ESSAI

de Géométrie deBézout, qui peuvent être répété$ sans être compris (i).

Oq doit encore h Robert Simsoa d'autres reoiarqueg sur tes conditions qui .assurent Fé-

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(i) L'impur fiççiion de cette partk de son cours vient principalemept de ce qu'il a voulu fi^bregev U durée de

ses

examens, tâcke aussi pénible pour celui qui est forcé d'écouter de longues redites» que pour le jeune homme qui lutte contre sa timidité et sa mémoire. €omme il s'agit presque toujours de faij*e le plus grand nombre d'examens dans le moins de temps possible , il y avait beaucoup à gagner en dispensant les caudi^ dats de construire^ des figurea, pour la plupart assezcompliquées ; et Ton pouvait dire qu'eu privant les élèves de ce secours,, on les. formait à faire usage de toute leur sagacité ; mais ce raisonnement,, vrai quelquefois, esta peioe^spécieux ici. La comparaison réitérée des deux méthodes d'enseignement m'a montré qu'Qn ne parvenais que raremeut,. ou pour mie».^ dire j^nxais^à^se former une idée nette de ce qui iregardc les plans et les corps, non-seulement lorsque l'on ne s'aidait point de figures dessinées en perspective, maismême lorsqu'on n'en avait pas vu un certain nombre en relief t en voici les raisons.

On ne s'élève à la notion intuitive des objet» com-^ posés, que pair celle de leurs élémens contenus dans les objets simples y dont il {faut nécessairement avoir eu Ta perception. Le tableau le mieux exécuté manquerait son effet s'il ne représentait que des objets totalement inconnus, ou si le^ spectateur exerçait pour la^ première fois le sens de la vue. Les Hgures dis la Géométrie dans l'espace ne sont guère moins nouvelles.

SUR l'enseignement. 295

galilé et la similitude des corps ; et l'on peut r^arder l'édition qu'il a donnée des principaux livres des Êlémens d'Euclide, comme très importante dans l'histoire de la Géométrie (i).

pour les yeux des jeunes g6ns de quinze à seize ans j qui y ne connaissant point les arts de construction ^ n'ont point remarqué comment la situation des parties assemblées dans des plans différéns s'altère par leslois de la perspective. S'il n'est pas nécessaire de leur mettre sous les yeui toutes les combinaisons des lignes, des corps, considérés dans l'espace, il faut àvt moins leur montrer les principales^ d'après lesquelles ils se figurent les autres, ainsi que Thommé qui n'aurait vu qu'une petite maison ^ parviendrait , eu combinant et amplifiant toutes ses parties, à concevoir la description d'un grand édifice. Voilà pourquoi, dans cette partie de mes cours, à chaque proposition, je faisais voir une figiire en relief, conjointement avec la figure en perspective ; l'élève les comparait, en répétant sur chacune les raisonneniens du livre. Loin de remarquer que cette facilité préjudiciât eu rien à l'habitude de se peindi:e intellectuellement les objets les plus compliqués, j'ai toujours vu qu'elle l'augmentait, et que bientôt on était en écat de se passer pour toujours de la figure en relief, parce qu'on acquérait le sentiment des lois delà perspective, dont j'enseignais alors les principes, ainsi qu'on le verra plus loin.

(i) Cet excellent livre a paru d'abord en 1766, sous format in-4^ et en latin ; l'auteur en a depuis donné plusieurs éditions in -8^ et en apglais, avec des addi^ tiens considérables.

Cet ouvrage el celui de Bertrand , que J'îit déjà cité plusieurs fois, contenaient le petit nombre de propositions qui étaient nécessaires pour éclaircir les poiiits épineux des Élément de Géométrie, par des moyens tirés même des^ écrits des anciens , et ne laissaient plus de changemens importans à faire que dans Tarrangement des propositions. Il est sans doute très probable que nous aurions été prévenus à cet égard comme aux autres, si Tantiquité nous eût laissé des Élémens de Géométrie d,e diverses mains ; mais parce que ceux d'Euclide sont les seuls qui nous soient parvenus , il ne s'ensuit pas qu'ils aient été les meilleurs, ni même les derniers composés ^ et quand cela serait , on pourrait encore , à cause du désordre qu'on y voit régner, croire que la science n'était pas assez avancée à l'époque ou ils ont été rédigés, pour que tous les rapports des propositions aient été remarqués et discutés : c'est donc dans la disposition des Élémens de Géométrie, et dans leur rédaction, qu'il faut maintenant chercher le mérite dont ils peuvent être susceptibles.

L'enseignement répété pendant plusieurs années, de ceux qui font partie du cours à l'usage de l'Ecole centrale des Quatre-Natîôns^ n'a fait que m'attacher davantage à l'ordre que j'y ai suivi j et j'ose croire qu'il est à la

$UR l'ewseignement. 297

fois naturel et rigoureux. J'ai considéré d'abord les lignes droites seulement dans la comparaison de leurs longueurs, sans avoir égard à leur sitjuation respective ; puis passant à la combinaison des lignes , sous ce dernier rapport, j'ai réuni tout ce qui regardait les triangles égaux ou semblables, parce que ces figures sont les élémens de toutes les autres , et déterminent dé la manière la plus simple la position des points et des lignes sur

Tan plan. Je passe ensuite aux polygones égaux oit semblables, et je traite à part la combi-

• naison de la ligne droite et du cercle, courbe dont il n'a été question au commencement que pour sa description , qui sert à marquer tous les points placés'à une distance donnée d'un point donné.

De l'ordre établi dans cette première partie des Ëlémens de Géométrie, dérive, par l'analogie que j'ai déjà fait remarquer, celui qu'il faut suivre pour enchaîner les propositions relatives à la mesure des aires, aux plans et aux propriétés des corps : je ne m'arrêterai dowc pas sur ces dernières parties. Je ferai seulement observer qu'on retrouve par la mesure des aires, des propositions qui se sont présentées dans la théorie linéaire des triangles. De ce nombre est la propriété du triangle rectangle, par rapport au quarré de l'hypolhénuse j: et il

2gl8 ESSAIS

convient de faire remarquer qu'elle est alor» une proposition de Géométrie pure , tandis que quand on y parvient par la similitude de^ triangles, elle suppose les lignes rapportées à une commune mesure, et n'est qu'une prouvasition numérique. Il est d'autant plus à propos d'insister sur celte diflërence, que, d'une part, c'est sous le rapport purement géométrique , et en montrant immédia temetit l'égalité des e^-* paces renfermés dans le quarré construit aur l'hypoténuse, et dans ceux qui sont construits sur les côtés , sans recourir à leur mesure , qu'Euclide a pu placer ce théorème dès le premier livre de ses ÉUmenSj et que d'autre part on a découvert depuis une proposition analogue par rapport au tétraèdre, ou en trois dimensions, mais dont Ténoncé ne peut s'entendre que des nombres (i).

L'usage constant de proposer des problèmes aux élèves, m'a fait sentir l'inconvénient qu'il y aurait de présenter une section entière de théorèmes , et de renvoyer après , les pro** blêmes qui en sont la suite. Cet arrangement,

(i) Le quarré de l'aire de la plus grande face d'un tétraèdre dont trois faces continguës sont rectangles, est égal à la somme des quarrés des aires de ces faces. Ceci lie peut être dit que des secondes puissances des. nombres qui mesurent ces aires. *

Sun l'ebseigneiweni . 299

au moins très singulier ^ pour ne rieri dire de plus, qui fait paraître le problème quand le théorème sur lequel il repose , et qu'il aurait éclairci ou confirmé , est déjà eflPacé de la mémoire^ prive le lecteur des moyens de construire ses figuiies avec quelque soin ; et quoique je sache aussi kien que tout autre, que c'est sur la rigueur du raisonnement ^ et non sur l'exactitude des figures que repose la vérité géométrique , je crois cependant que l'exercice du tracé n'est pas moins nécessaire en Géométrie , que celui du calcul en Arithmétique y puisque les usages les plus multipliés de la première science dépendent de la construction des figures, comme ceux de la seconde, de la pratique des règles.

En elTet, celui qui n'a point l'habitude du tracé est incapable de penser même à s'aider d'un plan pour fixer le projet de construction le plus simple , 00 pour mesurer un terrain tant soit peu irrégulier, opérations qui sont pourtant des plus fréquentes; et au contraire, lorsqu'on a contracté cette habitude, on est en état de rendre une foule d'idées qu^on ne saurait exprimer autrement. De plus, le choix, des proljilèmes de Géométrie <est plus embarrassant que celui des, problèmes d'analyse y parce que ces derniers ne dépendent que d'un: petit nombre de méthodes as^ez générales ^ et

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ayant eutre elles des connexious évidentes^ tandis que les premiers exigent des constructions variées et difficiles à imaginer. On découragerait cependant un auditoire nombreux si l'on ne présentait pas des questions àcces^ sibles à tout le monde ; et celles qui se rapportent au tracé sont de ce genre.

