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§. 133. Bien que le second renversement de l'accord altéré de septième mineure avec tierce majeure et quinte mineure, soit de beaucoup le plus usité, on pratique cependant aussi cet accord dans ses autres

positions ; son troisième renversement se rencontre même avec quelque fréquence dans la musique moderne ; mais l'état direct de l'accord et son premier dérivé sont moins usités. Dans l'emploi du troisième renversement, on a soin de placer la fonction de tierce au-dessus de celle de quinte, afin d'éviter l'intervalle harmonique de tierce diminuée et de le remplacer par celui de sixte augmentée, qui en est le renversement et qui présente moins de dureté.

Fig. 48.

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iiiaieur. i

et la forme de

§. 134. Revenons actuellement aux éléments constitutifs de l'accord de septième de seconde espèce (2 tierces majeures et 4 tierces mineures) et formons une agrégation dont la tierce soit majeure = -h 4, et la quinte juste =+4 — 3 = 1, il nous restera trois tierces mineures pour évaluer la septième qui, par conséquent, sera diminuée, ^«l? Comme elle n'embrasse que 13 quintes , ^\ . sur l'échelle générale , et qu'elle satisfait l'agrégation sera : i ^» ^ ^^^ conditions imposées à tous les accords

de 4 sons, il semble que ce soit encore là un véritable accord altéré; et pourtant cette agrégation présente une particularité indiquant qu'elle ne doit pas être inscrite au catalogue des accords de 4 sons. Cette particularité consiste en ce que présentant la même somme algébrique de termes que Vaccord naturel de septième de seconde espèce . ou qui revient au même, étant formée des mêmes éléments , elle rentre enharmoniquement dans cet accord naturel.

Fab reproduit cnharmoni((uement un accord de septième de seconde espèce, que l'agrégation : ) ^^'^ p^^^^. ^^^^ j, ^^^^^ ^i^ remplacer le fat»

Constatons d'abord

i^ -u ( ^* Qui n'est rien de plus que ( ^^ par son homophone M^^ 5 \ r, ^^ ^^^ ^ ,^.^ , ^^ ^.^^^^^^^ j 5i^

on a de cette manière: | ^^^ de septième de 2" espèce: {Mi

C'est ainsi que précédemment (voir page 181 la remarque) en examinant les agrégations conjuguées par la somme algébrique de leurs termes avec l'accord naturel de septième de première espèce, nous en avons trouvé une qui reproduit enharmoniquement l'accord de septième majeure a\ec tierce mineure et quinte juste, accord formé des mêmes éléments que celui de 7" dominante. A la vérité celle-là embrassait sur l'échelle des quintes une étendue de plus de 15 unités, tandis que ( ^'"l? n'en embrasse que 13; mais il suffit qu'étant l'agrégation | ^^ formée des mêmes éléments , elle rentre enhar- Soi moniquement dans l'accord principal du système dont elle fait partie pour qu'on ne doive pas la compter comme une individualité distincte. Déjà dans le système des intervalles on trouve quelque chose de pareil dans l'identification, au moyen du tempérament, d'un son distant de 12 quintes d'un son pris pour point de départ avec la septième octave de ce son initial , bien que dans la réalité absolue 12 quintes justes donnent un son plus élevé. (Voir dans le Résumé d'acoustique l'article Tempérament.)

Peut-être objeclera-t-on que , si l'on rejette une agrégation de sons , parce qu'elle rentre enharmoniquement dans un accord moins complexe, c'est-à-dire embrassant une moindre étendue sur l'échelle des quintes, il faudrait par la même raison rejeter l'accord de sixte aug-

r Mih , ( ^«

mentèe avec quinte \ ^^ lequel enharmoniquement revient a I /j^

juste, tel que : | •'^^" l'accord de septième de V'' espèce : | ^,»^

Mais cette objection n'a aucune solidité; d'abord parce que ces deux dernières agrégations n'offrent pas la même somme algébrique de termes, c'est-à-dire ne sont point composées des mêmes éléments, et en second lieu parce que Vaccord de sixte augmentée avec quinte juste n'est môme pas originairement un accord de 4 sons, mais un accord de 5 sons privé de sa fondamentale, ainsi qu'on le verra plus

loin. Il est facile de j ^^ ^^ ^^"^^^^ ^^"^^ "" ^'''^^'''^ '^^ '^"^^""^ voir que l'agrégation: ) ^^ sons, en la mettant sous la forme; f Sol

^^ qui montre que dans un tel accord la fonction de tierce serait ç , à dislance de tierce diminuée =^ — 10 quintes de la note fon- ]^^^ damentale, ce qui ne peut avoir lieu dans aucune classe d'accords, ainsi que nous l'avons dit précédemment.

