LOI GÉNÉRALE DE LA STRUCTURE DES ACCORDS

§. 35. Nous donnons ici à priori cette loi générale, sauf à en déduire ensuite tous les accords connus, ainsi que ceux qui restent à connaître.

Dans les exemples particuliers traités §§• 33, 34, on a vu que nous caractérisons un accord par la somme de ses divers termes 6u fonc-r tions (i). On verra plus loin qu'on peut, au moyen de cette somme, retrouver tous les termes d'un accord, d'où il résulte qu'une telle somme le caractérise parfaitement.

En représentant par (^m (a?) la somme des termes d'un accord composé de m sons, par x la fondamentale de cet accord,' par t et <', deux nombres indéterminés , par + 4 la valeur de la tierce majeure, par — 3 la valeur de la tierce mineure, on a les deux relations suivantes . ((>„,(x) = mX'i'Ât—3V. (Am)

La relation (Am) signifie que la somme des termes ou fonctions d'un accord est égale à autant de fois sa fondamentale qu'il y a de sons dans l'accord, plus un certain nombre de tierces majeures associées à un certain nombre de tierces mineures.

La relation (Om) établit que la somme des quantités indéterminées t et t' est toujours égale au nombre de combinaisons 2 à 2 que l'on peut faire avec m choses.

Examen du cas où m = i qui correspond à un seul son.

(35)'. Si dans les formules précédentes on suppose m = 1, ce qui est le cas d'un son unique , d'ailleurs arbitraire et représenté par x , ces formules deviennent : <P, (x) = a: + 4*— 31' (A,) * + <'z=0. (û,)

11 est clair que la seconde équation est satisfaite en posant: f :sO, avec f'^O» auquel cas la première se réduit à: ^^ (x)=:x. Ce quijsignifie que la somme des termes de l'accord est réduite à sa fondamentale. Remarquons toutefois que la seconde équation peut être satisfaite aussi en posant :

*i=NqF ayec l'=qFN, N étant un nombre quelconque; et qu'alors la première relation devient:

relation dans laquelle le nombre N doit être pris avec le double signe, parce qu'il

(1) NoQS adoptons le mot de foDcUoD employé par M. Barbereaa pour désigner les termes d'an accord , avec d*aatank plus de raison , que pour nous un accord est une fonction de sa fondamentale, aussi bien que les divers termes ou éléments qui entrent dans sa composition.

n*y a pas de raison ponr faire Thypothèse t=z+'S avec t'z=: — N; plutôt que rhypothèse inverse f = — N avec f'=+N. Dans ce cas, la fonction f, (x) exprime un son appartenant à la série chromatique dont x est le point de départ. Par exemple , en posant * zz: 1 avec <' zz: — 1, on a : ^g (x'):=z -f- 7, ce qui indique le son x diésé. De même, en posant / = 2 avec <' ziz — 2, il vient 9, (x) xzizx -f- 14 qui correspond au son x aflfecté du double dièse, etc. Comme d'ailleurs le son x est quelconque, il en résulte qu'on peut atteindre successivement de cette manière à tous les sons possibles. La fonction ^ , (x) correspond par conséquent à une série quelconque de sons succesêtfs , ce qui constitue la mélodie.

Examen du ca« où m = 2. Accords de 2 sons ou intervaUes harmoniques.

(35)". Si, dans les formules (A;,) et (û.), on pose mzz: 2, ce qui est le cas des accords de 2 sons ou intervalles harmoniques, les formules deviennent:

En posant / = 1 avec l'= 0 , la seconde équation est satisfaite, et la première devient : .

f2 (a?)— 2a? + 4 qui caractérise bien Yaccord ou Vintervalle harmonique de tierce majeure , dont les deux termes sont en effet: x, et 0:4-4 et dont notre 7, (x) donne la somme* Si l'on pose au contraire : ^ = 0 avec <' zz: 1 , on a Yaccord de tierce mineure :

f a (jf) = 2j? — 3 dont les termes sont a? , et jc — 3.

Soit I = — 1 avec /' zz:+ 2, ce qui satisfait aussi à la relation / + <' z= 1 , il en résulte pour ^2 (^)* ?2(^) =2dP — 10, ce qui correspond à l'intervalle de tierce diminuée, car le son x étant le point de départ d'un tel intervalle, il résulte du tableau de la page 64 que son point d'arrivée est: x — 10; or, la somme de ces deux termes donne bien: 2x — 10.