En exposant aux. regards de tous les jeunes gens les figures les mieux faites, il s'élève parmi eux une émulation qui leur donne bientôt le goût de la netteté et de la précision.

Pour les empêcher de construire leurs dessios sur des échelles trop petites ou trop grandes, e£ leur apprendre à assembler des lignes mesurées, les données des problèmes étaient exprimées numériquement en parties d'une échelle convenue, ordinairement le décimètre ; et il y avait toujours une grandeur à conclure de la construction. Dès la première leçon, on cherchait le rapport approché du rayon d'un cercle, avec la distancé de deux points déterminés en portant sur la circonférence deux fois ce rayon ; ce rapport qui est celui du rayon au côté du triangle inscrit , étant connu en nombres , il était facile de juger du degré d'exactitude de chaque opération. Aces problèmes, j'en associais aussi dans lesquels il fallait découvrir ou prouver quelques propriétés analogues à celles, qui avaient fait l'objet des leçons.

T5UR l'enseignement. 3oi

Guidé par ces motifs et par l'expérience, j'ai placé les problèmes du texte à mesure qu'ils résultaient des théorèmes, ou qu'ils étaient nécessaires pour la construction des figures; et j'ai toujours observé que cet ordre était le plus convenable pour tous les esprits»

Le choix de propositions dont se, composent les élémens de Géométrie , est suffisamment indiqué par le but qu'ils ont dans l'enseignement actuel ; ils doivent contenir toutes celles qui sont indispensables pour faire concevoir la marche du raisonnement dans la méthode synthétique appliquée à la considération dés figures, et en même temps celles d'où résultent les opérations de la Géométrie pratique, comme le tracé, le toîsé, etc., mais en se bornant aux formules vraiment usuelles et commodes.

On sera peut-être surpris à ce sujet, que je n'aie pas mis dans mon ouvrage la décomposition de la, pyramide tronquée en trois autres. Je répondrai que le volume du tronc de pyramide est presque aussitôt calculé, en cherchaïtt la hauteur de la pyramide entière, ce qui est plus simple et s'applique plus facilement au cône tronqué : voilà pour ce qui regarde la pratique. Quant au tour de démonstration, j'observerai que la proposition relative à la inesure du prisme triangulaire

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tronqué , que j'ai développée avec soin , repose de même sur la décomposition d'un corps en parties, et sur leur transformation en d'autres qui leur sont équivalentes, et qu'un seul exemple suffit lorsqu'il est bien choisi. Si l'on voulait réunir toutes les propo* sitions qui peuvent paraître curieuses, soit par leur énoncé, soit par la manière de les dé^ montrer, on ferait un livre, agréable peutêtre à quelques lecteurs qui aiment les spé* culations géométriques , et qui ont du temps à y consacrer, mais beaucoup trop volumineux pour servir de texte à des leçons élémentaires. On ne saurait trop le répéter : k mesure que les sciences font des progrès, ît faut sacrifier des détails pour porter l'enseignement au terme où il doit s élever, et pour en proportionner l'étude avec la durée de l'éducation.

Pour ce qui regarde le style des démonstrations, j'observerai qu'on ne doit se servir de la réduction à l'absurde que le moins qu'il est possible* Par cette forme de raisonnement, on peut bien convaincre l'esprit , mais on ne l'éclairé point, au moins dès que la proposi* tiou dont il s'agit est un peu compliquée; cai* lorsqu'elle est très simple, on peut employer sans aucun inconvénient la réduction à l'absurde. Il y a même des cas où il parait diffi-

SUR L*ENSElGNEMEÎfT. 3o3

çdle de s'en passer ; mais alors on doit éviter toute construction de figures y ou , s'il en faut absolument 9 Taire du moins en sorte que l'absurdité de la 6gure ne choque pas trop la vue , parce que cette absurdité empêche l'esprit de suivre le fil du raisonnement, et l'imagination est obligée de faire un effort assez pénible pour redresser la figure de manière à y voir ce que l'on a voulu peindre dans le discçurs. En général, les meilleures preuves sont celles 'qui, en établissant une vérité sur des l^ases incontestables, en font sentir la liaison avec les autres vérités déjà connues, et rendent sensible le passage d'une proposition à celle qui la suit.

On pourrait appuyer les réflexions précédentes de l'autorité de la Logique de Port- Royal, où Ton trouve, sur la rédaction des Élémens de Géométrie, dés observations dont on ne saurait méconnaître la justesse, à moins de croire qu'on doive pousser, dans ces traités , l'imitation des anciens jusqu'à copier des défauts évidens.

Si , en m'assujettissant à suivre, autant qu'il était possible, la liaison des idées, j'ai laisse entrevoir, à dessin, dans ces Élémens, quelques traces de la méthode analytique , je n'en suis pas moins persuadé de les avoir rédigés d'après le sij'le des anciens , parc^ que j'ai

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toujours eu soin de me conforiner à leur genre de démonstration, de m'attacher, ainsi qu'ils Font fait, à la rigueur des raisonnemens^ et de n'employer, pour l'obtenir, que des moyens pris dans la nature du sujet. Je ne pense pas qu'un défaut d'ordre pareil à celui qu'offrent les Ëlémens d'Euclide, et qui rend les propositions plus indépendantes, qu'un grand nombre de réductions à l'absurde et des formes toujours dogmatiques, qui semblent atterrer l'esprit du lecteur, en Tempéchant de rien voir au-delà de ce qu'on lui présente, enfin que des locutions surannées, qui sont à la Géométrie ce que le style du palais est à la raison, soient les caractères essentiels de la méthode synthétique, et constituent ses principaux avantages. Je crois, au contraire, qu'à l'époque où le langage des sciences, dépouillé' de toutes les formes pédantesques, a acquis par-là plus de netteté, et a perdu de sa sécheresse , il faut se garder d'imiter des défauts qui ont été justement relevés dès le dix-septième siècle (vo/ez le chapitre IX de la 4* partie de la Logique de Portr Rçjal)^ et dans lesquels les auteurs de l'antiquité ne seraient assurément pas tombés , s'ils eussent vécu de notre temps.

J'ajouterai que l'on ne doit pas négliger de présenter dans les démonstrations géométriques , ua#xemple des diverses formes du rai-

suK l'esyseignement. 3o5

sonnemént , de montrer comme At les régies de Descartes et de Pascal s'y trouvent observées , et comment la certitude de la Géométrie résulte de la détermination précise des objets qu'elle considère , et dont chacun « ne pouvant être envisagé que sous un nombre de &ces très limité y se prête à des énumérations com-^ plètes , qui ne laissent aucun doute sur le résultat du raisonnement. Des Elémens de Géo* métrie traités ainsi , deviendraient en quelque sorte d'excellens elémens de Logique, et seraient peut-être les seuls qu'il faudrait étudier» Lorsque l'esprit est naturellement juste , il porte avec lui la faculté de reconnaître si une proposition simple est vraie ou non. 11 est beaucoup plus utile d'exercer cette feculté , que de^ disserter à perte de vue sur sa nature» Si l'on voulait remporter le prix de la course , on penserait plutôt sans doute à exercer ses* jambes qu'à raisonner sur le mécanisme de la marche. Les règles, dit Condillac^ sont comme des garde^fous mis sur les ponts, non pas pour faire marcher les voyageurs , mais pour les empêcher de tomber. Si cela est, ainsi qu'il n'est pas permis d'en douter, il &ut que les règles soient fort simples et en petit nombre. Celles de Descartes et de l^ascal me paraissent suffisantes pour les esprits droits; quant aux

autres, la Géométrie ne saurait exister pour eux. Ess. sur tEns, ao

3o6 ESSAIS

Il reste encore à discuter ici la place que doivent occuper, dans un cours de Mathématiques, les Élémens de Géométrie. Doivent* ils précéder l'Algèbre ou lui succéder ? On ne saurait fisiire à cette question une réponse absolue : il faut distinguer k quels élèves le livre est destiné.

