %

En partant de ce point de vue., on pourrait supprimer tout l'échafaudage des proportions ^ reste de la manière dont les anciens considéraient les grandeurs ^ et qui n'est pas du tout nécessaire pour résoudre celles des questions de commerce, de banque, etc. qu'on y rapporte ordinairement. On rendrait par là cette partie de l'Arithmétique beaucoup plus analytique et mieux d'accord avec les nouvelles méthodes que l'on emploie dans les autres branches des Mathématiques. Aussi n'est-ce que par respect pour l'usage que j'ai conservé ce qui regarde les proportions; mais les questions particulières qui m'y conduisent font mieux sentir, à ce qu'il me semble , l'idée que l'on doit attacher à la proportionnalité j que la manière abs* traite dont cette matière se trouve présentée dans la plupart des livres élémentaires. Les anciens avaient formé leurs raisonnemens sur .ce sujet pour les appliquer aux nombres irrationnels., aussi bien qu'aux autres. Mais com-> ment concevoir bi«n clairement la notion des premiers ,. lorsqu'on n'a vu que l'Arithmétique

usuelle 9 où il ne s'agit que des mesures et de leurs parties ? On ne saurait trop le répéter, ce n'est que par extension que nous acquérons des idées nouvelles : il faut toujours que nous les rapportions à quelques idées antérieures ^ à moins tqu'elles ne dérivent immédiatement d'une sensation ; et ce n'est que par la similitude des accroissemens et des diminutions de plusieurs quantités dépendantes les unes des autres, qu'on juge qu'elles sont proportion— nelles. Sous ce point de vue, on n'embrasse d'abord que des nombres commensurables ; c'est aussi pour ces raisons que j'ai renvoyé à l'Algèbre l'extraction des racines , dont on n'a besoin que pour la résolution des équations du second degré et des degrés supérieurs, ainsi que la théorie des progressions et des logarithmes , que l'on peut alors traiter de la manière la plus^ générale et la plus complète.

a®. Élémens d Algèbre. Quand l'énoncé des questions à résoudre se complique ^ le déve-loppement de ses conséquences, ou , ce qui est la même chose ^ Texpression des conditions auxquelles les nombres inconnus doivent sa* tisfaire , devient trop longue pour être confiée à la mémoire , et trop prolixe dans la langue ordinaire, pour qu'après l'avoir écrite, on puisse en embrasser toutes fes parties du même coup d^œil. Cependant les diverses circons-

SUA L'sNSBiaolEAlENT. ^47

tances de cette expression n'étant que de$ opé^ rations , soit indiquées , soit effectuées , sur W nombresdoanés et les inconnues, combinés entre eux suivant la nature de la question , se con^ posent d'un petit nombre de mots souvent ré* pétés , qu'il est tout simple de r^présenter par des signes abréviatifs : voilà ce qu'on remarque dans V Arithmétique de Diophante ^ le plus an-cien traité d'Algèbre parvenu jusqu'à nous.

Les questions qu'il embrasse dans ses premiers Ëvres étant ibrt simples et comprises dans des équations qui ne passent pas le second degré y il n'emploie que quelques signes , les uns pour désigner les nombres inconnus, et les autres pour indiquer l'addition et la soustraction de ces nonabres , sent entre eux , soit avec les non^-^ bres donnés. Le reste, exprimé en langage ordinaire, ne contient que des raisonnemens de la même nature et de de la même forme que ceux d'un traité d'Arithmétique vulgaire , écrit méthodiquement. Que l'on remonte aux algé-bristes qui ont succédé à Diophante, à commencer par Léonard de Pise , qui enseigna cette science en Europe dés le treizième siècle , d'après les écrits des Arabes > on n'y trouvera pas autre chose. Mais les principes pour découvrir les inccmnues n'étaient plus aussi simples que ceux dont Diophante' Élisait usage, on avait eu recours à des considérations géométriques et à

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des figures, parce qu'on n'osait se reposer sur ' des conclusions tirées de la seule combinaison des signes, ou du calcul qui en dérive. Beaucoup de termes techniques étaient empruntés de ces considérations, et sont tellement abandonnés aujourd'hui , que presque personne ne les entend.

Yiéte ayant senti que les raisonnemens qui servaient à découvrir la série d'opérations à* effectuer sur les données du problème^ pouvaient être rendus indépendans de ^es données, en empêchant celles-ci de se mêler et de sc^ fondre, pour ainsi dire, les unes avec les au-^ très, par les calculs arithmétiques, étendit à la désignation des quantités connues l'usage des lettres ^ adopté , à ce qu'il parait , avant lui, pour celle des inconnues seulement. Cette innovation fit faire un grand pas à la science , et Descartes , par sa Notation des exposans , 'Compléta l'ensemble de symboles nécessaires pour exprimer les diverses relations que les opérations de l'Arithmétique étabhssent entre les nombres , et pour donner à chacun de ces nombres une espèce de nom , auquel on attache toutes les propriétés dont il doit jouir dans l'état delà question.

Si l'on se rappelle maintenant l'idée que j'aj donnée de l'analyse mathématique , dans le pa . ragraphe précédent , on comprendra sans peine

SUR l'ekseignemejvt* 349

comment, lorsqu'on s^est procure une expression concise du développement de toutes les conditions d'un problème, on aperçoit les diverses conséquences dont cette expression est susceptible , et qui , povir la plupart , ne sont que des réductions par lesquelles on groupe les quantités, de manière à séparer celles que l'on cherche de celles qui sont connues. Mais, dans cette partie de la résolution algébrique des problèmes, on a occasion de répéter des raisonnemens ayant pour but de changer l'ordre de plusieurs opérations indiquées les unes après les autres, et qui , dans cette première succession, • s'opposeraient au dégagement des inconnues*, de là naissent certaines manières de transformer

les expressions , par des lois qui se remarquent promptement, et qui établissent des méthodes de calcul. Les résultats ne sont plus, comme dans l'Arithmétique, des nombres assignables, mais dès assemblages d'opérations partielles qui ne seront effectuées que lorsqu'on en voudra, venir à une application spéciale pour des nombres donnés.

Ce que je viens de dire paraîtra sans doute abstrait à ceux. qui n'ont point les première^ notions de l'Algèbre ; car cette science est peutêtre , encore plus que toute autre , difficile à résumer, indépendamment de ses applications.

M^is je pense que les lecteurs qui s'en seront

:â5o essais

occapés, reconnaitront ici le tableau des idées quHl faut y par un petit nombre d'exemples bien choisis, faire entrer dans la tête des jeunes gens 9 pour qu'ils ne demandent pas ce que signifie et à quoi peut être bon ce calcul sur des lettres et sur des signes. qui semblent n'avoir aucun rapport direct ou éloigné avec les nombres, et des résultats duquel on ne peut dire la valeur quand il n'est pas amené par des ques-> tions numériques. Néanmoins , dans la vue d'abréger, et peut-être plutôt par cette propension naturelle aux hommes les plus instruits, lorsqu'ils n'ont pas suivi les études des jeunes gens, à supposer que tout ce qui leur est familier doit paraître aux autres aussi simple qu'à euxmêmes , les auteurs les plus recommandables qui ont écrit sur l'Algèbre , ne se sont pas mis en peine des difficultés qu'y pouvaient rencon-^ trer les commençans. En exposant en premier lieu les règles du calcul des quantités littérales , dont les avantages leur étaient bien connus, pour passer plus rapidement sur ce que ces règles ont de fastidieux , ils forçaient les lecteurs de s'abandonner a leur foi , et d'apprendre presque mécaniquement des procédés dont k nature et le but étaient encore pour eux dans l'obscurité la plus profonde.

