C -4- /Ulf

fl étant moindre que un.

Cela posé, il est évident que si les quantités C et , toutes deux

constantes, n’étaient point égales, l’équation (6) où ïi peut être supposé indéCnimcnt petit, serait impossible. On a donc nécessairement

nx,) - fjx,)

SUR DEUX EQUAT10^S FO^DAME^TALES

et par suite

f fl = etc. =S 0.

Concluons qu'il n’est aucun intcrmllc dans toute l'étendue duquel le rapport ^ puisse converger toujours vers une meme limite constante G, à mesure que h décroît indéfiniment.

10. L’hypothèse admise ci-dessus, eu ce qui concerne l’ëquation (1), implique comme conséquence necessaire que, dans toute l’étendue de l’intervalle considéré, l’on a constamment

const C ;

et puisque cette condition n'est réalisable, ainsi que nous l'avons établi précédemment, que pour le cas de la fonction linéaire

/■(f) = Cx C',

nous sommes en droit de poser, comme rigoureusement démontré, le théorème suivant :

Lorstpie , dans toute l'étendue d'un intervalle quelconque, te rapport de l'accroissement de ta fonction à raccroissement de la variable est reconnu tel qu’il diU'ère aussi peu qu’on veut d'une limite constante C, à mesure que C accroissement de la variable converge vers zéro, il est démontré, par là même, que ce rapport est invariable, et qu'il a, pour expression numérique, celte môme valeur C, considérée, (T abord, comme une simple limite.

Ce théorème implique d’ailleurs, comme conséquence immédiate, le corollaire suivant :

Si la constante C considérée comme limite est égale à zéro, la fonction supposée se résout elle-même en une quantité constante C'.

Le lecteur remarquera sans doute que, dans tout ce qui précède, nous n’avons fait que reproduire, avec certaines modiCcations , des démonstra-

lions depuis longtemps connues. Dans ce qui suit, les questions à résoudre sont infiniment plus délicates; nous croyons d'ailleurs, qu’elles sont tout à fait neuves et qu’un intérêt assez considérable s'attache à leur solution.

3 "* QUESTION A RÊSOCDRE.

Est-il possible que, pour toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle quelconque déterminé, et tandis que h converge vers séro, le rapport ^ oscille constamment et sans fin entre plusieurs limites distinctes?

17. Imaginons que, pour une valeur particulière attribuée à x, et tandis que h converge vers zéro, le rapport fix -r h)— fix) décroisse

alternativement, de manière à osciller sans fin entre certaines limites.

Deux cas répondent à cette bypolhèse, selon que les limites dont il s’agit se rapprochent indéfiniment l’une de l’autre, ou qu’au contraire elles conservent entre elles un écart déterminé.

Dans le premier cas, les choses sc passent de la même façon que si le rapport convergeait vers la valeur finale, commune aux deux limites. Les déductions précédentes s’appliquent d’ellcs-mêmes à ce cas et il n’y a pas lieu de nous y arrêter.

Dans le second cas, il semble que le rapport ^ cesse de pouvoir être considéré comme convergeant vers une limite quelconque déterminée. Examinons ce qui se passe alors. Par hypothèse, à mesure que h converge vers zéro, le rapport ~ subit une alternative non interrompue d’accroissements et de décroissements successifs. Lorsque le rapport croit, l’accroissement qu’il subit persiste jusqu’à une certaine valeur rnaxima, h partir de laquelle le décroissement commence. De même, lorsque le rapport décroît, le décroissement qu’il subit persiste jusqu’à une certaine valeur minima, à partir de laquelle l’accroissement recommence; et ainsi de suite, sans que ces alternatives ce.sscnt de se reproduire en nombre toujours inépuisable. 11 suit de là que les valeurs maxhna et minima, qui se succèdent tour à tour, répondent à des valeurs de h qui deviennent de

SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES

plus en plus petites, et qui, par conséquent, se rapproclienl indéfiniment les unes des autres.