La Géométrie est peut-être, de toutes les parties des Mathématiques , 'celle que l'on doit apprendre la première; elle me parait très propre à intéresser les en&Qs, pourvu qu'oa la leur présente principalement par rapport à ses applications , soit sur le papier, soit sur le terrain. Les opérations de tracé et de mesu' rage ne manqueront pas de les occuper agréablement , et les conduiront ensuite , r comme par la main , au raisonnement. Ce n'est pas ici le lieu de développer ces idées , qui sont ex* posées d'une manière aussi vraie qu'éloquente , vers la fin du a* Livre ^ Emile, Les Élémens de Géométrie de Glairaut ^ ordonnés shjlvant la méthode des invetitec^rs , sont les plus ooiiver nables pour diriger le maître dans .cette cir^* constance; car il ne faut pas de livte pouit> l'ér lève, et il me semble presque impossible d'en faire pour le premier âge , dans quelque science que ce soit. Le défaut de rigueur dans les dé-** monstrations et le peu d'étendue. de cet ouvrage , n'ont pas permis sans doute qu'il devint

SUR l'enseignement. 3o

classique ; mais ces omissions , qui ont des inconvéniens à l'égard des élèves dont la raison est. déjà formée , sont précisément ce qui le rend propre à l'enfance, qui n'aperçoit d'abord la V vérité, pour ainsi dire, «jue p^Vntimént et que des idées trop métaphysiques rebute^ raient dès les premiers pas. EnHn , la Géométrie suppose peu ou presque point de connaissances «n Arithmétique, et offre d'ailleurs les moyens de rendre palpables les opérations de cette science : cela est trop évident pour ceux qui sont susceptibles de quelque attention. Ce sont peut-être ces raisons qui ont porté Karsten, auteur d'Élémens très répandus en Ailemangne, à commencer son ouvrage par la Géométrie ; mais si les Élémens de Géométrie sont ainsi placés à la tété du cours il semble qu'il faut les mettre après l'Aleèbré lorsqu'on les destine à des jeunes gens déjà avancés en âge , dont ci,, veut développer ie jugement, et que l'on se propose d'accoutumer aux formes sévèces du raisonnement. La Géométrie , présentée sotts ce dernier point de vue, est iûcontestablement plus difficile que les élémens d'Algèbre, dont elle peut tirer d^Ueurs. des secours utiles^ejt je pense que daw tous les cas,. a n'y .-jamais de raison pour mettre la Géométrie entre l'A rithniétique et l'Algèbre , parce qu'il ne faut pas séparer

3o8 ESSAIS

ces deux parties qui, à ^Topremtnt parler, n'en forment qu'une, savoir, la science du calcul des grandeurs , ou t Anthmétique uni" i^erselle (i).

4*. ComplémefU des ÉUmens de Géométrie.

Quoique cet ouvrage ne fit pas essentiellement partie du cours élémentaire de Géométrie , )'en développais les commencemeus , lorsque j'étais parvenu à la section des plans, où je n'avais plus de questions à proposer, comme dans les sections précédentes. En effet, la plus grande partie des Élémens de Géométrie est consacrée à ia solution des problèmes qui naissent des propriétés que les lignes situées dans

(i) L'opinion énoncée ci-<le88as, qui était aussi celle de d'Alembert {vqyez le IF' Éclaircissement sur les Élémens de Philosophie) y m*a toujours paru fondée; mais cependant comme il peut arriver certaines circonstances où Pon soit obligé de faire le contraire, j'ai misy après la table de mon ouvrage, un supplément nécessaire pour compléter , par rapport à la Géotrie, la théorie des proportions donnée en Arithmétique. La table elle-même mérite quelque attention : les énoncés des propositions y sont indépendans des figures , condition essentielle pour les fixer dans la mémoire des jeunes gens qui se préparent à des examens» et qui ont besoin de repasser la 'Géométrie plus que toute autre partie, parce qu'elle renferme plus de détails et ofire moins de liaisons.

SUR L'EMSElGIfEMEIfT. SOQ

un 'même plan ont les unes à l'égard des autres ; et Je reste ne renferme gnè^e que des théorèmes sur les plans et les volumes des corps. Cependant chaque question prise sur un plan, ou dans deux dimensions, a son analogue dans l'espace; et le premier état n'est qu'un cas particulier du second.

L'un des problèmes les plus simples qui soient résolus dans les livres élémentaires , a pour objet de déterminer le centre et le rayon d'un cercle qui passe par trois points donnés. ^ En transportant la question dans l'espace, on voit qu'il s'agit d'assigner le centre et le rayon d'une sphère, lorsque l'on connaît quatre points par lesquels elle doit passer. C'est par des moyens entièrement semblables que l'on peut résoudre l'un ou l'autre de ces problèmes ; car la sphère n'est que le cercle généralisé.

Il existe néanmoins une différence très importante entre les opérations qu'exige la solution du premier problème^ et celles qui sont nécessaires pour le second , quoique les unes et les autres soient fondées sur les mêmes principes. Lorsqu'il s'agit du cercle , on opère immédiatement sur les points donnés , parce qu'ils sont situés dans un même plan , mais quand on passe à la sphère, ces points se trouvent alors dans des plans différeus y il en est de même des lignes qui les joignent, et sur k

3lO ESSAIS

coDsidératioD desquelles porte toute la solution : il n'est donc pas possible d'effectuer sur le papier, les opérations indiquées par rapport à ces lignes. Pour lever cette dâficnlté , on transforme les données de manière que l'on n'ait jamais à combiner ensemble < que celles qui se trouvent sur un même plan, et que cependant le passage des anciennes aux nou-« velles soit de la plus grande simplicité : tel est l'objet que la méthode des projections remplit ' complètement.

On voit par cet exposé que les Élémens de Gréométrie sont incomplets et demandient à être étendus ,, relativement aux plans et à la sphère , comme ils le sont à l'^rd des lignes droites et du cercle. Cependant les besoins des arts de construction avaient déjà forcé, depuis long -temps, des hommes très intelligens à s'occuper des problèmes de Géométrie qui embrassent les trois dimensions , et dont la solution repose sur des considérations relatives aux plans et aux sur&ces courbes. Les cfaarpeti*' tiers et les appareilleurs ont fait dans'ce genre, qu'ils ont créé 9 des choses étonnantes j soit par leur complication , soit par l'él^ance des moyens qu'ils ont employés pour vaincre des difficultés qui semblaient devoir les arrêter. Leurs pratiques* ont été recueillies dans plusieurs ouvrages; mais daiis quelques-uns elles

suK l'enseigneme?(t. 3ii

se trouvent ^dépourvues de démonstrations , et dans tous, en général, elles sont compliquées par des notions techniques de charpente et de coupe des pierres , en sorte qu'on ne voit jamais la question proposée, réduite par l'ana-^ lyse de son énoncé, au dernier degré d'abstracticm dont elle est susceptible. Aussi ces ouvrages sont pénibles à lire, et n'éclairent point sur la manière dont il faudrait s'y prendre pour résoudre les questions qui n'y sont pas traitées.

Les artistes n'ayant jamais eu en vue que le besoin du moment, ont presque toujours re"-* commencé les mêmes préliminaires à chaque question dont ils se sont occupés ; ils ne paraissent pas avoir senti que la solution d'un problème quelconque renferme toujours deux parties bien distinctes : Tune, purement théorique , ne consiste que dans l'application ou le rapprochement de quelques propositions antérieures d'où dépend la solution cherchée ; l'autre est l'exécution des opérations nécessaires pour arriver ieiu résultat; et ces opérations ne sont eUes-mémes que les résultats des questions déjà t^ôitées.

Ainsi , lorsqu'on veut trouver la position ' du centre du cercle qui passe par trois points donnés, apre^ avoir démontré que ce centre doit être situé à la rencontre des perpendicu*

3 1 2 KSSAIS

laires élevées sur le milieu des lignes qui joignent les points proposés, combinés deux à deux , on regarde la question comme résolue ; car il ne s'agit plus que d'élever des perpendi* culaires sur des lignes données, procédé dans les détails duquel on n'entre pas, puisqu'ils ont fait l'objet d'un problème antérieur à celui que l'on se propose de résoudre.

S'U fallait déterminer la position du centre de la sphère qui passe par quatre points donnés, on s'apercevrait aisément qu'en joignant ces points deux à deux par des lignes droites , les plans élevés perpendiculairement siir le milieu de chacune, passent nécessairement par ^le centre de la sphère demandée : la question serait donc résolue dans ce. peu de mots, si l'on avait enseigné précédemment comment on mène des plans perpendiculaires à des droites données, et par quel procédé on détermine l'intersection de ces plans.

Les problèmes de Géométrie ont généralement pour objet la recherche d'un ou de plusieurs points de l'espace; et ils sont censés résolus toutes les fois que l'on sait sur quelles lignes ou sur quelles sur&ces ces points se trouvent placés, parce que l'on a expliqué d'avance et par ordre les différentes manières dont on peut construire des ligujps ou des surfaces, d'après des conditions données. Par là

SUR L'ENSElGNEMEriT. 3l3

les questions se renvoient les unes aux autres.; l'enchaînement établi soulage la mémoire de celui qui étudie, en lui permettant de s'appuyer sur les notions qu'il a déjà acquises, et en réduisant au plus petit nombre possible les objets qui doivent partager son attention ; enfin les figures, débarrassées des. lignes relatives aux opérations antérieures à celles dont il s'agit , deviennent beaucoup plus simples sans rien perdre de leur iitilité et de leur généralité!