Glairaut fut le premier qui , se frayant une route philosophique , répandit une lumière vive

SUR l'enseignement. * aSt

sur les principes de l'Algèbre. Les lecteurs^ dans son ouvrage , prennent part en quelque sorte à l'invention de la science ; ils en saisissent l'objet dès les premiers pas qu'ils y font , et ne se demandent plus ce que veulent dire ces symboles mystérieux^ qui semblent ne conduire que par une sorte de magie a des résultats souvent inintelligibles. Tout est éclairci , tout est appliqué, rien ne se présente qui ne soit nécessaire^ ou qui ne soit amené par ce qui précède. Ses Êlémens d'Algèbre obtinrent d'abord tout le succès qu'ils avaient mérité ; et s'il eût renfermé dans de justes bornes la marche d'inven» tion qu'il avait adoptée , il n'y a pas de doute qu'elle n'eût prévalu sur toutes les autres. Mais cette marche, nécessaire pour éclairer et pour encourager ceux qui commencent l'étude de l'Algèbre y devient minutieuse et embarrassée de détails, lorsqu'on la poursuit rigoureusement au-delà des premières notions. Aussi les dernières parties de ce livre ne furent pas autant goûtées que la première : on crut méme^'aperce^ voir que lés règles fondamentales de l'Algèbre ne s'y Élisaient pas assez remarquer y qu'étant disséminées dans les exemples particuliers, il arrivait souvent que les jeunes gens, après avoir parfaitement suivi toutes les opérations de cet auteur, éprotuvaient encore beaucoup de difficultés lorsqu'ils voulaient en effectuer de sem*

:25a « ESSAIS

blables par eux-mêmes. Ali lieu de chercher à débarrasser de ces inconvéniens, qu'il était aisé de faire disparaître, un plan aussi heureux que celui de Clairaut, on l'abandonna entièrement pour retourner à Fancienne manière de présenter les élémens d'Algèbre ; et sous ce point de vue la science rétrc^ada. Dans les nombreuses éditions des livres qui succédèrent à celui de Glairaut , on ne fit presque rien entrer de nouveau , malgré les recherches multipliées et fécondes d'Ëuler^ de Waring et de Lagrange , sur la théorie des équations»

Tel était Tétat des choses , lorsque Lagrange et Laplace furent chaînés de faire un cours d'analyse à l'Ecole Normale. Laplace reproduisit le plan qu'avait suivi Clairaut, comme le seul qui convint à l'enseignement raisonné de la science : il appela l'attention des professeurs sur les richesses que renferment les collections académiques. Ses travaux et ceux de son collègue, à cette occasion, augmentèrent encore Is^ masse de ces richesses ; et il ne fut plus permis de se livrer à l'ancienne routine.

Sans doute ceux que leur génie entraine irrésistiblement vers la science qu'ils doivent perfectionner un jour, parviennent à franchir des obstacles plus grands encore que les difficultés qui naissent de l'imperfectipn des livres élémentaires ; et par leur forée de tête, redres-»

SUR l'enseignement. a53

sent les vices de méthode qu'ils y remarquent , restituent les liaisons qui manquent. Mais il n'en est pas ainsi de ceux qui n'apportent point à l'étude de la science des dispositions très mar-, quées', et un goût décidé pour les spéculations dont elle se compose : leurs succès dépendent en grande partie de la manière dont on leur en présente les premières notions ; et l'on peut dire aussi que ce qui est indispensable à l'égard de ces derniers, a encore une utilité réelle pour accélérer les progrès des élèves les mieux orga--. nisés.

Ce n'est donc pas sans raison qu'aidé des matériaux accumulés à l'époque où j'enseignais, je suis revenu de nouveau sur les élémens d'Algèbre. J'ai scrupuleusement amené les signes et les premières opérations , d'après la marche d'invention , la seule par laquelle on puisse faire étudier avec intérêt les commencemens de cette science, et en donner d'abord une idée raisonnable ; et j'ai fait en conséquence la comparaison des phrases du discours ordinaire, qui conduisent à la solution de quelques problèmes, avec les transformations de l'équation que four* nit leur énoncé; mais j'ai eu en même temps l'attention de multiplier les résumés et les énoncés dans la forme dogmatique, qui réduit à un simple mécanisme la pratique des règles*

Je me suis convaincu de plus en plus, à

a54 ESSAIE

chaque cours ^ que la considération des quantités négatives isolées était en général placée trop près du commencement , dans la plupart des livres élémentaires; et cela est d'ailleurs confirmé par l'histoire de la science , où l'on voit que l'explication des solutions négatives des problèmes est un des derniers progrès de l'analyse , dû k Descartes. Aussi la plupart des auteurs ne se sont adressés sur ce sujet qu'à la mémoire; et ceux qui, ne voulant pas en faire un objet d'autbrité, ont cherché à expliquer la nature de ces quantités , ont eu recours à des comparaisons forcées, comme celle des biens et des dettes j qui ne convient qu'à des cas particuliers de cette théorie.

Ce n'est d'ailleurs que par l'application de l'Algèbre à la Géométrie , qu'on peut concevoir dans son ensemble la théorie des quantités négatives, puisque les principales circonstances de cette théorie sont des faits algébriques qu'il faut se contenter de Uen constater et de classer ensuite dans l'ordre qui les fait le mieux ressortir. C'est aussi ce que j'ai tâché de faire , craignant , d'après une observation très répétée, l'obscurité que des détails métaphysiques trop étendus et trop multipliés jettent dans l'esprit des commèncans ; car on abuse aussi en Mathématiques du raisonnement, lorsqu'on s'obstine à ne pas reconnaître certains faits résultant des

SUR l'enseignement. xr55

combinaisons du calcul , qui ne peuvent s'expliquer plus clairement que par- eux-mêmes.

Saurin , qui y sans être au rang des premiers géomètres ) contribua à l'avancement du calcul différentiel, en éclaircissant plusieurs difficultés qu'avaient élevées ses adversaires ^ et en combattant avec succès les subtilités qu'ils opposaient à sa marche ^ disait avec raison {^Mémoires de Vjicadémie des Sciences de Paris, 1723^ p. 249): ^ Les philosophes et ceux qui n ont £iit leur principale étude des hautes » sciences, font honneur à la Géométrie, quand » ils daignent s'y appliquer ; mais pleins de » confiance en leurs lumières, ils veulent d'à*- )) bord tout éclairer, comme si tout était obs- ;) cur« Avec les plus grandes lumières et les » meilleures intentions, ils pourraient tout » gâter en donnant trop , non à la raison , » mais aux raisonnemens*.. Nos calculs n'ont » pas tant de besoin que l'on pense d'être n éclairés; ils portent avec eux une lumière M propre; et c'est d'oi*dinaîre de leur sein même » que sort toute celle que l'on peut répandre » sur eux , et que peut recevoir le sujet que D l'on traite* . • • Ce n'est jamais le calcul qui )) nous trompe quand il est Hen &it ; il n'a pas t) besoin d'être appuyé par des raisonnemens ; » mais , d'ordinaire, ce sont les raisonnemens ^ qui nous trompent , et qui ne doivent nous

D déterminer qu'autant qu'ils sont appuyés par » le calcul.» L'auteur aurait dû, ce me semble ,* ajouter à ces remarques incontestables, qu'il faut savoir bien lire dans le calcul , pour en interpréter avec sûreté les résultats.

J'ai donc différé de parler des quantités n^atives, jusqu'à ce qu'elles fussent amenées par la résolution des questions* J'ai montré comment, d'après les règles établies sur les signes , elles modifiaient les énoncés des problèmes , en les résolvant d'une manière précisément conforme à ce que prescrivaient les règles du raisonnement , pour lever la cotitradiction manifeste contenue dans les énoncés primitifs. Cette considération m'a fourni une occasion de vérifier les règles des signes qui embarrassent si souvent les esprits difiicultueux , et que j'ai démontrées alors , à priori ^ pour les quantités négatives isolées.