L'hypothèse inv.erse, savoir : /=z-|-2 et <'= — 1 qui satisfait aussi à la condition *-|-<'zzzl, donne: y, (x)z:=2a?+ll. C'est l'intervalle harmonique de tierce augmentée dont les deux termes sont: x et x + ll, ainsi qu'on peut s'en assurer au moyen du tableau que nous venons de citer.

Nous devons (faire ici une observation , c'est que bien qu'on puisse tirer des deux formules : ?, (x) ^ 2« + 4* — 3/'

t+t' = ±, tous les intervalles harmoniques possibles, on n'a pas toujours pour t et t' des nombres entiers. Par exemple, pour avoir la seconde majeure, il faut poser : ^=y avec t' z=i\9 fractions dont la somme reproduit l'unité, ce qui satisfait à la seconde équation, et donne pour la première: r, (^3 = 2a;-|-2, qui caractérise bien effectivement la seconde majeure, dont les deux termes sont: x et x+2.

(35)"'. On s'assure facilement qu'il n'existe pour < et /' que deux couples de valeurs entières et positives , pouvant satisfaire aux deux équations qui caractérisent les in-

tervalles harmoniques en général , qu'il faut se garder de confondre avec les accords naturels de deux sons.

Ces deux équations, ainsi qu*on vient de le voir , sont:

<Pa (jr) = 2x + 4r — 3«'.

Or, par la nature même de la question, la quantité 4t — 3/' est nécessairement un nombre entier n qui peut d'ailleurs être positif ou négatif. En effet , le point de départ d'un intervalle élant représenté par x , son point d'arrivée est x + n , et si n était fractionnaire, on ne tomberait sur aucun des sons du tableau général des quintes. Mais Tintervalle harmonique résultant de la simultanéité des deux sons , est exprimé par la somme des termes x dx-^n, savoir par: 2jp+ii, et comme le second membre de l'équation y, (x)=2x + 4r — 3«' exprime la même chose, il s'ensuit que l'on a identiquement: 41 — 3t'=n.

Cette dernière équation combinée avec l'équation de condition : <+/'=!, donne pour t et t' les valeurs suivantes :

Or , pour que t et i' soient entiers , il faut que n soit de Pune des formes : n=70 — 5, /i=7e' + 4, formes qui rentrent l'une dans l'autre , l'indéterminée 6 de la première représentant le quotient en plus de n par 7, et l'indéterminée 0' le quotient en moins de la même division. 11 suffit donc de poser:

n=7e — 3, Celte valeur de n, substituée dans celles de r et /', donne:

Sous cette dernière forme, il est évident qu'on ne peut rendre / et t' entiers et positifs en même temps qu'en posant : 0 = 0 , ou 0 z=: i ; ce qui fait retomber sur les deux couples trouvés plus haut :

qui correspondent aux intervalles de tierce mineure et de tierce majeure, qui sont les seuls accords naturels de 2 sons représentés par les formules :

?j (x) = 2x — 3 , et ?2 (ar) zz: 2x + 4.

Remarque. Les deux termes d'un intervalle quelconque étant x et Jt | /i, représentons par f(pc) le produit de ces deux quantités, on aura:

/ (x) = J?' ^- TIX.

Or, si l'on prend la différentielle des deux membres, il vient:

df(x)z=z^xdx + ndx\

et eo divisant par dx:

dx =2*-+-"-

relation dont le second membre est précisément la somme des deux termes x, et X + n , somme que nous avons représentée plus haut par f 3 (x) , on a dune identiquement : d/O'O

Il résulte de cette remarque qu'au moyen d'une seule intégration on peut retrouver le produit des deux termes d'un intervalle harmonique , lequel produit décomposé en ses deux facteurs , fait connaître chaque terme en particulier*

dfjx) Par exemple, si Von a: f^ (jf), ou plutôt*. ^ = 2jp + 4; d'où:

df(x) = 2x rfr + 4da: , on aura en intégrant : /(ar)= x' + 4x = x (x ^-4).

Il est donc possible , par la simple connaissance de la somme de plusieurs termes, de retrouver les éléments de cette somme , qui pour nous correspondent aux diverses fonctions d'un accord. Nous reviendrons sur ce sujet.