Il est évident que la même marche doit être suivie dans quelque science que ce soit , et à plus forte raison dans une branche de la Géométrie. Ainsi ^ lorsqu'on s'occupe des problèmes qui naissent des rapports de situation , de grandeur ou de figure des plans et des surfaces courbes , on doit classer ces problèmes de manière que les solutions des premiers servent à ceux qui doivent suivre :

c'est là ce que j'ai essayé de faire ; et \\ est aisé de voir que je n'ai pu tirer , aucun parti des livres de coupe des pierres , dans lesquels la Géométrie n'est traitée que par occasion ; j'avoue même qu'il ne m'a pas été possible d'en lire un seul. Je me suis donc proposé de résoudre , par rapport aux plans , une suite de questions élémentaires , analogues à celles qu'offrent les livres de Géométrie par rapport aux

3l4 ESSAIS

lignes. Le temps et les communications ont complété ces questions 9 et leur ont donné la forme sous laquelle je les ai présentées.

J'ai taché de renfermer mon sujet dans une étendue proportionnée à son importance, en sorte que ce livre pût convenir à ceux qui veulent se borner aux connaissances purement géométriques, et qu'en même temps il mît sur la voie le lecteur qui se propose de les appU> quer aux arts; mais je le préviens que, dans ce cas , il ne doit pas se borner à suivre la marche des solutions. Il faut qu'il prenne la règle et le compas 9 qu'il effectue' les diverses opérations dans l'ordre où elles se succèdent, et qu'il se les rende assez familijères pour les exécuter de lui-même partout où elles sont indiquées comme des préliminaires; car j'ai cru non*seu* lement qu'il n'était pas nécessaire , ma\s même conforme aux lois delà méthode, de reprendre dans chaque opération toutes celtes qu'elle suppose. Ce serait comme si, dans des élémens d'Arithmétique j on joignait aux exemples de la règle de trois , la multiplication et la division qu'exige cette règle. Des figures changées de toutes lés lignes de construction sont aux planches d'un traité de Géométrie, ce que des minutes de calcul sont aux exemples d'un traité d'Arithmétique. Si ces exemples sont bien choisis , présentés dans un ordre convenable et

&UR l'enseignement. 3t5

expliqués avec soin , ils doivent mettre en état d'effectuer les calculs les plus compliqués, qui' ne se composent jamais que des opérations élémentaires combinées entre elles.

Les tracés auxiliaires dans la ^lution des problèmes, sont les opérations élémentaires; pour éviter toute confusion , on les fait successivement au crayon , et i'on ne conserve que les lignes qui mènent immédiatement au résultat cherché.

J'ai déjà dit qu'en enseignant la Géométrie , j'avais soin d'exercer les élèves à la construction des figures; et pour cet effet je leur proposais des questions où les données , exprimées par des mesures connues ou résultant d'opérations déterminées, étaient isolées les unes des autres. II fallait d'abord qu'ils remissent Ces données dans leurs situations respectives, ce qu'ils ne pouvaient faire qU(and ils n'entendaient pas les questions; ensuite qu'ils conçussent le plan de la solution , et qu'ils l'^xéentassent , en appliquant par eulx - mêmes ce qu'ils avaient entendu à la leçon. J'ai toujours vu que , par cette marche , ils se fortifient bien plus que lorsqu'on leur met sous les yeux Vépwre y c'est-à-dire la construction détaillée du problème. La symétrie des lignes dispensp les paresseux , qui partout forment le plus grand nombre ^ de la peine de réfléchir sur les pré-t

3l6 ESSAIS

œptes qu'ib ont reçus; et ils copient leur épure^ sans l'entendre. i

Je ne me suis point bQrné à ce qui concerRe les plans et les corps ronds , les seuls que l'on considère dins les Élémens de Géométrie ; J'ai cru devoir &ire connaître les surfaces courbes les plus simples , après celles dont on vient de parler, et qui sont d'un usage fréquent dans les arts de construction. Quoique les problèmes relatifs à ces surfiices donnent lieu â des courbes dont il n'est point question dans les élémens, celles-ci n'étant jamais construites que par points et en faisant usage de la règle et du compas seulement , elles ne supposent aucune connaissance étrangère à la Géométrie élémentaire, et doivent par conséquent trouver place à sa suite. ^

J'ai terminé mon ouvrage par quelques méthodes générales pour mettre les corps en perspective f et traitées fort succinctement par des raisons que je vais exposer.

La perspective n'offi*e à celui qui possède bien la Géométrie des plans et des surfaces courbes, qu'un problème dont la solution se présente dès qu'on en a saisi l'énoncé ; et il est presque impossible de l'enseigner complètement au lecteur qui ne connaît que les premiers élémens de Géométrie . La difficulté ne consiste pas à faire entendre les procédés techniques de

SUR l'bnseignbment. 3i7

la perspective, c'est-à-dire ceux qui servent à conclure des différens points d'un corps, les apparences de ces points , mais à assigner , d'après la disposition de ce corps , ou d'après le sentiment que l'on a de sa forme ou du lieu qu'il occupe, la position respective de ses points principaux par rapport à l'œil et au tableau. Or cette dernière partie n'est plus du ressort de la perspective y elle rentre entièrement dans la Géométrie des plans et des surfaces courbes j et tous les traités qui ne supposent pas la connaissance de cette branche de la Géométrie, ou qui ne la donnent pas d'une manière méthodique, ne peuvent être considérés que comme des collections d'exemples , où l'on trouve , confondus ensemble , les procédés pour construire les corps d'après leur définition , et pour les mettre en perspective. Ce mélange des méthodes nuit à la clarté de leur exposition , rebute les lecteurs instruits :1e livre ne sert aux auties que comme un dictionnaire où ils vont chercher des exemples à imiter mécaniquement; et s'ils n'y rencontrent pas celui qui les occupe, ils ne savent plus que faire.

Je ne pouvais avoir le projet de multiplier assez les figures pour former un traité de pers^ pective qui pût servir aux personnes dépourvues de connaissances géométriques ; et ce que ^aurais dit de plus aurait été superflu pour

celles qui se sont familiarisées avec le reste de mon ouvrage. Je me suis donc borné à indiquer un moyen d'appliquer le calcul à la perspective , dans le cas où l'on aurait de grands dessins à construire ^ et où l'on voudrait en déterminer avec précision les points principaux. Voilà en eflPet tout ce qu'il faut faire , même en peinture ; car, excepté pouf quelques corps particuliers, terminés par des lignes parallèles ou perpendiculaires, tels que ceux qu'on rencontre en Architecture , les procédés de la perspective sont si laborieux , que jamais personne n'aura le courage de les mettre, en pratique pour des contours irréguliers : on recourra plutôt à la nature et aux modèles. Si l'on veut pratiquer la perspective, il faut en acquérir le sentiment , qui constitue la partie essentielle de l'art du dessin , la seule qui soit généralement utile,, et malheureusement la plus négligée ; et puisque mon sujet me con** duit à cette assertion » qu'il me soit permis de l'appuyer par quelques réflexions sur le but que doit avoir, à ce qu'il me semble, par rapport au plus grand nombre des élèves, l'enseignement du dessin dans les écoles publiques. .

Les boiiames ont remarqué l'art du dessin par . sa partie la plus brillante sans doute, mais aussi la plus (difficile et la moins utile à leuiis besoins ^

SUR l'enseignement. 3 19

je veux dire par l'imitation de la nature animée et des eifets des passions sur le visage de l'homme. A la renaissance des arts, des peintres célèbres ont fixé l'attention de leurs contem-* porains par leurs chefs-d'œuvre , et se sont attiré une foule d'élèves, jaloux de marcher sur leurs pas , et dont ils ont dirigé l'éducation vers le but qu'ils avaient atteint eux-mêmes. Cette méthode qui convenait aux vues de ces grands artistes y a été adoptée indistinctement par tout le monde ^ et sans égard pour les différens usages que l'on pourrait faire du dessin. Tous les jeunes gens ont été enseignés comme s'ils devaient devenir peintres, et sur ce pied, il aurait fallu faire débuter par la poésie les élèves dans l'art d'écrire. Je sais bien que l'on observe, à l'appui de cette méthode, qu'en faisant faire des choses difficile, elle rend les autres aisées , que lorsqu'on sait dessiner la figure , tout le reste n'est qu'un jeu ; mais on n'ajoute pas combien il faut passer d'années pour arriver à dessiner la figure , au moins d'après la bosse ; car ce li'est que loi^qu'il est parvenu à ce point, que je regarde l'élève comme sachant dessiner la figure. Copier un dessin sur lequel on trouve la perspective toute faite, les teintes toutes placées, est un travail inutile pour la plupart des professions mécaniques et des arts de construction. Il faut porter

3jo essais

le même jugement sur ces dessins de conven*^ tion qu'on appelle Y ornement j et même sut le paysage, quand on ne fait que le copier : l'art de la gravure suffit pour multiplier les copies des originaux produits par le pinceau des ar* tistes de génie.