J'ai fait remarquer ensuite ces expressions

singulières, comme— , -, que l'Algèbre donne

pour réponse aux questions impossibles, ou indéterminées, et dans la classe desquelles entrent, au moins, à certains égards, les quantités négatives, puisqu'elles ne sont au fond qu'un mode dont l'Algèbre se sert pour éluder une contradiction. On ne pourra blâmer cette association , si l'on réfléchit que, de même que

SUR l'enseignement. 257

]e signe des quantités négatives indique le redressement dont l'énoncé esyt susceptible , le

symbole — indique aussi en quoi consiste la

fausseté des équations et la manière d'atténuer l'erreur autant que l'on voudra. Toute cette théorie est dérivée d'exemples faciles à saisir, et qui, par des considérations familières à tous les esprits, vérifient en même temps les formules algébriques. J'ai repris, à cette occasion , la marche d'invention que j'avais quittée , après en avoir tiré les secours nécessaires pour introduire le lecteur dans les formes techniques de l'Algèbre , parce qu'au-delà des premiers commencemens, l'élève ayant aperçu le but de la science qu'on lui enseigne, et s'étant con* vaincu de l'utilité de son travail, il ne faut plus, pour l'engager à le continuer, que lui présenter les matières dans l'ordre où elles naissent les unes des autres: son intérêt est suffisamment soutenu par un enchaînement méthodique, et par le développement de la liaison des théories et des propositions, renfermé dans de justes limites.

La doctrine des quantités négatives n'était pas la seule des élémens d'Algèbre , qui eût besoin d'éclaircissemens et même de rectifications ; la recherche- du plus grand commun diviseur, encore plus élémentaire à certains

Ess, sur VEns. 1 7

égards , était tout-à-iait incomplète , ainsi que l'on s'en convaincra , en comparant ce que j'en ai dit avec ce quon trouve dans les autres traités. Cette opération n'a pas toul-à-fait en Algèbre le même but qu'en Arithmétique. Il y a encore là, dans l'acception des mots, une extension dont l'effet jetait de l'obscurité sur la terminaison du calcul, lorsqu'il ne devait exister entre les quantités données, d'autre diviseur commun que l'unité , et qu'elles ren - ^ fermaient plus de deux lettres. L'éclaircisse-

ment de ce point se déduit sans peine de ht manière d'effectuer la mulliplication des quan tités algébriques ; et dans cette circonstance , comme dans toutes celles où il s'agit d'expliquer des opérations inverses, la clarté, ainsi que la brièveté, ne s'obtiennent qu'ea remontant aux opérations directes. Le procédé de la division , par exemple , qui exige en Algèbre une préparation inutile à l'égard des nombres, celle d'ordonner le dividende et le diviseur, par rapport à la même lettre, se découvre aisément quand on cherche le quotient par la considération qu'en multipliant par chacun de ses termes le diviseur, on doit retrouver le dividende. Cette définition est aussi plus commode, dans l'Arithmétique même, que celle où Ton envisage le quotient comme marquant le nombre de fois que le dividende contient le di*

SUR l'enseignement. srSg

viseur, quoiqu'au fond la différence de ces définitions ne soit que dans les mats.

Les vérités éloignées de l'usage ordinaire, et qui paraissent quelquefois en contradiction avec, les notions comoiunes, ne doivent jamais être lé(^èrement annoncées^ il faut y parvenir ^ar un chemin bien tracé, dont le bout s'aperçoive aussi clairement que l'entrée , et les vérifier, soit par des applications, soit en montrant leurs contacts avec des idées déjà bien assises dans lé jugement On peut mettre au nombre des vérités dont je parle , la multiplicité des solutions dans les équations qui passent le premier d^ré, et la signification des symboles imaginaires ; aussi ne me suis-je pas contenté, en faisant remarquer la première^ sur les équations du second degré, de la conclure du double signe qu'on peut donner à la racine quarrée d'un nombre. J'ai montré que ces équations ne se vérifiaient qu'en se partageant en deux facteurs, dont chacun s'évanouissait à son tour, par lu substitutioh des valeurs de l'inconnue : cette marche m'a paru d'autant plus convenable , qu'elle met en évi^ denoe le premier cas de la théorie générale des équations. Il m'a semblé tout aussi nécessaire de. molitrer à /^a^tmo/t'^ dans leur énoncé géfiériel, l'absurdité des questions qui mènent à des éc^natioiTs du second dégré^ dont les ra-

!à6o ESSAIS

cines se présentent sous une forme imaginaire, qa'on ne reconnaît pour telle que par son opposition avec la règle des signes dans la multiplication.

L'élévation aux puissances renferme un point bien important, c'est la composition de la formule qui exprime la puissance quelconque d'un binôme y et qui montre un nouvel usage de l'Algèbre, celui de présenter la formation générale des quantités, d'après leurs élémens et les opérations qu'ils subissent. Cet usage qu'on a dû faire remarquer dès la multiplication, par la composition du quarré, du cube et du produit de la somme de deux nombres , multipliée par leur différence, n'aurait pu que difficilement entrer dans une première définition ; car les divers ^objets qu'embrasse l'Algèbre , résultant de Textension que les idées fondamentales reiçoivent à mesure que l'emploi des signes s'étend et se complique, ne peuvent être saisis que par ceux qui l'ont parcourue en entier. Il en est de même de toutes les sciences , lorsqu'elles ont fait de grands progrès : leur but et leurs moyens ne sauraient être indiqués eomplétement dans une définition , même très développée.

La formule du binôme , due à Newton , se représentant dans un grand nombre de recherches auxquelles elle sert de base , doit être

SUR L'ÈNSEIGNEMEin*. a&l

obtenue et prouvée rigoureusement. Il ne faut pas qu'une induction maladroite jette quelque doute sur la première circonstance où , de l'observation des valeurs particulières d'une quantité, on en conclut la valeur générale, procédé qui se retrouve souvent en analyse. Et comme c'est par la multiplication que l'on arrive d'abord aux puissances , il faut , dans les élémens , se borner à celles dont l'exposant est entier, et étudier dans les procédés de la multiplication , ainsi que l'a fait Clairaut le premier, leur formation ; mais il est nécessaire de s'assurer que ces procédés , dont on ne peut répéter l'application qu'un nombre de fois limité , conduiront toujoui^ à dea résultats de même forme p quelque loin qu'on les pousse. Cela se voit &cilement , en cherchant la loi qui ynit un cas quelconque à celui qui le suit , parce que cette loi , s'observant de proche en proche , fait dériver tous les résultats des premiers, qui sont vérifiés immédiatement; et c'est par ces principes que )'ai obtenu , sans induction , les expressions générales des termes de la formule de Newton , tant par rapport aux deux lettres du binôme que par rapport aux çoefficiens, qui sont «relatifs aux combinaisons et aux per-> 'mutations.

L'extraction des racines considérée numériquement, peut être regardée comme une

a6a ESSAIS

nouvelle règle d'Arilhmétique , qui ne conduit qvCk w\ 9eul résultat; mais introduite dan& l'Algèbre ^ pour la résolution de$ équations à d^wx termes , la nature du sujet et la combinaison des signes donnent lieu à une extension qui amène autant de racines pour une quantité, qu'il y a d'unités dans l'exposant du degré : il faut donc admettre pour ces racines y deux sortes de déiermînations , l'une arithmétique, tirée immédiatement de l'opération numérique , et les autres algébriques. Avec cette distinction on éclaircit quelque»

propositions paradoxales du calcul dics radicaux , qui n'avaient été ni indiquées ni expliquées. Quand ces quantités sont réelles et que l'on n'envisage que leur détermination numérique, les règles de leur calcul, qui^ à proprement parler^ n'a pour objet que de transposer l'extraction après la multiplication ou la division, lorsqu'elle est indiquée avant, se déduisent d'une simple élévation aux puissances convenables; mais, dans tous les autres cas, il faut substituer aux radicaux les équations a deux terqies, dont ils représentent les racines.

Préparée par la décomposition des éq nattions à deux termes , c^lle des équations complètes n'est plus aussi abstraite. Le nombre des racines dont elles sont susceptibles y h ratspn

SUR L'ENSEIGîfEMIiNT. 263

de leur degré, s'offre de lui-même par Taaalogie des cas particuliers qui ont été examinés en détail; et le sens dans lequel il faut prendre les diverses équations du premier degré, fournies par la décomposition d'une équation quelconque dans ses facteurs, n'est plus ambigu, puisque l'on voit avec évidence qu'elles ne doivent avoir lieu qu'alternativement. Sur ce point, la plupart des livres élémentaires sont en défaut, en affirmant comme une vérité évidente par eUe-même, que toute équation a autant de racines qu'il y a d'unités dans son exposant, et cela, parce que le produit d'un nombre égal de facteurs binômes prend la forme du premier membre d'une équation de même degré ; car il ne suffit pas qu'il y ait identité de formes entre deux quantités, pour qu'elles puissent être les mêmes, il faut encore qu'il y ait identité dans tous les termes dont elles sont composées ; et lorsqu'on veut chercher à démontrer cette dernière identité, on retombe sur la difficulté d'où l'on était parti , fjvii consiste à prouver qu'il existe toujours, soit un nombre, soit un symbole imaginaire, tel f{u'en le soumettant aux opérations indiquées dans le premier membre de l'équation proposée, il rende ce membre égal à zéro. Voilà ce qu'il ne faut pas dbsimuler aux élèves, lorsqu'on veut ne leur donner que des notions exactes.