Une observation bien propre à faire adopter notre manière de voir à l'égard de V agrégation de septième diminuée avec tierce majeure et quinte juste, c'est que ni en mode majeur ni en mode mineur une telle agrégation ne pourrait s'effectuer sur les degrés i, 2, 4, 5 et 6, (c'est-à-dire sur ceux qui sont les sièges principaux des accords, sans qu'il en résulte l'introduction d'un son étranger à la tonalité. Cette impossibilité n'existe point, il est vrai, pour les degrés 3, -h -4 et 7 en mode majeur 5 toutefois nous ne pensons pas que l'on admette jamais des harmonies telles que les suivantes , en prenant même toutes les précautions possibles pour en sauver la dureté.

Fig. 49.

§. 435. Parmi les agrégations formées des mêmes éléments (jue l'accord de septième de seconde espèce , il ne peut s'en trouver aucune dans laquelle les distances des fonctions de tierce et de quinte à la note fondamentale soient majeures toutes deux, puisqu'une telle agrégation exigerait au moins l'emploi de trois tierces majeures , et que nous savons qu'il n'en entre que deux de cette espèce dans l'accord de septième de seconde espèce. Or, cette combinaison étant la seule qui nous resUU à examiner , il en résulte que nous sommes en possession du groupe entier des accords de quatre sons formés au moyen de deux tierces majeures combinées avec quatre tierces mineures, groupe dont le principal accord est celui de seplième de seconde espèce, et dont le tableau suivant présente la classilication mathématique.

CLASSIFICATION MATHÉMATIQUE

DES ACCORDS DE 4 SONS CONJUGrÉS PAR I.A SOMME DE I.EVRS TERNES AVEC l'accord de septième de SECONDE ESPECE.

Somme de termes commune à tous ces accords.

<p^ (jt) = Ax — 4.

NOMS DES ACCORDS. PRODUIT DES TERMES

Indiqué. Effectué.

1" Accord de septième de seconde espèce, (h. n. dans x (x — 3)(x-)-l)(j; — 2) =i x* — Ux^ -\- x'^ -\- Q,x les 2 modes.)

2» Accord de septième maj.

avec tierce et quinte min. x(x — 3)(x — &')(x-\-^~) t=. x*' — 4a;^ — Tlx'^ -\-9(ix (h. a.)

30 Accord de septième min.

avec tierce maj. et quinte x{x-\-i')(x — 6)(j: — i)^x* — Ax^ — 20x2-|-48a' mineure, (h. a.)

Accords altérés conjugués par la somme algébrique de leurs termes avec l'accord naturel de septième de troisième espèce.

§. i36. Si le lecteur se reporte page 148, au §. 88, il verra que l'accord naturel qui domine le groupe d'accords que nous avons à constituer maintenant, est formé au moyen de 5 tierces mineures associées à une seule tierce majeure; et que, dans cet accord naturel, la tierce, la quinte et la septième sont mineures. On a par celte premièi^e combinaison entre les éléments constitutifs (cinq tierces mineures et une seule tierce majeure) un accord de la forme : T^T' ^j \>o ^ ^ - ce qui est notre accord naturel de septième de

troisième espèce, porté au tableau de la page 73, sous le n" G.

§. 137. Essayons actuellement la combinaison de la tierce mineure avec la quinte juste. Or, ce dernier intervalle employant une tierce majeure et une tierce mineure , il ne nous reste plus que trois tierces mineures pour constituer l'intervalle de septième qui sera par conséquent évalué par : — 3 — 3 — 3 = — 9 , ce qui est la mesure de

l'intervalle de septième diminuée 5 il résulte de là que l'agrégation

fournie par celte com- \ jié binaison aura la forme : / ^'\>

\ iiol

• Au premier abord, on pourrait croire que c'est là un accord nouveau ; mais si l'on remarque qu'enharmoniquement le Fah revient au Mi\:\, et si l'on met cette dernière note à la place de la première , l'agrégation ( Ré qui n'est autre chose que le premier dé-

se changera en : ) ^'\> rivé d'un accord de septième de troi—

\ Sol

sième espèce ayant Mi pour fondamentale, accord que l'on aura dans son état direct en plaçant ce Mi à la partie grave de la manière suil siU Cette seconde combinaison nous ramène donc à notre ^^" ^ • ) Sol pQini (je départ , et par cette raison ne peut être employée sous la forme d'accord de septième diminuée avec tierce mineure et quinte juste, mais seulement sous la forme plus simple d'accord de septième mineure avec tierce et quinte mineures , ce qui est l'accord de septième de troisième espèce lui-même. Voyez §. 134, ce qui a été dit dans un cas absolument semblable).