Enfin , combien l'ennui que les jeunes gens éprouvent en barbouillant un œil qu'ils estropient y une bouche qu'ils ne sauraient recon*naitre lorsqu'elle est détachée de l'ensemble ^ du visage » ne les éloigûe-t-il pas de l'étude {

du dessin , dont ils éprouveront le besoin par la suite ?

Revenons donc à des objets d'une utilité plus générale, et qui, par cette raison même seront plus attrayans pour la masse des élèves; exer* çons leur jugement en même temps que leur main et leurs yeuxj et que ce qu'ils feront dès leur entrée dans la carrière, puisse leur être immédiatement bon à quelque chose.

Les objets inanimés sont ceux qu'on a le plus souvent occasion de représenter. Ce sont .des instrumens d'art, des machines, des détails dé construction , des appareils de Physique et de Chimie ; tous sont composés de corps géométriques, du peuvent s'y rapporter ; c'est donc par ces corps qu'il faut commencer, et avec d'autant plus de raison qu'étant susceptibles d'un tracé et d'une exécution rigoureuse , l'é-

SUR l' ENSEIGNEMENT. 321

lève peut luî-même corriger ses fàates à chaque inst^t. Us sont si simples quW peut les faire dessiner d'après nature , dès les premières leçons , et prendre occasion de montrer comment leurs dimensions s'altèrent et se combinent, pour se placer dans leur représentation sur une sarface plane. On exerce ainsi le jugement en même temps que l'œil , surtout si dans les premières leçons on s'aide de quelque machine Êicile à construire, pour rendre sensibles les phénomènes de la perspective : voilà pour le trait.

A regard des teintes , le jeu de la lumière sur les corps , en raison de l'inclinaison de leui^ faces, par rapport au corps éclairanit, ou des enfoncemens et des saillies qu'ils présentent , peut et doit s'étudier toujours d'après nature , sur les polyèdres, le cylindre, le cône et la sphère. Les apparences étant bien senties sur ces premiers élémens des corps, l'œil devenu capable d'observer, reconnaîtra bientôt l'eflfet et la cause de celles que montrent les objets les plus composés. A chaque leçon, pour redresser l'élève et lui donner le faire ^ il serait à propos de mettre sous ses yeux un dessin exact du corps qui lui a servi de modèle, et offrant les mêmes apparences que celles qu'il a dû voir. On ne me niera pas qu'en ombrant un cylindre , un cône , une sphère y vus par Ess, sur VEns, 21

3a 2 ESSAIS

leur convexité y puis par leur concavité y la main ne se foraie aussi bien qu'en copiant le dessin des bosses et des creux de la figura. Il parait que Gérard de Lairesse était aussi de cet avis, du moins voulait-il que l'on conunençat par des corps inanimés , familiers aux enfàns. ( f^ojrez les premières leçons de ses Principes de dessin ^ dans le Grand Lwre des Peintres et les Élémens de Perspective , par Ch. Va- J

lenciennes, page SgS de la i^* édit. et 3 19 de la seconde.)

Après avoir appris à représenter des corps réguliers , on passera facilement à ceux qui ne le sont pas, mais dans lesquels on retrouve comme élémens de l'eSTet général , les effets particuliers que l'on a remarqués sur les premiers j et si l'on est forcé de s'arrêter à ce point, on aura du moins appris à voir y et l'on sera en état de rendre beaucoup d'objets assez clairement pour qu'ils soient reconnus par toutes les personnes qui auront à les considérer ou à les employer. H en sera à cet égard du dessin comme de l'écriture ordinaire : tin petit nombre de personnes parvient à la bien peindre, et cela suffit pour conserver les caractères dans leur pureté ; mais presque tout le monde écrit ou doit écrire de manière à pouvoir être lu. S'il était possible , et je crois que ce ne peut être que par' la méthode que

SUR i^'enseignement. 323

je viens d'indiquer, de populariser le dessin comme Féorîlure , à laquelle il sert de supplément , les arts mécaniques feraient des progrès immenses. En effet, combien de conceptions perdues faute d'avoir pu être confiées au papier jpar leur inventeur; que de moyens ingénieux remarqués en voyageant ou autrement^ n'ont pu être retracés par ceux dont ils avaient attiré les regards !

Quant à la facilité d'apprendre par cette méthode, quelques expériences que j'ai vues in'ont convaincu qu'elle serait très grande , et que Ton pourrait même pousser ainsi le dessin fort loin par rapport à la figure; miais, quoi qu'il €n soit, pour ne pas choquer les artistes, on pourrait laisser aux écoles spéciales de peinture et de sculpture , ^'enseignement du dessin tel qu'ils le conçoivent , et donner à celui que je propose de substituer pour les écoles générales, le nom de Stéréographie ^ comme étant l'art de décrire les corps.

Si les vues que je propose échappent au reproche de bizarrerie que l'on pourra leur faire , lorsqu'on les comparera aux idées accréditées, par le temps et par les préjugés, on dira peut- -être qu'elles ne sont pas nouvelles; et pour prouver que je ne l'ignore pas moi-même , je rapporterai un. passage de V Emile ^ auquel je m'étonne toujours que l'on ait eu si peu égards

u On ne saurait apprendre à bien juger de » l'étendue et de la grandeur des corps , qu'on y) n'apprenne à connaître aussi leurs figures et D même à les imiter j car au fond cette imitation 3» ne tient absolument qu'aux lois de la perspec^ » tive, et l'on ne peut estimer l'étendue sur ses )> apparences , qu'on n'ait quelque sentiment de D ces lois. Les enfans, grands imitateurs, essaient^ }) tous de dessiner; je voudrais que le mien » cultivât cet art , non précisément pour l'art » même, mais pour se rendre l'œil juste et la y> main flexible ; et en général il importe fort » peu qu'il sache ^ tel ou tel exercice, pourvu » qu'il acquière la perspicacité du sens et la 9> bonne habitude du corps qu'on gagne à » cet exercice (i). Je me garderai donc bien y> de lui donner un maître à dessiner qui -ne lui » donnerait à imiter que des imitations , et ne y> le ferait dessiner que sur des dessins : je veux » qu'il n'ait d'autre maître que la nature, ni » d'autre modèle que les objets: Je veux qu'il y> ait sous les yeux l'original même, et non pas » le papier qui le représente; qu'il crayonne }) une maison sur une maison, un arbre sur » un arbre, un homme sur un homme, afin

(i) Ceci doit être bien apprécia par tous ceux qui ^occupent d'instruction publique; car le but de cette instruction y est clairement énoncé.

suK l'enseignement. 325

» qu'il s'accoutume à bien observer les corps et leurs ap^rences , et non pas à prendre des imitations fausses et conventionnelles pour de véritables imitations. Je le détournerai même de rien tracer de mémoire en l'absence des objets, jusqu'à ce que, par d^ observations fréquentes , leurs figures exactes s'impriment bien dans son imagination ; de peur que, substituant à la vérité des choses, des figures bizarres et fantastiques, il ne perde la connaissance des proportions, et le goût des beautés de la nature. »

(Emile, liv. II* )

Ajoutez à cela les graves inconvéniens d'une étude offrant à tous ceux qui l'entreprennent , un but où il y a peu d'exemples de succès.

(^f^o/ez ci-dessus, page 98).

Il me reste à parler de la conformité qu*on trouvera entre la plus grande partie de mon ouvrage et les leçons données à l'Ecole Normale par Monge. Elle ne pouvait manquer d'avoir lieu, puisque cet illustre géomètre s'était occupé depuis long-temps de cette branche des Mathématiques, à laquelle il a appliqué Fana» Jyse avec le plus grand succès j mais on aurait tort d'en conclure que mon travail a été calqué sur le sien , réservé alors pour les seuls élèves de l'Ecole du Génie; car plusieurs personnes te-

3ll6 ESSAIS

Baient (le mol, depuis une époque bien aniérieure à la publication de ses Jeçons , tous les matériaux que j'ai employés : j'ai pensé à les mettre en ordre quand j'ai été adjoint à l'enseignement de la Géométrie descriptive dans l'École Normale ( celle de l'an m ^ 1 794 )• ^ 5^. Traité élémentaire de Trigonométrie rec* tiligne etspkérigue, et (P application de V Algèbre à la Géométrie. Ce volume, le dernier du cours élémeptaire, a surtout pour objet de montrer les diverses applications que les formules algé«* briques trouvent dans les considérations géo^ métriques. J'en commencerai l'analyse par ce ^ qui regarde l'étendue donnée aux matières : f aurai peu de chose à dire à cet égard pour les deux Trigonométries.