â64 ESSAIS

La force de l'analogie y qui n'exerce pas moins son pouvoir dans les Mathématiques que dans les autres sciences , a fait regarder oonmie suffisamment établie une remarque à laquelle aucun cas particulier n'avait présenté d'exception ; mais encore faut-U montrer le véritable état de nos connaissances sur ce sujet, d'autant, plus que ce qu'on doit accorder pour ainsi dire à l'expérience, dans cette occasion ^ ne nuit point à la rigueur des propositions sur lesquelles s'appuie la résolution numérique des équations , la seule qu'il soit nécessaire de placer dans les élémens, parce qu'elle est la seule utile dans la pratique , et afin que les lecteurs puissent trouver, au moins par approximation , la solution des problèmes qu'ils sauront écrire analytiquement. En efifet, il suffit de prouver que toutes les fois qu'une quantité quelconque substituée à l'inconnue dans une équation la vérifie , le premier mem*bre de celle-ci est divisible par l'inconnue^ moins la quantité dont il s'agit ; et de là découlent sans peine tous les principes nécessaires, soit pour décomposer une équation dans ses facteurs, soit pour reconnaître si deux équations , renfermant la même inconnue , peuvent avoir lieu ensemble ou s'accorder, ce qui con-< duit à la théorie la plus élémentaire de l'élimi-< nation des inconnues , soit enfin pour parvenir

SUR l'enseignement. ^65

au% conditions que doit remplir tout nombre entier qui est la racine d'une équation , et d'où résulte le procédé pour découvrir les diviseurs commensurables des équations.

La facilité avec laquelle se forme Féquation qui détermine les différences entre l'une des racines d'une équation et toutes les autres, rend ce moyen aussi commode que lumineux , pour trouver des caractères qui fassent reconnaître si une équation a des racines égales ou non ; et c'est à tort que quelques personnes ont cru la considération des équations aux différences des racines, ou aux quarrés de ces différences, trop longue ou trop compliquée pour entrer dans les élémens. Ils n'ont apparemment pas fait assez d'attention à là liaison qu'elle établit entre différentes parties de la théorie des équations , qui n'offriraient sans cela qu'un assemblage de propositions isolées. En vain objecterait - on que ces propositions peuvent paraître à quelques égards plus courtes et même plus élégantes que des méthodes plus générales ; il est impossible de nier que y de , même qu'il y a dans les affaires des dépenses bien entendues qui conduisent à une véritable économie, il y a aussi dans les sciences des longueurs qui abrègent : ce sont celles qui ouvrent une source d'idées' nouvelles, et qui mettent sur la voie de progrès ultérieurs. Enfin

on ne pourra conlesler qu'un corps de doctrine , composé de détails dépourvus de celle liaison qui soulage la mémoire et qui dirige le jugement, ne s'eiTace plus promptement de l'esprit qu'un petit nombre de théories bien liées. Si ces dernières exigent quelque eiFort pour élre saisies, il restera du moins, lorsqu'on les aura oubliées, la faculté d^en comprendre d'aussi difficiles y tandis que le prenier savoir n'aura laissé après lui aucun résultat.

C'est d'après ces principes que j'ai cberohé à introduire , dès les premiers élémens , des considérations fines et délicates , réservée» jus^ qu'à présent aux mémoires, qui semblaient écrits dans une autre langue que les traités ordinaires. Les plantes nouvellement apportées d'un pays dans un autre , éprouvent d'abord quelque difficulté à s'acclimater; mais elles deviennent bientôt, par la succession des indi* vidus de leur espèce , aussi robustes que les plantes indigènes : je suis persuadé qu'il en est de même des idées. Si les considérations par lesquelles j'ai généralisé la démonstration du binôme de Newton , la méthode d'élimination que )'aî présentée d'après Euler et Lagrange, la théorie que j'ai donnée des racines é^le>, et les remarques dont j'ai accompagné b réso-^ hition numérique des équations , partissent abstraites dans ce moment, c'est plutôt parce

SUR i/enseigwement. 267

qiiV)n les compare à des théories fort iacoinplètes, que par leur difficulté propre, qui di-^ minuera à mesure que l'on s'éloignera dos anciennes idées pour se prêter aux nouvelles.

Il était nécessaire de réformer les raisonriemens en usage pour prouver qu'il se trouve toujours une racine entre deux nombres qui , mis à la place de l'inconnue, dansi le premier membre diune équation, donnent deux résul-»

tats de signes contraires, et que le premier terme d'une équation peut toujours être rendu supérieur à la somme des autres. Ces propositions, d'où dérive le procédé pour résoudre par approximation les équations numériques, ont reçu dans les leçons de l'École Normale , une forme qui ne pouyait manquer de perfec-^' tïonner les élémens ; et l'expérience de l'enseignement m'a mis à portée de la simplifier en core, en me procurant une preuve plus simple et plus directe de la seconde proposition énoncée ci-dessus, preuve déduite de cette remarque si féconde, que la différence des mêmes puissances entières de deux quantités , est divisible par la différence de ces quantités.

Déterminé par l'idée que je me' suis (brméo de la véritable élégance, qui consiste à em-« ployer de préférence les méthodes dont la Métaphysique s'aperçoit le plutôt , et exerce plufr utilement l'esprit des élèves, je n'ai placé qu'au

second rang la brièveté du procédé, et dan»

son exposition j'ai taché de tenir un juste milieu entre la prolixité fatigante qui ne laisse rien à faire à l'élève , et l'obscurité qui résulte de la suppression des notions intermédiaires.

Je n'ai pas dû terminer aux équations , des élémens destinés à précéder des leçons de Géométrie. Les anciens qui ne connaissaient point les équations y au moyen desquelles on peut simplifier beaucoup tout ce qui regarde la considération des rapports , y suppléaient par la théorie des proportions. L'usage ayant consacré leur emploi dans la Géométrie, où il parait généralement convenu de conserver des traces de la méthode des anciens, j'ai fait succéder aux équations la théorie algébrique des pro* portions qui sert d'introduction à celle des progressions. C'est à l'occasion de ces dernières qu'il faut, je pense, indiquer la seconde branche de l'Analyse algébrique , c'est-à-dire la théorie des suites. La liaison qu'ont ensemble les progressions poussées à l'infini et le développement des fractions dont le dénominateur est binôme, fait un passage naturel du premier de ces sujets au second ; et il est facile ensuite de donner des idées justes de l'emploi des séries, soit comme valeurs approchées, lorsqu'elles sont convergentes , soit comme simple transformation , par développement ,

SUR l'enseignement. 269

des expressions algébriques, en observant qu'il faut pouvoir alors prolonger ce développement aussi loin que l'on voudi;^ y ou y ce qui revient au ^mêrne^ connaître la loi de ses termes. Quoique plus faciles que celle des équations, ces théories auraient été mal placées avant cette dernière; on les aurait perdues de vue depuis long-temps , lorsqu'il aurait fallu en faire dsage : d'ailleurs l'enseignement pu* blic devient plus généralement utile, lorsqu'on y ménage des repos qui donnent aux élèves un peu arriérés les moyens de se remettre au courant.