Soit M uue des valeurs maxima alFectées par le rapport Cette valeur peut être choisie de manière à surpasser toutes celles qui viennent à sa suite, à mesure que /< décroît indéfiniment, ou bien il faut que cette suite ne cesse pas d’offrir des valeurs maxima toujours croissantes, et convergeant ainsi vers une limite supérieure.

11 existe donc nécessairement, ou bien une limile siqxrieiire vers Laquelle les valeurs maxima convergent en croissant, ou bien une valeur maxima M qui sur|)asse toutes celles qui la suivent.

Examinons cette dernière hypothèse.

Si , parmi les valeurs maxima considérées dans l’ordre où elles se succèdent, à mesure que h converge vers zéro, il en est une, M, plus grande que les suivantes, il faut de même et nécessairement que celles-ci comprennent, soit une valeur maxima moindre (|ue toutes les autres, soit une suite de valeurs maxima constamment décroissantes, et convergeant ainsi vers une limite inférieure.

Dans le premier cas, M' étant la valeur maxima supposée moindre que toutes les suivantes, il est visible que celles-ci restent comprises entre M et M'; il faut donc qu’elles finissent, ou par converger vers une certaine limite intermédiaire, ou par osciller indéfiniment entre deux limites, iunc sui>érieure et tout au plus égale à M, l’autre inférieure et au moins égale à M'.

Dans le second cas, M' étant la limile inférieure vers laquelle les irioiii- •es valeurs maxima convergent en décroissant, l’on voit de même que, prises dans leur ensemble, les valeurs maxima doivent nécessairenieni finir, soit par converger vers la limite M', soit par osciller sans fin entre cette limite et une limite supérieure tout au plus égale à M.

Observons que, dans le cas d’une oscillation persistante entre deux limites déterminées et distinctes, les valeurs maxima se succèdent alternativement, de manière à [)iésenter deux suites, dont l’une converge vers la limite sujtérieure, et l’autre vers la limite inférieure: à chacune de ces deux suites correspond une série distincte de valeurs de h indéfiniment décroi.s-

ETLiDH AI*PHOFOM)IK

saules. iVoH.v suppoaeroiis t/iie l'an prend à part et <pte l'on considère isolément lu première série, cest-ù-dire celle qui répand aux plus yraiules valeurs maxima.

D’après ce qui j)i'écède il est aisé de voir que, dans tous les cas possil)lcs, les ))lus grandes valeurs maxima ûnissent nécessairement par formel une suite qui converge, en croissant ou en décroissant, vers une certaine liinile L.

On démontrerait do même que, dans tous les cas possibles, les plus jietites valeurs minima Unissent nécessairement par former une suite qui converge, en croissant ou en décroissant, vers une certaine limite /.

Par bypollièse, les limites L et l conservent entre elles un écart déterminé. Il est clair, d’ailleurs, qu’en prenant /i suflisaniment petit, l’on peut toujours obtenir jiour le rapport ^ des valeurs aussi rapprochées qu’on veut de l’une ou l’autre de ces «leux limites.

18 . (kda posé, imaginons que ce ne soit plus seulement pour une valeur particulière attribuée à x que le décroissement indéfini de h détermine, dans les valeurs correspondantes du rapport une oscillation sans fin, avec convergence alternative vei-s deux limites distinctes. Concevons que cette même condition subsiste pour toute l’étendue d’un certain intervalle. Dans cette nouvelle hypothèse, il importe avant tout de reconnaître si les limites I, et /, qui sont déterminées pour chaque valeur de x, subissent ou non des changements brusques, lorsque la variable croit d’une manière continue.

Voyous d’abord ce qui se |)asse relativement à la limite supérieure L.

Soit X,, Xj, Xj, etc., la suite des valeurs de x à considérer, et I.,,

Lj, etc., les valeurs correspondantes de la limite supérieure L. .V chacune des valeurs x, , Xj, Xj, etc., répond un accroissement h,, h^, /ij, etc., tel que, pour cet accroissement et pour une infinité d’autres de plus en plus petits, le rapport comporte une suite de valeurs qui satisfont toutes à la condition générale.