La Géométrie élémentaire &it connaître trots parties d'un triangle au moyen des trois autres, par des constructions dont l'exactitude a des bornes très étroites, dans les limites de nos sens et dans l'imperfection des instrumens. La Trigonométrie rectiligne substitue à ces construis tions des calculs susceptibles d'une approximation indéfinie; et elle n'atteint ce but qu'en déterminant|, dans un cercle de rayon donné , une suite de triangles reclangles formés sur tous les angles aigus possibles, en sorte qu'il se trouve toujours un de ces triangles qui soit semblable à celui que Ton se propose de ré-

SUR l'enseignement. 3^7

soiidre : de simples proportions entre les côtés de ces deux triangles , font trouver les parties inconnues du second par leurs homologues dans le premier. Quant aux triangles obliquangles, leur résolution se tire facilement de celle des triangles rectangles. Tout consiste, comme on voit, dans la formation des tables qui con« tiennent les valeurs des parties de ces premiers triangles ; et par conséquent la tache d'un auteur d'élémens est remplie dès qu'il a fait concevoir au lecteur laconstruction de ces tables, et qu'il Ta mis eu état de les appliquer à la résolution des trian^ gles , dans tous les cas qui peuvent se présenter. A cela j'ai ajouté la recherche des premières relations des lignes trigonométriques , et ce que j'en ai dit suffit pour parvenir aux principaux résultats qu'on emploie , soit dans le calcul dif- £érentiel et intégral , soit dans la Mécanique.

Je n'ai pas donné les expressions des sinus et des cosinus en séries ordonnées par rapport aux puissances de l'arc, quoique les moyens ne m'aient assurément pas manqué pour le Élire d'une manière élémentaire (i). Dans une

(i) J'aurais pu sans doute employer, tel qu'il est^ ou modifier le prpcédé dont je me suis servi dans Tintroduciion du Traité du Calcul différeruiel et du^ Calcul intégral (en 3 vol. in*4°), qui est à la fois simple , direct et rigoureux.

3a8 ESSAIS

matière ' aussi épuisée, on n'a que l'embarras du choit ; mais j'ai eu tant d'occasions de me convaincre de la nécessité .d'éviter les doublesemplois , que j'ai cru devoir renvoyer au calcul différentiel une reciierche qui n'avait point d'utilité présente , puisqu'il ne s'agissait pas de faire réellement calculer des. tables de sinus aux élèves , mais seulement de leur montrer la possibilité d'en construire.

Je n'ai pas du non plus'Bxposer la partie de l'usage de ces tables ^ qui tient à leur disposition particulière ,4>arce que cet objet est toujours rempli par les auteurs des tables euxmêmes y dans : les. discours qu'ils mettent à la tète de ces livres.

La Trigonométrie spbérique ^'est guère a{^ pliquée qu'a l'Astronomie et à la Navigation ; et les divers auteurs qui. ont trsûté.de ces. deux sciences ont toujours eu soin d'exposer., conformément aux connaissaqces ^ préliminaires qu'ils ont supposées a leurs lecteurs , les . notions de Trigonométrie et les formules dont ils avaient besoin. Un livre destiné à rjenseignement général des Mathématiques devait ^ au contraire , renfermer une théorie à la fois simple et générale, qui se liât avec les parties précédentes ; or le Traité que j^ai donné d'après. Euler, où la Trigonométrie sphérique est, déduite d'une seule équation , réunit à ces avan-^

SUR l'enseignement. 33^

tages une brièveté et une élégance remarquables : on y trouve même un grand nombre de formules que l'on chercherait vainement dans des traités plus volumineux. Quant aux applications, je^'en ai présenté qu'une seule, parce que les autres auraient exigé quelques notions de Mathématiques appliquées et étrangères à mon sujet.

Yient ensuite l'application de l'Algèbre à la Géométrie j cette branche , due entièrement aux modernes , et dont la dëcouverte leur donna bientôt une immense supériorité sur les anciens, devait nécessairement changer de forme à mesure qu'elle s'étendait et se perfectionnait.

On eu voit les premières traces dans les écrits de Viète; car on ne doit pas regarder comme appartenant à cette application , la manière dont les algébristes du quinzième siècle ont résolu les équations du deuxième degré ; c'était au contraire une applicatiou de la Géométrie à l'Algèbre, ou, pour 'parler plus exactement, à l'Arithmétique : de là vient que la plupart des termes relatifs à cette théorie sont tirés de )a Géométrie.

Jusqu'à Descartes , l'Algèbre n'était employée que comme un moyen subsidiaire pour faciliter la combinaison des théorèmes de Géo-* métrie, daps la résolution des questions dé-

330 BS8A18

tenninëes ; mais ce philosophe , en la renda&t propre a représenter la nature des lignes et des surfaces quelconques, en augmenta considérablement le domaine , et en fit la véritable méthode d'invention en Géométrie et eo Mécanique.

G>mme tous les înrenteurs , il ne put counaltre jusqu'où s'étendait la puissance du moyen qu'il avait introduit dans la science; et ne pensant qu'à l'appliquer aux questions dont s'occupaiint lé plus les géomètres contemporains y il ne s'attacha guère aux courbes que pour construire , par leurs intersections ^ les racines des équations déterminées , ou pour leur mener des tangentes. Que les anciens^ qui étaient forcés par la nature de leurs méthodes, à ne considérer qu'un petit nombre de courbes des plus simples, se soient attachés à en détailler les propriétés, comme s'ils avaient cherché à les épuiser, rien de plus naturel. Ce travail fut aussi celui des géomètres prédécesseurs de Descartes, de ce philosophe même et de quelques-uns de ses disciples , pour qui les courbes formaient un spectacle nouveau ; mais Newton sentit que l'idée de considérer les courbes parleurs équations, avait donné une telle étendue au sujet, qu'il ût;ait impossible d'en parcourir les détails même les plus curieux; et il le prouva bien dans Fénumération

SUK L'ENSBIONEMftlT. 33 1

qu'il fit des diverses espèces de lignes courbes que pouvait représenter l'équation à deux indéterminées dii troisième degré , et doût il fit monter le nombre à 78.

Au commencement du dix^hoitièmesièole, quelques géomètres de l'Académie des Sciences, à l'exemple de Newton , entreprirent aussi d'énumérer les courbes contenues dans l'équation générale à deux indéterminées , du quatrième * degré. Les espèces se multiplièrent à tel point, qu'ils n'osèrent ou ne purent en donner le détail , et ils se bornèrent à des genres dont le nombre iîit encore assez considérable.

Persuadés qu'il fallait renoncer à faire une revue générale des courbes, les géomètres^ sentirent que cette partie aurait atteint toute la perfection dont elle était susceptible, si elle fournissait des méthodes pour déterminera par l'équation d'une courbe , ses principales propriétés, et les diverses circonstances de son cours ; et c'est là ce qu'ont fait Euler et Cramer, et ce que le calcul différentiel £aicilite beaucoup. Il semblait donc naturel de revenir sur ses pas, et de rattacher à un même fil toute la théorie des lignes droites ou courbes, classées uaturellement par leurs équations : c'est cependant ce qu'on ne fit point. La force de l'habitude engagea encore les géomètres à amalgamer, pour ainsi dire , les méthodes anciennes

avec les nouvelles; et cet assemblage informe portail toujours l'empreinte des premiers temps de la science. On n'employa la considération des équations qu'à partir des lignes du second ordre; on surchargea la théorie de ces lignes d'un grand nombre de propositions détachées , obtenues ou démontrées par des voies incohérentes, et qui ne laissaient pas entrevoir comment on devait s'y prendre dans les cas imprévus.

Cependant Descartes y Huygens , Newton , avaient créé la Mécanique des solides et de$ fluides, qui n'existait pas pour les anciens. Les Mathématiques, qui, passé l'Arithmétique et la Géométrie élémentaire, n'offraient que des théories purement spéculatives , étaient deve* nues les bases de la Physique , de l'Astronomie et de la Navigation. Le besoin d'en pousser l'étude plus loin que l'on n'avait fait jusque là, et d'y joindre les plus importantes de leurs applications, prouvait la nécessité de faire, dans les écrits des géomètres, un triage des propositions, pour ne donner dans les élémens que celles qui pouvaient servir aux applications , ou qui étaient indispensables au développement des méthodes, et de laisser celles qui n'étaient que curieuses, dans les auteurs originaux, que l'on peut regarder comme les archives de la science.