§. 138. La combinaison de la tierce mineure avec la quinte majeure ne peut être tentée , puisque la quinte majeure suppose que l'on dispose de deux tierces majeures, et que nous n'avons qu'une seule tierce de cette espèce à notre disposition.

§. 139. Les combinaisons de la tierce majeure avec les trois espèces de la quinte ne nous fournissent qu'une seule agrégation conjuguée par la somme de ses termes avec l'accord de septième de troisième espèce, nommément celle qui est formée de tierce majeure, quinte mineure et septième diminuée. Il est évident qu'il est inutile d'essayer les combinaisons de la tierce majeure avec la quinte juste et avec la quinte majeure, puisque nous ne pouvons disposer que d'une seule tierce majeure, laquelle est employée à constituer la fonction de tierce.

On peut considérer cette agrégation unique comme provenant de l'altération ascendante de la tierce dans l'accord de septième diminuée:

(a) Accord de septième i Fa (,«') Ace. de septième diminuée i Pa diminuée: W^f avec tierce majeure : ) J.^^

Ou bien si, avec Reicha et Barbereau, on regarde l'accord de septième diminuée comme un accord de neuvième dominante mineure sans fondamentale , on devra considérer l'agrégation (a') comme provenant de l'altération ascendante de la quinte dans ce dernier accord ; c'est sous cette forme qu'elle paraît au tableau des accords connus, donné chapitre III.

M. Barbereau en donne plusieurs exemples dans son grand ouvrage, tant à 4 parties sans note fondamentale, qu'à 5 parties en conservant cette note. La figure suivante, où ie lecteur admirera l'excellente disposition des parties, est empruntée à ce maître.

Fig. 50.

( i:miiii:iii;\v 'i',.,mi /,.i<;ri4.' >

11 est facile de voir que l'accord qui nous occupe ne peut s'employer qu'en mode majeur. Dans la figure 50 , il paraît au deuxième temps de la seconde mesure comme accord de -4 sons , et sous cette forme on peut lui donner le nom d'accord de septième diminuée avec tierce haussée; dans la cinquième mesure il y a une note de plus, et là il est évident qu'il appartient à l'accord de neuvième dominante mineure avec quinte haussée ; mais rien n'empêche de considérer notre agrégation comme un accord de 4 sons, lorsqu'on l'emploie comme dans la deuxième mesure , d'autant plus qu'il est contenu dans les formules qui donnent tous les accords de A sons. On verra plus loin

pj^ est contenue également dans les formules lidj;!^ générales qui donnent tous les accords ^/^ possibles de 5 sons. Du reste l'analogie

que l'agrégation

des fonctions harmoniques des accords de septième diminuée avec tierce haussée et de neuvième dominante mineure avec quinte haussée est évidente , mais il ne faut pas confondre les considérations concernant la structure des accords , avec celles qui concernent leur nature. (Voir à cet e'gard la note de la page 138.)

§. d40. Il nous reste à donner le tableau de structure de l'accord altéré de septième diminuée avec tierce haussée (i), accord qui embrasse sur l'échelle générale des quintes une étendue de 43 unités.

STRUCTURE

DE li' ACCORD DE SEPTIEME DIHIXrÉE AVEC TIERCE HAUSSEE.

-^Ré-

JPa

nul.

Evaluation de la tierce majeure.

Idem de la quinte mineure.

Idem de la septième diminuée.

On voit qu'il entre dans l'évaluation de cet accord altéré cinq tierces mineures et une seule tierce majeure, et qu'ainsi il est formé des mêmes éléments que l'accord naturel de septième de troisième espèce , mais avec une distribution toute difîérenle de ces éléments. (Voir page 1-48, §. 88 , le tableau de structure de l'accord de septième de troisième espèce.)