SUR DELX EQUATIONS FONDAMENTALES

■r, étanl une quantité qui détroit indéfiniment avec It et qu’oii peut supposer aussi rapprochée qu’on voudra de zéro.

Parmi les valeurs /i,, /i,, A,, etc., il eu est une moindre que toutes les autres. Nous la désignerons par h,, et, disposant jusqu’à un certain point de la valeur h qui figure dans l’équation précédente, nous la prendrons telle que l’on ail toujours

li < h..

L’équation (1) appliquée à la valeur particulière x, donne

Soit i une quantité moindre que h, et d’ailleurs aussi rapprochée qu’on voudra de zéro; si, dans l’équation (2), l’on remplace x„ par le

premier memhre de cette équation subira un changement {[u’on peut supposer aussi petit qu’on veut, et toujours d’autant moitulre (|ue la quantité i sera elle-même plus petite. Ce changement étant exprimé par f , il vient

D’un autre côté, si l’on désigne par la valeur et qu’on observe que la valeur L^ correspondante à x^ se réalise avec tel degré d’approximation qu’on veut, pour une valeur supérieure à A, on voit clairement que le rapport doit être inférieur à L^, ou, s’il est supé-

rieur à celte limite, qu’il ne peut la dépasser que d’une certaine quantité tout au plus égale à celle qui fixe le degré d’approximation voulue On a donc nécessairement

De là résulte ( 3 ) . . . .

' — - ■■■ ^ -4- ■+- V Vil -4-

ou

ÉTUDE APPROFODIE

Or, en premier lieu, si l'on prend h sulTisamiuent petit, chacune des (piantilës >j„, sera aussi rap|*rochée qu’on voudra de zéro; si d’ailleurs on imagine que la quantité i décroisse indérniiment, il en sera de même de la quantité f. Il est donc démontré (jue, s'il y a excès de L„ sur L^, cet excès ne l>eut que décroître indéfiniment , à mesure que tes valeurs x^, et vont en se rapprochant l'une de l'autre. La réciproque se démontre de la même manière, ainsi que nous allons le faire voir, en ne reproduisant toutefois que les points principaux des déductions précédentes.

Concevons à cet effet que, procéilant en sens inverse, l’équation (!) soit appliquée à la valeur x^,. Il viendra, en désignant par /i' la valeur qu’il convient alors d’attrihuer à h :

De là résulte comme ci-dessus.

I' étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que i.

Mais le premier membre de l’équation (-t) a évidemment pour valeur

Il ne peut donc qu’être inférieur à L„, ou, s’il est supérieur à cette limite, il ne peut la dépasser que d’une certaine quantité tout au plus égale à >)„. On a ainsi :

et, par conséquent,

Il suit de là que, s'il y a excès de Lp sur L„, cet excès ne f>eut que décroître indéfiniment à mesure que les valeurs x^, x^ sont de idus en ftlus rapprochées. La

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. .37

iiiémc proposition ayant déjà été établie en ce qui concerne l’excès de L„ sur L^, il est actuellement visible que les deux limites L, , L^ ne peuvent l’einporler l’une sur l’autre, et réciproquement, que d’une ({uanlité indéüniment décroissante avec i. Oh ne peut donc jmnl admettre que la limite iuj)éricure Lsi<èwsc, en ijcnêral , aucun cluinyement brusque, lors<iue lu variable x croit avec continuité.

U). Le fait que nous venons de constater relativement à la limite supérieure L subsiste egalement en ce qui concerne la limite inférieure I. On le prouverait, au besoin, en suivant le même procédé de démonstration que nous venons de développer. Nous poursuivrons, sans nous arrêter à ce détail qui n’oiïre aucune difficulté nouvelle.

20. Apres avoir reconnu que, dans l’hypothèse où nous raisonnons, les limites L et / varient continûment avec x, nous allons examiner si cette hypothèse elle-même est ou non compatible avec les conditions supposées remplies par la fonction ij.