SUR l'enseignement. 333

Il faut convenir cependanl que cette opération n'a. pu s'effectuer complètement que de nos jours ;• car la prédilection que Newton avait pour la synthèse^ et qui tenait plus encore à l'esprit du temps qu'au goût particulier de ce grand homme , a dû retarder la véritable application de l'Algèbre à la Mécanique. {J^oj. la note page 2io.) Les principales circonstances du mouvement des corps n'ont été déduites pendant long-temps que des propriétés particulières àes courbes. C'est Euler qui chercha le premier à les tirer entièrement du calcul. Ses successeurs ont étendu et perfectionné ses travaux f au point de pe rien laisser à désirer; car les difficultés qui restent à surmonter sont de nature à ne pouvoir être attaquées par des considérations géométriques.

Cet historique , en montrant les vues qui ont pu guider , dans le siècle précédent , les auteurs des traités d'application de rAlgèbre à la Géométrie , dans le choix et l'étendue des matières , fait voir aussi qu'il n'y a pas de raison pour les imiter, et que l'on doit au contraire^ prendre une marche opposée à celle qu'ils ont suivie, puisqu'on doit tendre à un but très idifférent. Tout ce qu'ils ont regardé comme essentiel à leurs ouvrages, devenant inutile pour la lecture de ceux auxquels les nôtres servent d'introduction ^ doit être remplacé par

des notions qui soient analogues à celles que l'cMi donne des parties supérieures : surtout abrégeons ; car la multitude des richesses que les sciences physiques ont accumulées, les Qontacts multipliés qu'elles ont les unes avec les autres, ne permettent point à ceux qui ne veulent pas se consacrer entièrement aux Ma--' thématiques pures , d'employer à des spéculations curieuses si l'on veut, mais sans aucune application pour le moment , un temps dont ib retireraient plus de fruit par l'étude des autres sciences.

On peut déduire facilement de ce qui pré* cède , la réponse à cette question : Que doit comprendre un traité ^application dJllgebre à la Géométrie, lorsqtion le destine à des élèues qui, pour se livrer ensuite aux séances phjsico -^mathématiques , se préparent à recevoir, sur V Analyse et la Mécanique transcen^ dantes, des leçons conformes à V état actuel de ^es scienees ?

Si y dans ces leçons, on ne considère les lignes que par leurs propriétés générales , on ne cite que quelques-unes de leurs propriétés parti* culières les plus remarquables ; si toutes les questions de Mécanique y sont ramenées , par ie calcul , aux équations les plus simples ^ aux formules les plus immédiates, qu'est-il besoin «de se perdre dans une multitude de proposi-

SUR l'enseignement. 335

lions, dans une variété de méthodes, qui ne font qu'éblouir les coramençans , et leur faire passer sur le même résultat un temps qu'ils emploieraient à en apprendre de nouveaux?

Qu'ion auteur^ engagé dans des recherches qui l'amusent, remarque en passant des procédés élégans, des propriétés nouvelles; de semblables matériaux peuvent être consignés utilement dans un livre destiné à ceux qui cultivent spécialement la branche des Mathé^ ma tiques dont il s'est occupé; et encore, si l'on compulsait avec soin le très grand nombre de traités des Sections coniques , matière sur laquelle on a peut-être écrit autant que sur toute autre, on y retrouverait beaucoup de ces choses oubliées qui deviennent ensuite des nouveautés ; mais tout ce qui n'augmente pas la puissance des méthodes , ou. qui n'abrège pas la chaîne qui lie les résultats entre eux , ne doit pas entrer dans les élémens.

C'est après avoir médité long-temps ces idées , que j'ai cru pouvoir m'en tenir à ce que contient le Traité élémentaire d'application de V Algèbre à la Géométrie.

Montrer le double point de vue sous lequel on peut envisager l'application de l'Algèbre à la Géométrie : d'abord ainsi qu'elle s'est présentée aux premiers inventeurs, comme un moyen de combiner les théorèmes de Géomé-

trie; ensuite devenue, par l'heureuse idée de Descartes et les travaux d'Euler, de Lagrange y de MoDge , le moyen général de déduire les propriétés de l'étendue , du plus petit nombre possible de principes ;

Faire sentir par des exemples, les avantages et les inconvéniens de ces deux manières de résoudre les questions, et comment le choix des données et des inconnues influe sur la simplicité des solutions;

Classer en conséquence les lignes par leurs équations; faire remarquer que ces équations n'ont pas une forme unique , mais qu'elles se compliquent plus ou moins, suivant les relations que les lignes qu'elles représentent peuvent avoir avec celles auxquelles on les rapporte; en déduire la nécessité de savoir transformer les coordonnées , .pour employer ce moyen à simplifier les équations des lignes , et à déterminer leurs caractères essentiels;

Revenir par un chemin opposé , en remontant de quelques propriétés des lignes à leur équation, pour montrer que toutes celles d'une même ligne ne sont que les énoncés de ses diverses propriétés , qui se contiennent les unes les autres dès qu'elles sont caractéristiques;

Déduire des équaticms générales des lignes du second degré , leurs propriétés communes , et s'en servir pour donner une idée de la ma--

SUR L^ENSEIGITEMENT* 337

hière dont les anciens les avaient considérées ^ afin de lier ces connaissances avec les nouvelles ;

Déterminer les tangentes dé ces lignes par une méthode qui soit analytique , tiuifiMrme > et qui s'étende même à toutes les courbes; faire l'emarquer les limites des tangentes de Thy-r perbole^ ou ses asymptotes; indiquer sommairement la manière dont lés anciens menaient les tangentes aux sections coniques; -

Passer aux principes de la détermination des courbes par le nombre de points qui les caractérise;

Enfin y esquisser rapidement l'usage des courbes pour construire les racines des équations déterminées , et pqur peindre les circonstances de leur résolution :

Voilà ce que j'ai jugé devoir entrer dans mon ouvrage.

En se reportant à l'époque de la première édition (1799)5 on trouvera sans doute que ce plan était neuf; fes moyens que j'ai employés pour le remplir Tétaient aussi, du moins à l'égard deà élémens ; et cette nouveauté a pu donner aux principes que j'ai exposés un air de difficulté qu'ils n'ont point par eux-mêmes. Au reste, je puis croire que l'on m'a acîcordé dans plusieurs ouvrages , à la vérité sans me nommer^

les honneurs du commentaire ; mais s'il en faK Ess. surVEns, 2 a

lait rééliement un pour se familiariser avec ce traite , j'indiquerais le Recueil de diverses pro'^ positions de Géométrie, etc. j par M. Puissant. Cet habile professeur, qui unit la délicatesse des ptocédés aux talens les plus distingués y a rempli son ouvt*age de problèmes élégamment résolus , et très utiles aux élèves qui veulent s'exercer (i).

Quant à la méthode que j'ai suivie, elle peut paraître alternativement analytique et synthétique, et ceux qui auront lu Je para|[raphe II n'en seront pas surpris ; car Us penseront peutêtre, ainsi que moi, que la réunion de ces deux méthodes est nécessaire pour compléter une doctrine quelconque ; mais la seconde doit être subordonnée k la première , si l'on veut mettre en évidence la liaison des propositions ^ et indiquer, dans toutes les circonstances essentielles,- l'origine des notions qu'on expose, le but auquel on tend.

Lorsqu'il s'agit, par exemple, de montrer l'identité des /courbes contenues dans l'équa* tion du second degré, avec celles que les anciens ont considérées dans le cône, il est évident que c'est la méthode synthétique qu'il . ■ Il .1^1— »— »— ^^^»— i— ^»^— ^— ^— i^»— — — ^— — »— — — »»^— ^— — .1— —»»

(i) Les additions contide^rables faites par FAuteur dans les e'ditions suiTantes , ont donné à ce Recueil beaucoup plus d'importance.

SUR l'enseignement, 33^

ikut employer pour mieux indiquer la route qu'ils suivaient dans ces recherches ; mais on voit aussi qu'il ne convient pas aujourd'hui de considérer d'abord le cône, pour amender les courbes du second degré; car pourquoi commencer par cette surface plutôt que par toute autre? Et quand même on emploierait son équation y on ne ferait encore que de l'Algèbre et non pas de TAnalyse (i).

On pourrait peut-être regarder comme formant double emploi, les deux méthodes par lesquelles je traite successivement l'équation générale du second degré à deux indéterminées, puisque j'aurais pu commencer immédiatement par Ja transformation des coordonnées j niais je ferai observer que la première ^ dont s'est servi d'abord Descartes dans le livre II de sa Créométriey et Hermann dans le tome lY des Mémoires dePétersbourg^ étant très propre à montrer comment on discute une courbe quel^ conque par son équation , devait par cette raison ne pas être omise.

(i) Il faut remarquer néanmoins que cette génération fait dériver du cercle toutes les lignes du second degré. £n effets si Ton suppose Tœil placé au sommet d'un cône à base circulaire^ l'intersection de sa surface et du plan coupant sera, sur ce plan^ la perspective de la base^

34o ESSAIS

L'usage de ces deux méthodes m'a paru assez facile pour n'avoir pas besoin d'être expliqué sur beaucoup d'exemples , que le professeur peut d'ailleurs choisir à son gré. Elles ne conduisent pas toujours par le chemin le plus court à la nature des courbes proposées; mais celui qu'elles font parcourir est sur, et les sentiers qui abrégeraient ne sauraient être indiqués que par des remarques de détail, beaucoup trop longues pour le petit nombre d'occasions où l'on peut s'en servir.