(140)' En récapitulant ce qui précède, on trouve qu'il n'existe qu'un seul accord altéré formé des mêmes éléments que l'accord naturel de septième de troisième espèce , ce qui réduit à deux le nombre des accords de 4 sons que l'on peut former avec cinq tierces mineures et une seule tierce majeure. La somme algébrique des termes commune à ces deux accords est:

<p, (x) = 4x-ll.

et les polynômes individuels du quatrième degré résultant du produit de leurs termes sont:

lo Pour l'accord de septième , ., fiVx— 2^— x* — 11x'-4-36x2 36jc

de troisième espèce, (h. n.) x{x-3) {x—&)(^x l)—x iix-t-.ibx dbx

2" Pour l'accord de septième diminuée avec tierce majeure et x(x|4)(x — 6)(x — 9)=»* — llx' — 6x'^-|-216x. quinte mineure.

(1) M. Fétis parie aussi de raccord de septième diminué avec tierce haussée dans son Manuel des Compositeurs.

Accords altérés conjugués par la somme algébrique de leurs termes avec l'accord naturel de septième de quatrième espèce.

§. 441. Les éléments constitutifs de l'accord naturel de septième de quatrième espèce sont ; quatre tierces majeures et deux tierces mineures, ainsi qu'on peut le voir, page 152, §. 92. Or, il s'agit de trouver tous les accords qu'il est possible de former avec ces mêmes éléments. Pour y parvenir, il suffira de combiner 1° la tierce majeure . et 2» la tierce mineure , successivement avec les trois espèces de la quinte, c'est-à-dire avec la quinte mineure. Juste et majeure. On voit que ces combinaisons offrent six chances. Quant à la grandeur de la septième de l'accord , ou pour parler plus exactement , quant à la dislance du quatrième son de l'accord à sa note fondamentale , elle sera la conséquence des distances à cette note assignées d'avance aux deux fonctions de tierce et de quinte, et son évaluation se fera au moyen de la somme des tierces restées en dehors de l'évaluation de ces deux dernières fonctions.

§. 14t2. Supposons d'abord la tierce majeure, c'est-à-dire = -+- 4 et la quinte mineure, c'est-à-dire = — 3 — 3 = — 6, il nous restera pour la distance du quatrième son à la fondamentale trois tierces majeures, et par suite : 4 -i- 4 -h 4 = 12, c'est-à-dire un intervalle de septième augmentée pour la distance cherchée. On aura donc dans la

présente hypothèse une ( jîe-L qui, enharmoniquement , n'est rien agréation de la forme : j *?' de plus qu'un accord de trois sons,

puisque FaX = Sol. Cette première hypothèse doit donc être écartée.

§. 143. Soit en second lieu, la tierce majeure = -+- A et la quinte juste =4 — 3, il nous restera pour l'évaluation de la distance du quatrième terme de l'accord à la note fondamentale deux tierces majeures et une tierce mineure , ou : 4 -h 4 — 3 ^= 5 , ce qui constitue un intervalle de septième majeure. La présente hypothèse nous ramène donc à l'accord de septième de quatrième espèce, auquel nous avons consacré un assez long article à la fin du chapitre YI, et sur lequel nous n'avons pas à revenir ici.

|. 144. La troisième hypothèse est celle qui résulte de la combison de la tierce majeure ^ -h 4 avec la quinte majeure = -i-4h-4=-+-8; elle nous laisse , pour évaluer la distance du quatrième son à la fon-

damenlale, une tierce majeure et 2 tierces mineures, ou : A — 3 — 3 = — 2, ce qui donne un intervalle de septième mineure.

Cette troisième hypothèse nous donne donc une agrégation dans laquelle la tierce est majeure, la quinte majeure , et la septième miellé constitue un véritable accord

RéJA

altéré porté au tableau des ac-

neure. Cette agrégation est par conséquent de la forme : | *!' , cords connus (voir page 74) sous le n° il, et désigné sous le nom d'accord de septième mineure avec quinte augmentée, auquel nous substituerons celui plus exact d'accord de septième mineure ayec tierce et quintes majeures.

Cet accord, fort usité dans le style moderne, est considéré avec raison par les théoriciens les plus exacts comme provenant de l'altération ascendante de la fonction de quinte dans l'accord de septième dominante. Voici le tableau de structure de cet accord , qui embrasse 10 quintes sur l'échelle générale des sons, ce qui le classe parmi les accords altérés.