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Première Remarque. Dans le paragraphe qu'on vient de lire, le demi-ton diatonique est supposé identiquement égal au demi-ton chromatique { car c'est cette identification qui constitue le 'demi-ton moyen. Pour exprimer graphiquement cette circonstance, il eut fallu, à la rigueur, employer une notation spéciale; nous avons toutefois cru devoir, pour plus de simplicité, conserver le mode ordinaire de représentation qui, moyennant la présente remarque, ne peut donner lieu à aucune méprise.

Seconde Remarque. Pour évaluer en demi-tons moyens une série quelconque formée de quintes et de quartes , il suffit de considérer l'équation suivante :

7 X + 5 r = « («) dans laquelle x représente un certain nombre de quintes , / un certain nombre de quartes, et % le nombre de demi-tons moyens qui résulte de leur association. En prenant pour o? et / des nombres entiers de mêmes signes, on exprimera que les quintes et les quartes doivent se prendre dans le même sens ; en attribuant au contraire à X et à/ des signes opposés, on exprimera que les quintes et les quartes doivent se prendre en sens inverses. La valeur positive ou négative qui en résultera pour z indiquera le sens des demi-tons moyens; par exemple, on peut convenir que le signe 4- indiquera toujours le sens ascendant , et le signe — le sens descendant.

Si dans l'équation (a) on pose a? :=/:=! , il vient js=: 12; ce qui signifie qu'au moyen d'une quinte et d'une quarte ascendantes toutes deux, on forme 12 demitons moyens, c'estrà-dire l'octave. Ce qui est évident; exemple:

ZEEL

Soit X =: 1 avec ^ = — i, on a: x = 2, ce qui donne la seconde majeure ascendante , qui se forme de deux demi-tons moyens ou d'une quinte ascendante suivie

d'une quarte descendante -f^

En posant «^ — l avec/=2, on a: jc= 3; ce qui correspond à la tierce mi-

STRUCTURE DES ACCORDS. n

Heure ascendante , qni se forme de trois demi-tons moyens on de deux quartes ascendantes combinées avec une quinte descendante, comme:

Toutefois l'équation («) est beaucoup trop générale puisqu'elle embrasse toutes les séries possibles de quintes et de quartes régulières ou irrégulières» dont elle donne toujours l'évaluation rigoureuse en demi-tons moyens. Pour en limiter les solutions aux seules séries régulières formées de quintes et de quartes alternativement ascendantes et descendantes, il faut la combiner avec Tune des trois relations suivantes:

La relation (l) combinée avec (a) donne :

7x — 5x=sjs ou ^xssz

cf qui correspond à un nombre pair de demi-tons moyens formé d'un même nombre de quintes ascendantes et de quartes descendantes ^ ou vice versdj ce qui est précisément le cas des séries (a) (b) (c) (d) de la fig. 8.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet, le lecteur pouvant facilement résoudre lui->méme toute question du même genre, au moyen des indications que nous vempns de donner.

Troisième Rimakoub. On pourrait représenter géométriquement la quinte moyenne et le demi-ton moyen , respectivement par des arcs de cercle de 30 et de 210 degrés qui, sur un cercle divisé en 860 parties, sont soustendus par les côtés des deux duodécagones réguliers inscrits l'un convexe et l'autre étoile , la quarte correspondrait à l'arc de 150 degrés qui, avec celui de 210, forme le cercle entier représen* tant l'octave. (Voir la note II à la fin de l'ouvrage).