J'expose ensuite une théorie analytique des logarithmes , a peu près semblable à celle qu'Euler a publiée le premier dans son Intro^ duction à V analyse de V infini ^ et dont il a développé avec le plus grand soin la partie élémentaire, dans le premier volume de ses Élémens ^Algèbre. Il y prouve l'existence du logarithme de 2 , dans le système dont la base est 10, par un procédé que j'ai mis en analyse, qui est analogue à la résolution numérique des équations, et qui est bien préférable à ces moyens vagues où l'on fait entrer la considération de l'infini , pour ne donner qu'une idée imparfaite de la formation des tables de logarithmes. Lagrange est aussi de cet avis, car il n'a jamais, dans ses ouvrages, donné une autre

origine nux logarithmes; et voici comment il les dcHnit dans ses Leçons sur le Calcul des Fonctions (IV* Leçon , p. aa de Téditiou in-4', et ^9 de l'édition in-8^ imprimée en 1806) :

a On peut exprimer toute quantité variable » par une constante élevée à une puissance M variable; alors l'exposant de cette puissance » devient une fonction de la même quantité , » et cette fonction est, dans le sens le plus gé- "» néraly le logarithme de la fonction proposée, )» d'où l'on voit que les fonctions logarith - » miques ne sont proprement que les récipro- )) ques des fonctions exponentielles. » Ou ne peut assurément rien ajouter à l'autorité des deui hommes célèbres que je viens de nommer; en vain se retrancherait*on sur une prétendue difficulté de rendre ces notions élémentaires : Eulery a répondu depuis long-temps dans l'endroit cité de ses Élémens d'Algèbre, où il ne suppose pour cette théorie que les notions arithmétiques des puissances.

Les formules d'après lesquelles on calcule l'intérêt de l'aident, étant comprises dans celles des progressions et des logarithmes , et les questions relatives à cette théorie ^ formant une des applications les plus usuelles de l'Algèbre, j'ai cru ne pouvoir me dispenser de les traitei^ succinctement; et c'est par là que' je ter^ mine la première partie des élémens de cette

SUR L*KNSEIGNEMENT. 271

science. Les formules de la résolution littérale des équations y beaucoup moins commodes que les procédés approximatifs de la résolution numérique, bornées d'ailleurs aux quatre premiers degrés, et les applications des suites, soit au développement, soit à la recherche des valeurs approchées des fonctions , dont on ne peut obtenir la valeur exacte, forment la tiialière d'cm Complément des Ëlémens d'Algèbre, qui, servant d'introduction à l'analyse transcendante , ne doit être étudié qu'après les élémens de Géométrie, dont l'utilité est beaucoup plus générale.

La manière de diriger les élèves qui suivent le coui'S d'Algèbre, doit être la même que celle qu'on a employée dans le cours d'Arithmétique. 11 convient toujours de leur proposer, sur chaque leçon , une suite de problèmes qUi les exercent alternativement à exprimer par les symboles algébriques, les relations des grandeurs, et à soutenir leur attention dans la pratique des calculs. Je n'ai pas besoin de dire qu'il est indispensable d'établir dans les questions que l'on donne à écrire analytiquement , c'est-à-dire à mettre eii équation , une difficulté graduelle qui ne surpasse point la portée moyenne de l'intelligence des jeunes gens, et surtout, quand on arrive à la Bn du cours, de joindre toujours au problème dont

la difficulté répond à celle des matières, un problème facile , afin que les élèves qui suivent avec peine, ne restant pas sans occupation, ne soient point découragés^ et acquièrent une habitude du calcul telle que , dans une seconde année , leur attention puisse se fixer entièrement sur les principes qui leur ont échappé dans la première. #

Une précaution bien essentielle , c'est de montrer par de fréquentes traductions en nombres , le sens des signes algébriques qui pourraient être confondus , comme , par exemple , les coefficiens et les exposans. Rien n'est plus ordinaire que de voir les commençans opérer sur les uns comme sur les autres , et éprouver beaucoup de peine à concevoir la différence des résultats qu'ils obtiennent dans ces deux cas. £n général, j'ai remarqué que le plus grand nombre de ceux qui étudient l'Algèbre , n'est arrêté que faute d'entendre bien nettement l'acception de chaque signe; et l'on empêche cette confusion en faisant convertir en nombres beaucoup d'expressions algébriques , parce que la différence des opérations qu'il faut effectuer dans cette conversion , met en évidence celle des symboles par lesquels elles sont indiquées>

Ce que le professeur fait exécuter à ses disciples est conseillé dans le livre, après en avoir donné un exemple; mais je n'ai jamais pensé

SUR l'enseignement. 2jZ

qu'il fallût charger un ouvrage d'exemples que tout lecteur intelligent peut se donner luimême d'après ceux qu'il a vus, et qui tiennent la place de preuves et de remarques qu'il ne saurait suppléer. A cet égard même , il est naturel qu'un écrivain soigneux ne s'en repose pas tout-à-fait sur les maiires, auxquels il abandonne volontiers le choix des exemples. Je fais cette obseiTation parce que j'ai entendu des étrangers , des Anglais surtout, reprocher à nos traités de manquer d'exemples et d'abonder en théories, tandis que dans les leurs on ne trouve que des exemples, et rien ou presque rien sur la théorie , ce qui me paraît , j'ose le dire , un grand abus. Dans ces livres , comme dans: beaucoup d'autres, où l'on a négligé de faire ressortir l'esprit et le but des méthodes, on peut apprendre le mécanisme du calcul algébrique; mais on n'en saisira point la métaphysique, sans laquelle néanmoins cette science ne paraît qu'un véritable métier dénué de tout intérêt pour les têtes pensantes.

3*. Élémens de Géométrie. Si la difficulté de faire de bons élémens , dans quelque science que ce soit , est très grande , il y a plusieurs raisons qui l'augmentent encore à l'égard de ceux de la Géométrie : d'abord, la concurrence avec un auteur revêtu du sceau de l'aptiquité

Ess. sur VEns. i8

^74 BS8ÀI5

(Ëuclide)y toujours dangereuse pour un auteur moderne , quelques raisons qu'il puisse apporter en faveur du plan qu'il adopte , ensuite l'obligation que l'on s'est imposée , pour suivre l'exemple des anciens, de n'employer que la méthode synthétique, dans un traité qui doit faire partie d'un cours composé presque en entier dans la méthode analytique, et destiné à des lecteurs qui ne feront guère usage que de celle-ci. On peut donc crainqre paiement d'être blâmé par les partisans des formes anciennes, pour s'être écarté de la rigueur qu'elles prescrivent dans les raisonnemens , et par ceux qui pensent que ces formes minutieuses sont propres seulement à embarrasser l'esprit, qu'on ne saurait trop habituer aux procédés analytiques, puisqu'ils constituent la méthode d'invention. Le milieu à saisir pour mériter le moins possible ces reproches, a été déjà indiqué par d'Alembert , dans ses ilfelanges de Littérature j et semble résulter de l'observation d'un petit nombre de règles posées par Pascal , toujours admirable dans la partie philosophique de ses pensées. Ces règles

sont :

I*. N^entt^prendre de définir aucune des

choses tellement connues d* elles 'mêmes ^ çWon

TÛait point de termes plus clairs pour les ex^

pliquer;

SUR l'enseignement. 276

a*. N^ omettre (i) aucun des termes un peu obscurs ou équivoques , sans définition;

3*. N'employer dans les définitions que des termes parfaitement connus ou déjà expliqués;

4*. IT omettre aucun des principes nécessaires^ sans avoir demandé si on t accorde, quelque clair et évident qu^ il puisse être;

5*. Ne demander en axiomes que des choses parfaitement évidentes déliés-mêmes;

6**. N'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement évidentes déliesmêmes , qu'on n^ait rien de plus clair pour les prouver;

7°* Prouver toutes les propositions un peu obscures y en n'empl(yjrant à leur preuve que des axiomes très épidens deux ' mêmes , ou des propositions déjà démontrées ou accordées.

8*# N^abuser jamais de Véquivoque des termes , en manquant de substituer mentalement les définitions qui les restreignent et les ex^^ pliqUent (2).

(i) N^omettre signifie évidemment ici ne laisser.