Pour plus de clarté, nous résumerons en quelques mots l’état de la question qu’il s’agit de résoudre.

On suppose que, pour toute l’étendue d’un certain intervalle, le décroissement indélini de h détermine, dans les valeurs correspondantes du rapport une oscillation sans iin avec convergence alternative vers deux limites Let /. Il est d’ailleurs prouvé que, si ces limites varient avec x, c’est d’une manière continue, c’est-à-dire sans subir aucun changement brusque. Cela posé, il s’agit de reconnaître si la supposition d’où l’on part est ou non compatible avec la continuité de la fonction y.

Soient Æ, et x^,, deux valeurs de x prises dans l’intervalle que l’on considère, et assez rapprochées l’une de l’autre pour que de x, à x^ les changements subis respectivement par chacune des limites L et / restent toujours extrêmement petits.

Si , pour une valeur quelconque intermédiaire x„ l’on désigne par L, et I, les valeurs correspondantes des limites L et l, on aura généralement

X, ei6, clanl par hypothèse aussi petits qu’on voudra. Posons en général (<î) X, A, = x,^,.

Si la valeur /i, est convenablement choisie et d’ailleurs siiflisammeni petite, l’on peut écrire

■f, diiïérant aussi peu qu’on voudra do zéro, et par conséquent la quantité >!, n’étant pas sensiblement supérieure à la quantité correspondante

Partons de la valeur x,, prise à l’origine de l’intervalle que l’on considère, et faisons pour cette valeur, ainsi que pour les suivantes .r, , Xj, etc., ce que je viens d’indiquer pour la valeur générale x,, nous aurons dans les mêmes conditions que tout à l'heure, d’uue part,

et d’autre part

.Multipliant la 1” des équations (11) par /j,, la 2”" par h^, etc., puis ajoutant membre à membre, il vient, eu égard aux équations (8) :

SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES

(10). . /■ <•. ji) — /'(i.) = (A, A, elf. 4- *„) L, + i(, A, + if,A, + elc. -t-

Oti a, J’ailleurs, on venu do.s iiiéiuos éqiialions (8)

(II) r, A, + A, etc. A„ = ■t. + i.

et il est visible (|ue, si la valeur n’cst pas précisément égale à x^, l'on peut cependant faire en sorte qu’elle en diffère indéfiniment peu. Pusuns en conséquence

i étant une quantité dont on dispose, et qu’il est permis de supposer aussi rapprochée qu’on voudra île zéro.

De là résulte, eu vertu de l’équation (11)

/i, 4- A, clc. 4- A^ = J”, , , — X, == X, — i — ,

et par suite, eu substituant dans l’équation (10),

soit i) la plus grande des valeurs u, , etc., l’on a

A. +■ i(,A, -I- etc. -+- >f„A„ < (A, A, . , A^) >, < (j, — i - x.) ij , et par conséquent, l'équation (15) devient

/•(x,-- Il — f{x,) x,-i — X,

U étant une fraction.

D’un autre cdlé, l’on a évidemment

^ étaiil une quantité qui converge vers zéro en même temps que i. Il vient donc enfin

Cela posé, il est clair qu’en opérant sur la limite inférieure /, , comm* nous venons de le faire sur la limite supérieure L, , l’on aurait de même

Des équations (15) et (10) l’on déduit immédiatement

L, — t, «= fi'i' ■+■ i-' — Ml — i-

Cette dernière relation est évidemment impossible, puisque, d’une part, on sup))ose un écart déterminé entre les constantes L,, /,, tandis que. d’autre part, il est prouvé que cliacune des quantités f, f', pj, peut être rendue indéfiniment petite. Concluons en conséquence que, il n’est aucun iiUcrvallc dans toute l'étendue duquel le rapjiort puisse ascilter sans fin entre, deux limites distinctes, ù mesure que li convenje vers zéro.