Après ces divers objets, on trouve un appendice contenant , sur les surfaces courbes et les courbes à double courbure, quelques notions, dont la publication da Traité élémentaire de Calcul différentiel et de Calcul intégral m'a fait sentir la nécessité, et que j'ai détachées du Traité du Calcul différentiel et du Calcul in^ tégralj en 3 vol. iu-4'**

Le premier de ces traités est préparé pour suivre immédiatement, si l'on veut, l'applica^ tion de l'Algèbre à la Géométrie, et faire éviter le double emploi qui a nécessairement lieu, quand on obtient d'abord par des procédés al-* gébriques, les expressions en série, des puis*^ sances fractionnaires ou négatives du binôme, ainsi que celles des exponentielles, des logarithmes, des sinus et des cosinus, que le théorème deTaylor, base analytique du calcul diffé»

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rentiel, fait trouver sur-le-champ. En cherchant à renfermer dans le moindre espace tout ce qu'il est indispensable de savoir du calcul différentiel et du calcul intégral, pour étudier avec fruit la Mécanique , j'ai tâché de présenter la métaphysique du calcul différentiel avec un degré suffisant de rigueur et de clarté, sans tomber dans les longueurs qu'entraînent les détails où l'on se jette quand on veut prévenir trop tôt des difficultés qui se lèvent presque d'elles-mêmes , lorsqu'on ne les rencontre que successivement et à leur place naturelle. La méthode des limites m'a semblé la seule propre à remplir complètement cette intention j mais il fallait pour cela l'employer autrement qu'on ne l'a fait jusqu'ici. Les auteurs qui s'en sont servis, se sont contentés de trouver avec son secours quelques résultats simples et maï*quans, dont ils montraient la conformité avec ceux que donne le calcul différentiel , qu'ils exposaient d'ailfeurs suivant la considération des infiniment petits j tandis qu'il aurait fallu conclure immédiatement de la théorie des limites , tous les principes et les plus importantes formules du calcul différentiel. C'est ce que j'ai fait, en distinguant avec soin le cas où l'on a l'expression analytique du développement de la fonction proposée , du cas contraire ; parce que le premier réduit la recherche des différentielle?

au procédé analytique le plus simple, et que, dans le second , il faut recourir à la considération des limites, pour obtenir celle du rapport des accroissemens , d'où résulte le ooeffirçierU différentiel , et par suite la différentielle. Ne voulant pas m'étendre beaucoup ici sur un traité qui ne fait point partie du G)urs élémentaire , je me contenterai d'en rapporter le passage suivant, contenant, à ce que je crois , l'idée la plus simple qu'on puisse se faire du sujet , et pouvant intéresser même les personnes qui ne s'en sont point occupées.

c< C'est en cherchant à déterminer les tan- » gentes des courbes, que les géomètres sopt » parvenus au calcul différentiel , qu'on a pré- D sente depuis sous des points de vue très va*;- D ries; mais quelle que soit l'origine qu'on » lui assigne, il reposera toujours immédia- » tement sur un fait analytique antérieur à D toute hypothèse , comme la chute des corps » graves vers la sur&ce de la terre est anté- X rieure à toutes les explications qu'on en a D données; et ce fait est précisément la propriété D dont jouissent toutes les fonctions (continues), » d'admettre une limite dans le r^ppott que D leurs accroissemens ont avec ceux de la va- » riable dont elles dépendent* Cette limite ^^ ]» difl^rente pour chaque fonction , mais consp Jtamnient la même pour une même fonction^

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y> et toujours indépendante des valeurs àbso^ D lues des accroissemens , caractérise d'une y> manière qui lui est propre , la marche de la » fonction dans les divers états par lesquels y> elle peut passer. En effet , plus les accroisse^ 3i> mens de la variable indépendante sont petits, )) plus les valeurs successives de la fonction » sont resserrées, plus enfin cette fonction » approche d'être soumise à la loi de conti* » nuité dans ses changemens , et plus leur rap» » port à ceux de la variable indépendante » approche d'être égal à la limite assignée par Il le calcul. On doit entendre par la loi de con«- » tinuité , celle qui s'observe dans la descrip*» » tion des lignes par le mouvement , et d'après y> laquelle les points consécuti& d'une même n ligne se succèdent sans aucun intervalle. La » manière d'envisager les grandeurs dans le » calcul ne parait pas admettre cette loi , piiisr » qu'on suppose toujours un intervalle entre » deux valeurs consécutives de la même quan- 1) tité ; mais plus cet intervalle est petit j plus » on se rapproche de la loi de continuité, à '» laquelle la limite convient parfaitement.

, n II me parait maintenant très évident que 1) la métaphysique précédente renferme l'ex- )) plication philosophique des propriétés du cal- }) cul différentiel et du calcul intégral , soit par h rapport aux recherches sur les courbes y soit par

» rapport à celles qui coDcement le mouvez M ment. La difficullé des unes et des autres ne » vient que de ce qu'il y a cqntinuité dans les » changemens des lignes ou dans ceux des » vitesses ; et la considération des limites ( ou » toute autre équivalente) donne le moyen j> d'établir cette continuité dans le calcul.

9 Les considérations géométriques prouvent » d'une manière bien évidente, que le rapport y> des accroissemens d'une fonction et de sa y> variable est en général susceptible de limite^ n puisque toute fonction d'une seule variable y> peut être représentée par l'orAonnée d'une » courbe dont cette variable est l'abscisse , et D que le rapport de l'ordonnée de la courbe 1) avec la soutangente correspond à la limite du » premier rapport» (p. 87 de la 5"édit.).

A ceci j'ajouterai que jamais Vinfini et Vinfiniment petit n'entrent d'une manière absolue dans le calcul^ et ^i l'on rencontre des expressions qui paraissent indiquer le contraire, il suffira de les^ analyser avec quelque attention pour s'assurer qu'il ne s!agit au fond que de rapports qui tendent vers des limites assignables, dont l'existence est facile à concevoir. (Yo^ • le Traité du Calcul différentiel^ t. l**, p. 18, le Traité Êlém., p. 89 et 91..)

C'est ce que Newton a positivement reconnu dans le passage que j'ai cité page 704 du Traité

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élémentaire. C^st aus&i là manière de voir que d'Alembert a exposée toutes les fois que ce sujet est revenu soiis Sa plume, soit dans VJEncjrclo'^ pédie y soit dans ses Élémens de philosophie , et Laplace avait adopté les mêmes principes.

(Voy. les Séances de V École Normale ^ V édit., t. IV, p. 49.) Enfin Lagrange a composé sa Théorie des fonctions analytiques ^ pour éviter la considération des infiniment petits^ dont, il faut en convenir, la définition est bi^n peu satisfaisante. En effet, quand on dit que ce sont des grandeurs moindres que toute grandeur donnée , on n'exprime dans le vrai, que la nul^ lité absolue (ou o) : c'est ainsi qu'on l'énonce ^ dans la preuve de l'une' des propositions fondamentale^ de la méthode d'exhaustion. (Voy. les OEuvres de Wallis, tome II, page 807, les Séances de V École Normale^ t. ÏV, page 46, et mes Élémens de Géométrie ^vi!* i53.)

Le Complément des Élémens d Algèbre est encore , à mon avis , plus séparé du cours élémentaire que le Traité élémentaire de Calcul différentiel et de Calcul intégral y dont pourtant sa lecture faciliterait l'étude; mais y comme je l'ai déjà dit plusieurs fois, le nombre des matières qui doivent entrer dans l'instruction de la jeunesse est si grand, qu'il faut écarter, quelque intéressant qu'il puisse être en luimême, tout sujet qui n'est pas d'une applica-r

lion fréquente. La théorie des fonctions symétriques des racines des équations ^ son emploi dans * leur résolution , l'examen des diverses méthodes que les analystes ont inventées pour parvenir à cette résolution ; enfin la formation algébrique des principales séries, où se montrent la puissance des artifices du calcul et la finesse des considérations^ sont dans ce cas* Ces divers, objets ^ hés les uns aux autres et développés sur une échelle commune , ofirent une étude très convenable aux lecteurs qui veulent pousser loin tielle des Mathématiques pures , et suivre pas à pas les efforts qu'ont faits les géomètres pour perfectionner la science; niais puisqu'on peut à la rigueur s'en passer pour les applications phy^co - mathématiques , ils ne sauraient entrer en ligne avec ce que ces applications exigent iadispensablement.