(7) Le morceau dont les règles ci-dessus sont tirées, a paru, pour la première fois, dans l'article 1** d'une (édition des Pensées de Pascal, donnée en 1776, par Condorcet, et très remarquable par lek notés de réditeur et par l'ÉIogé de Pascal qu'il a mis à la tête. Yoltaire fut si charmé de cet ouvrage, qu'il le fit

Ce qui peut cependant excuser ceux qui ont péché contre quelques-unes de ces règles, c'est peut-être la difficulté de saisir le point où il faut s'arrêter pour se conformer à toutes en même temps , parce qu'il s'en trouve qui paraissent d'abord contradictoires; mais cependant il est un moyen sur de distinguer les propositions qui ont besoin d'être prouvées , de celles qui , tenant immédiatement aux sensations les plus répétées^ et n'étant, à proprement parler, que des données d'expérience, n'ont besoin que d'être rappelées à l'esprit du lecteur. Si la proposition dont ou veut faire voir la vérité est évidente par elle-même , on la retrouvera au moins implicitement dans le raisonnement que l'on emploie pour la démontrer, et l'analyse exacte de ce raisonnement fera toujours reconnaître un ciercle vicieux. Pour se convaincre de ce que j'avance, il suffit ^e se rappeler que toutes rtos connaissances tirent leur origine de nos sensations. Notre âme paraissant n'avoir en elle-même que la faculté d'apercevoir ces sensations, de s'y rendre attentive, de les comparer et d'en dé-

réimprimer en 1778, avec une préface et de nouvelles notes de lui. Le morceau cité ci>dessus se retrouve aussi dans le tome II des Œuvres de Pascal, en 5 vol., page 47.

SUR l'eNSKIGNEMENT. :i'J']

duire.des rapports , ou , ce qui revient au même, de former des jugemens individuels ou particuliers, généraux ou abstraits, c'est en vain que Ton essaiera de définir ou de prouver le résultat immédiat de la sensation qui nous fait con-naître le plus court chemin pour aller d'un point à un autre. On désigne ce chemin par le nom de ligne droite^ et c'est à l'énoncé de cette propriété que doit se borner la définition de la ligne droite, définition qu'il faut ranger parmi celles qui ne tombent que sur les mots (i).

(i) £q parlant ainsi, je ne prétends point blâmer les auteurs qui ont essayé d'analyser les notions premières, et de les présenter sous des faces qui n'avaient point encore été aperçues. Bertrand, de Genève, me parait un de ceux dont les efforts à cet égard ont été lés plus heureux. Il commence le second volume de son Déyeloppement nous^eau de la partie élément taire des Mathématiques (in-4"» Genève, 1778), par des réflexions très lumineuses sur l'espace, le plan et la ligne droite. Après avoir remarqué que l'espace est nécessairement homogène , c'est-à-dire « que la por - » tion d'espace qu'occuperait un corps en un lieu, ne » différerait pas de celle qu'il occuperait ailleurs ;• • • y> que l'espace est autour d'un corps placé quelque » part 9 ce qu'il est autour du même corps placé autre M part,» il ajoute : u... De cette notion de l'espace, il » suit qu'on peut le concevoir divisé en deux parties )) tfiUes^ qu'on ne puisse rien dire de Vune qui ne puisse » également se dire de Vautre f telles de plus, que leut

Lorsque la manie de disputer sur tout était dans sa plus grande force, et que les sophismes

» limite commune ait à chacune ^telles les mêmes n rapports, soit qu'on la considère en son entier, soit n qu'on n'en considère qu'une partie. C'est cette limite » que l'on appelle /i/a/i y et le plan , comme l'espace, » peut être conçu divisé en deux parties telles, qu'on »» ne puisse rien dire de l'une qui ne puisse égale-' M ment se dire de Vautre; telles de plus, que leur N limite commune ait à chacune d'elles les mêmes » rapports, soit qu'on la considère en son entier, soit » qu'on n'en considère qu'une partie, »

11 me semble que l'idée principale contenue dans les obseryations que je viens de citer, pourrait être présentée ainsi : Les deux faces dun plan sont sem-* blables , c'est-à-dire que , si l'on applique deux planf l'un contre l'autre, en opposant telle face que l'on voudra du premier à telle face que l'on voudra du second, ils coïncideront exactement, et ne compren-* dront aucun espace entre eux , ce qui ne saurait arriver à deux surfaces qui ne seraient pas planes. Le même caractère convient à la ligne droite , et la distingue des lignes courbes ; car quand les lignes aà et AB se confondraient exactement^ /'""""^N: B lorsqu'on présente le côté convexe de ^ /

l'une au côté concave de l'autre , elles

cesseraient de le faire si l'on opposait

les côtés semblables, et compren-^

draient entre elles un espace C, De même, si Ton

voulait vérifier une règle, on pourrait appliquer le

bord de cette règle contre deux points^ et S, d'abord

SUR L ENSEIGNEMENT. 2jg

multipliés de quelques philosophes peu digues de ce nom , avaient rendu problématique l'existence de l'espace, des corps et du mouvement, on élevait une foule de difficultés sur la nature

en dessous, et tracer exacteaient la ligne marquée par ce bord, puis retournant la règle , appliquer le même bord aux mêmes points ji et B^ mais en dessus, et voir s'il coïncidé jpaifaitement avec la ligne tracée. Il suit de là que toutes les parties dun plan ou dune droite sont semblables aux parties de même étendue de tout autre plan ou de toute autre droite, quelle que soit d ailleurs cette étendue ^ mais cette dernière propriété appartient en outre aux sphères et aux cercles décrits du même rayon.

En partant de ces définitions, Bertrand a prouvé plusieurs propositions que Ton ne pouvait démontrer sans leur secours, ou que Ton a coutume de regarder comme des axiomes; entre autres^ que la ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre. Malgré ces avantages, qui résultent aussi d'une définition de la ligne droite, donnée par Laplace« dans le Journal des séances de V École Normale , j'ai persisté dans la marche que j'avais prise d'abord, parce que je suis convaincu que la brièveté de la ligne droite est encore plus près des notions premières que les autres définitions que l'on peut donner de cette ligne, quoique fort simples en elles-mêmes ; mais j'invite les lecteurs qui veulent approfondir les principes de l'Analyse et de la Géométrie élémentaire , à consulter l'ouvrage de Bertrand, auquel je suis redevable de plusieurs idées importantes.

ja8o ESSAIS

de retendue , considérée comme l'objet de la Géométrie. Rien de ce qui n'est pas corps ou de ce qui ne tient pas à un corps , ne tombe sous nos sens ; un corps ne saurait être privé de l'une de ses trois dimensions sans cesser d'exister : et cependant on regarde successivement le point comme n'ayant aucune étendue , la ligne comme étendue en longueur seulement , la surface comme dépourvue d'épaisseur^ et ne retenant que les dimensions en longueur et en largeur.

On a disputé beaucoup pour savoir si les points, les lignes et les surfaces n'étaient que des idées abstraites et n'ayant aucun objet hors de nous. Quelques esprits faux , égarés par des raisonnemens subtils , ont révoqué en doute la certitude et l'utilité de la Géométrie, en se fondant sur la non -existence des parties de rétendue dont elle enseigne les propriétés. Il me semble qu'on peut prévenir ces difficultés en faisant voir, au commencement d'un ouvrage élémentaire, que le point, la ligne et la surface existent réellement , quoiqu'ils ne puissent être conçus séparément du corps dont ils sont les attributs. En effet, quelque corps que l'on examine , il est nécessairement terminé , sans quoi il ne serait pas distinct de l'espace indéfini ; les limites qui le. bornent sont des surface^ qui ont pour limites des lignes , lesquelles ont

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elles-mêmes pour limites des points. Non-seulement ces limites existent, mais elles tombent sous nos sens, puisque ce n'est que par leur moyen que nous reconnaissons la figure des corps. « Comme nous ne pouvons que modifier » cette figure , nos opérations sfeflfectueront tou- » jours sur des corps ^ et jamais sur des lignes )) ou sur des surfaces; mais leur résultat s'éy> loignera d'autant moins de celui du raison- » nement, que nous apporterons plus de soin » à diminuer les dimensions étrangères à la li- » mite que nous avons considérée sur le corps.» (Êlémens de Géométrie, n* i.)

Par la pensée, nous atteignons cette limite, et par le calcul, nous pouvons en approcher indéfiniment , tandis que l'exactitude des opérations graphiques trouve ses bornes dans l'imperfection inévitable des instrumens.

Les considérations précédentes sont très bien placées à la tête des Élétiiens de Géométrie, pourvu toutefois qu'on ne leur donne point trop de développement, afin de ne pas tomber dans des discussions qui feraient perdre de vue l'objet principal.

Lorsque la notion de l'étendue est approfondie autant que l'exige la nature du sujet , on entre en matière par le petit nombre de définitions nécessaires pour l'in,telligence des premières propositions; car il est inutile, et

sSa ESSAIS

même ridicule, d'entasser. des axiomes à la léte d'un ouvrage y puisque ces propositions étant évidentes par elles-mêmes , doivent être reconnues pour telles par tous les bons espiîts, lorsqu'on les leur énoncera y et que par conséquent elles ne les arrêteront dans le cours d'aucune des démonstrations.

Parmi les définitions qu'il convient de donner en ce moment, celle de l'angle mérite la plus grande attention ^ on en trouve une très vicieuse dans Euclide, et il paraît trè$ diP<ficile d'en donner une qui soit parfaitement exacte (i).

En effet , si l'on dit que l'angle est la rencontre de deux lignes , on emploie une expression qui ne rappelle que l'idée du sommet ; en définissant l'angle par l'inclinaison de ces lignes y on fait un pléonasme ; enfin si l'on entend le mot angle de l'espace renfermé entre deux droites qui se coupent, où faudra-t-il arrêter cet espace? Le fermer par un arc de cercle^ comme le propose d'Alembert, c'est introduire une idée surabondante.

Mais est-il indispensable de définir l'angle ? Ne suffit-il pas de le montrer, et d'observer

(i) Voyez le chapitre IV de la quatrième partie de la Logique de Port-Royal.

SUR l'enseignement. a83

ensuite que deux angles sont égaux lorsqù'é* tant posés l'un sur l'autre , leurs côtés coïn* cident chacun dans deux points, et qu'alors ils ne cesseront point de coïncider, quelque loin qu'on les prolonge? Il suit évidemment de là que la grandeur d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés» Quand ces remarques seront bien entendues, on aura la notion complète de l'angle 9 et toutes les conséquences de cette notion seront facilement saisies.

Quelques auteurs ont fait des efforts inutiles pour démontrer dans toutes ses parties la théorie des parallèles ; d'autres l'ont traitée avec une négligence vraiment impardonnable. 11 me semble qu'il y a entre ces deux extrêmes , un milieu qui remplit toutes les conditions que l'on a droit d'exiger dans les Élémens de Géométrie. Voici l'ordre des propositions qui m'a paru le plus pVopre à atteindre ce point :

i'. Définir les parallèles comme des lignes perpendiculaires à une même droite , parce qu'elles ne se rencontrent pas ;

a*. Rappeler que , par la sensation qtti nous fait discerner la ligne droite de toute autre ^ ou reconnaître si un alignement est bien pris , nous sommes assurés que toutes les lignes droites qui ne sont pas perpendiculaires à la sécante, iront rencontrer celles qui lé sont, puisque nous apercevons , par la sensation

même, le point où doit se faire cette rencontre ( I ) ;

3'. Conclure de là que, si une perpendiculaire est commune à deux droites , toutes les perpendiculaires sur l'une d'elles seront en même temps perpendiculaires sur l'autre ^

4*. Démontrer , avec Robert Simson , que toutes les lignes qui font, avec une sécante, des angles correspondans égaux , sont perpendiculaires à une même droite, et réciproquement.

Après la difficulté qu'offre la théorie des parallèles, se présente celle qui tient aux rapports incommensurables dans les lignes proportionnelles. Euclide l'éluda en déduisant de la comparaison des aires des triangles , la proposition fondamentale de cette dernière théorie ; mais il est résulté de là , dans l'ouvrage de ce père de la science, une espèce de désordre , dont beaucoup de bons esprits ont été choqués (2). Arnauld (de Port-Royal), non-

(i) J*ai tiré de l'ouvrage de Bertrand une preuve assez satisfaisante , à ce qu'il me semble , de la proposition ci-dessus , qu'il n'est d'ailleurs permis de chercher à démontrer que lorsqu'on peut le faire avec

brièveté.

(2) A leur tête est le judicieux Ramus, qui sut se dégager du respect superstitieux que* la plupart des savans de son siècle avaient pour les anciens. ( Voyez P, Rami Scholarum mathematicarumy lib. 3.)

SUR l'enseignement. a85

seulement s'en est expliqué avec force dans la Logique, ou VArt de penser (4* part., chap. ix) ; mais il a encore entrepris de corriger ce défaut dans ses Nouveaux Èlémens de Géométrie^ imprimés pour la première fois à Paris, en 1667. Cet ouvrage est, je crois, le premier où Ton a rendu l'ordre des propositions de Géométrie conforme à celui des abstractions, en considérant d'abord les propriétés des lignes, puis celles des surfaces, et enfin celles des corps. Quoiqu'il ne soit pas exempt de reproches, et que l'on puisse en conclure que l'auteur n'était pas assez versé dans la Géométrie pour en perfectionner les détails, on n'y saurait méconnaître les observations et le coup d'œil d'un esprit supérieur, qui conçoit à la première vue l'ensemble d*un sujet et l'enchaînement de ses parties.

Ce serait un travail intéressant pour l'histoire de la science, que de comparer successivement les traités élémentaires qui ont obtenu dans leur temps un succès marqué, et d'en tirer en quelque sorte la chronologie des propositions. On retrouverait ainsi l'origine de quelques propositions qui ont été oubliées pendant un certain temps, et qui ont reparu depuis comme nouvelles; on apercevrait même quelquefois des pas rétrogrades, parce que la .mode, ou des circonstances particulières dans

la position d'un auteur, peuvent y jusqu'à un certain point, donner de la vogue à ses ouvrages, ou les condamner à l'obscurité. Les Élémens de Géométrie fourniraient en ce genre des remarques piquantes ; et je ne doute pas que l'on ne distinguât alors ceux d'Arnauld , qui paraissent oubliés aujourd'hui. On y remarquerait surtout l'idée de démontrer immédiatement sur les lignes , que les pa/nllèles menées par les points pris à égale distance sur les côtés dun angle , coupent aussi l'autre côté en parties égales^ proposition dont ceux qui ont suivi l'ordre qu'il avait adopté, ont fait depuis la base de la théorie des lignes proportionnelles. A la vérité, la plupart d'entre eux n'ont mis aucune exactitude dans leur raisonnement ; mais s'ils en ont usé ainsi, ce n'est pas qu'il ne fût très aisé de faire mieux : car l'évidence n'est pas tellement propre à l'enchaînement établi par Euclide, qu'on n'en puisse trouver un qui soit aussi satisfaisant, et cela en faisant usage des moyens employés par Euclide lui-même.

En effet, s'il prouve la proposition fondamentale de la théorie des lignes proportionnelles> en toute rigueur, ce n'est qu'en s'ap^ pnyant sur le rapport ée& parallélogrammes de même hautetir, dans lequel peut se rencontrer aussi l'incommensurabilité ; et les rai-

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sonnemens dont il s'est servi pour démontrer cette dernière proposition , sont propres à établir directement la vérité de l'autre, dans quel-* que hypothèse que ce soit. Si ces raisonnemens sont bons en eux-mêmes, pourquoi ne pas les répéter dans toutes les circonstances où ils sont applicables? On doit hésiter d'autant moins à les employer pour les lignes proportionnelles , qu'ils servent aussi à démontrer rigoureuse-^ ment que, les angles sont proportionnels aux arcs de cercle, comme l'a fait, dès 1778, Bertrand, de Genève, dans un ouvrage que j'ai déjà cité, et qui prouve incontestablement que l'on peut accorder la rigueur avec l'ordre ; ce qu'on s'est encore obstiné depuis à regarder comme impossible.

Tous ceux qui ont approfondi ces matières , savent que la difficulté dont je viens de parler n'est due qu'à la nature de l'infini, qui entre toujours, soit explicitement, soit implicite^ ment, dans le passage du commensurabte à l'incommensurable. Le moyen le plus simple pour éviter la considération de l'infini est celui des limites ; mais , sans recourir à l'idée de limite , qui peut paraître , à quelques égards , étrangère aux Élémens, les écrits d'Euclide et d'Archimède fournissent èe% considérations dégagées absolument de l'infini, et réunissant à une très grande évidence, l'avantage de pré-^

senter dans toute sa pureté , la méthode synthétique qui semble consacrée aux Élémens de Géométrie , exclusivement à toute autre.

D'ailleurs il faut convenir que rien n'est plus élégant que le raisonnement qu'ils appliquent à ces cas y et qui consiste à prouver que la quan tité qu'ils ne peuvent atteindre, ne saurait être moindre ni plus grande que la valeur qu'ils lui assignent.

C'est par une pareille forme de raisonnement qu'on rend aux démonstrations relatives à la mesure du cercle et des corps ronds , la rigueur essentielle à la Géométrie , parce que la difficulté qu'offi*e le pasi^age des lignes droites aux courbes, qui se rencontre ici, tient, comme la précédente, au passage du fini à l'infini ; mais les principes par lesquels il s'effectue étant communs à toutes les propositions du même genre, doivent être mis à part, afin qu'on distingue mieux ensuite ce qui est particulier à chaque proposition. Tel est le parti que j'ai pris ; et comme ces principes peuvent s'appliquer à d'autres grandeurs que celles que l'on considère dans les Élémens de Géométrie^ il m'a paru convenable de rendre leur énoncé indépendant des lignes, ce que j'ai fait dans les deux théorèmes ci-dessous.

1®. LorsqiC on peut prouver que la différence de deux grandeurs invariables est plus petite

SUR, l'enseignement. 289

quune grandeur donnée y quelque petite que soit celle-ci, il en résulte que les deux premières grandeurs sont égales entre elles.

2**. Lorsque trois grandeurs sont telles que la première y variable, surpassant toujours les deux autres , qui ne changent point , peut ap- , procher en même temps de toutes deux^ aussi près qu'on voudra, ces deux dernières grandeurs sont égales entre elles.

Qiioique ces théorèmes De soient implicitement que les deux propositions fondamentales de la méthode des limites, je me suis convaincu que le dernier, qu'on n'avait pas encore présenté sous la forme que je lui ai donnée, rendait plus symétriques, simplifiait . et abrégeait beaucoup toutes le^ démonstrations où il était nécessaire. Au reste t quand i on a étudié ce sujet avec quelque attention, on s'aperçoit bientôt que toutes les tournures qu'on emploie pour sauver le passage du fini à l'infini renferment le même fond d'idées.

11, fut toujours montrer que plus les figures rectilignes approchent de la figure curviligne que l'on y compare, plus leur mesure approche de celle que l'on assigne à cette figure, et qui n'a sûrement été découverte qu'en cherchant vme méthode d'approximation , au bout de laquelle s'est offerte par induction la valeur rigoureuse.

• Es s. surVEns. iq

Je n'excepta point de celte remarque le moyen ingénieux, indiqué dans les Êlêmens d'Euclide (ZtV. XII, prop. !i6), et appliqué par Maurolicus , géomètre sicilien ( ^o^. p. 5 et suiv, de «on édition dî^jirchimhde ^ imprima à Panorme en i685), de la mêmQ manière qu'il Fa été depuis par Legendre, dans ses Èlémens de Géométrie^ En décrivant entre deux circonférences un polygone qui, circonscrit à la plus petite, n'atleî<;ne pas la plus grande, ou qui| inscrit; à la plus grande, ne touSbe pas la plus petite, on peut, à la vérité j^ montrer des termes de la différence hypothétique que l'on met entre la mesure assignée au cercle, et celle qu'il doit avoir. Ici l'infini se trouve dans le nombre illimité de constructions successives , dont il faut concevoir la possibilité pour descendre jusqu'au dernier degré de petitesse que l'on pourrait supposer à la différence dont il s'agit. C'est là , je ne dis pas une difficulté, puisqu'un esprit juste saisit sans peine cette possibilité, mais une condition inséparable de toutes les démonstrations, et que le mot infini comprend aussi, puisqu'il en est l'expression abrégée. La forme de démonstration de Maùrolicus , assez anciennement connue pour être devenue la propriété de tout le monde , ne m'a pas paru, malgré l'avantage qu'elle a de parler aux yeux , préférable au tour abstrait

SUR L'EirSÉfiQNEMENT, ^gi

dont je me suis servi ^ parce qu'elle exige que Ton répète la même construction pour chacune des propositions auxquelles on l'applique. J^en ai cependant donne en note une idée succincte, de sorte que le lecteur a, sur ce point essentiel des élémens^ le choiiL dé plusieurs considérations qui s'éclairent réciproquement, et qui préparent a la véritable métaphysique de l'application du calcul différentiel aux courbes*

Le principe de la superposition j qui sert à prouver l'égalité de deux figures planes , devient insuffisant lorsque l'on considère les corps avec toutes leurs dimensions. Il s'en trouve qui iont construits sur les mêmes parties, qui ont le même' voïume, et , qu'on ne peut néanmoins faire coïncider, à éause d'un renversement de ces parties ; de là résulté une espèce d'égalité presque évidente par elle-même, mais qu'il faut bien distinguer de l'égalité absolue ou de Videntité : les deux prismes triangulaires qu'on obtient en décomposant un parallélépipède sont dans ce cas. C'est à Robert SîmsoU qu'on doit la remarque dé cette imperfection des Élémens , que Legendre dans les notes de la seconde édition de ses Élémens de Géométrie, a fait disparaître d'une manière très élégante , et qui a été'depuis corrigée plus simplement par une démonstration

immédiate de l'ëgalité dés deui prismes dont on vient de parler.

Il faut remarquer, au reste, qu^elle n'existerait pas dans un ouvragé où l'on prouverait rigoureusement, au moyen de leur division en tranches, que deux prismes de même base et de même hauteur sont égaux en volume; mais ces considérations étant liées, au moins împUcitement , avec l'infini , pourraient être regardées comme indirectes. G^tte marche aurait d'ailleurs l'inconvénient de rompre l'analogie qui doit se trouver entre la théorie des aires et celles des volumes, et que la similitude des démonstrations sur lesquelles reposent l'égalité des parallélogrammes et celle des parallélépipèdes, lorsqu'ils ont même base et même hauteur, met bien en évidence.

La conservation de l'analogie entre les parties d'un même traité, est de la plus haute importance , puisqu'en même temps qu'elle aide la mémoire du lecteur, elle l'accoutume à généraliser ses idées. £n effet, depuis qu'on a cultivé avec quelque étendue, la Géométrie dans l'espace revêtu de ses trois dimensions, on a remarqué que la plupart des propriétés des lignes et des figures tracées sur un même ]^lan, n'étaient que des cas particuliers de, celles des lignes, des plans et des corps, considérés dans l'espace; et il est de-

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venu indispensable de traiter, autant qu'il est possible, dans le même ordre, et par des moyens semblables , la partie de la Géométrie où l'on n'a égard qu'à deux des dimensions de l'espace, et celle où l'on embrasse les trois à la fois. La conformité serait entière par rapport aux mesures des aires et des volumes , si les trois tétraèdres dans lesquels se décompose le prisme triangulaire étaient égaux en tout , comme le sont les deux teiangles qui forment le parallélogramme; mais,>^n cédant à la nécessité dans cette circonstance, il convient au moins de conserver la similitude dans la succession des propositions et dans leurs énoncés. En général, ces démonstrations, qu'on a quelquefois abrégées par la considération de l'infini, exigeant des attentions délicates, et demandant que l'on insiste beaucoup sur la théorie des plans et des corps (ou soKdes), accoutument les jeunes gens à^se représenter les formes des corps et à imaginer de nouvelles combinaisons de ces formes. Cet exercice, trèscapable de fortifier l'attention, utile à tous ceux qui peuvent avoir à diriger des construc-^ tions , à concevoir des machines , ou à se rendre compte de leur effet , d'après un dessin ou une description, est, par tous ces motifs, bien préférable à des raisonnemens vagues , tels que ceux que l'on trouve dans les JïfeW/^