R ESC .ME

21. La fonction y = f[x) étant supposée continûment croissante ou continûment décroissante, dans un certain intervalle, et les valeurs qu’elle y prend étant toutes effectives, nous avons établi, relativement au rapport,

JX h

1“ qu'il ne peut être indépendant de l’une des quantités x ou h, sans l’être en même temps de l’autre;

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

2° Que, lorsque cette indépendance existe, la fonction est linéaire, i‘i réciproquement;

3” Qu’abstraction faite de ce cas exceptionnel, le rapport dépendant à la fois de a; et de h, varie continûment avec chacune de ces deux {«randeurs, et affecte toujours, en môme temps qu’elles, une valeur unique, réelle et déterminée.

Examinant, ensuite, ce qui arrive lorsque, pour une valeur quelconque attribuée à la variable, l’on fait décroître indéiiniinent la quantité h, nous avons reconnu que si le rapport ^ peut accidentellement croître sans limites, ou bien converger vers une même limite constante, ou bien encore rester oscillant entre deux limites distinctes, il est néanmoins impossible qu'aucune de ces trois conditions * subsiste d’une manière permanente, dans toute l’étendue d’une partie quelconque de l’intervalle considéré.

Si l’on supposait que, pour une certaine étendue, il s’agît, non pas de toutes les valeurs de x comprises dans cette étendue, mais néanmoins d’une suite de valeurs qui se succéderaient sans conserver entre elles aumne distance assi<jnabtc, l'im]) 0 ssibilité que nous venons de rappelei' subsisterait également. Cette extension des résultats établis par les démonstrations qui précèdent, se fait en quelque sorte d’elle-inème, et sans qu’il soit besoin d’insister pour en faire ressortir la complète évidence.

Cela posé, observons qu’abstraction faite du cas exceptionnel présenté par les fonctions linéaires, il faut nécessairement, tandis que h converge vci-s zéro, que le rapj>orl ~ rcmjdisse /‘«iic ou l'antre des quatre condiiwns suivantes :

I " Croître sans limites;

2“ Converger vers une limite constante;

3° Osciller sans fin entre deux limites distinctes;

■i“ Converger rm une limite variable avec x.

' Il est bien entendu qu'il ne s’apil |x>int ici des fonctions linéaires. Pour ces fonctions, le rapport ^ est constant, indépendamment de toute valeur attribuée à A. Il n'jr a donc point lieu d'examiner ce qui se passe, lorsque A converge vers zéro.

D’après ce qui précède, il n’est aucune étendue dans laquelle l’une quelconque des trois premières conditions puisse subsister constamment, pour des valeurs de x qui se succéderaient d’une manière continue, ou avec des écarts indéfiniment petits. Il suit de là que le contraire doit avoir lieu pour la quatrième. Supposons, en effet, que pour celle-ci, de même que pour chacune des autres, il n’existe point d’intervalle où elle soit continùmcnl persistante; il est visible que, dans cette hypothèse, aucune distance assignable ne pourra jamais s’établir entre les valeurs de x qui réalisent l’une quelconque des trois premières conditions. Il faudra donc nécessairement que l’une ou plusieurs de celles-ci ne cessent point de subsister, soit d’une manière continue, soit pour des valeurs de x qui seraient indéfiniment rapprochées les unes des autres. Or, c’est là préchémcni ce qui a été démontré imjMssible.

Concluons :

1* Que, si dans la variation que le rapport stdiil à mesure que h converge vers zéro, l'une ou l’autre des trois premières conditions peut se réaliser, ce n’est jamais qu accidentellement ou exceptionnellement, c’est-à-dire pour des valeurs de X qui demeurent isolées les unes des autres, et qui conservent entre elles un certain intervalle.

2" Que, dans toute t étendue comprise entre deux quelconques de ces valeurs isolées et successives, le rapport ~ ne cesse point de converger constamment vers une limite déterminée et variable avec x.

22. Considérons l’nn des intervalles compris entre deux de ces valeurs isolées et successives, pour lesquelles le rapport croît indéfiniment, ou oscille sans fin entre deux limites distinctes. Si nous désignons par /' (x) la limite vers laquelle ce même rapport converge dans toute l’étendue de cet intervalle, à mesure que h décroît indéfiniment, nous aurons

= Uni

fijr h) - f{x) h

et nous pourrons écrire en conséquence

no s.

SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES

1 ) éiaiil une quantité qui dépend de h et qui converge vers zéro en inéine temps que cet accroissement.

La limite f (x) prend, par rapport à la fonction donnée f(x), le nom tie fonction dérivée. L’indice, dont on aflecte le signe représenlalif de la fonction pour désigner la fonction dérivée, sert en même temps à distinguer celle-ci et à rappeler son origine.

23. Telle est la conclusion de la première partie de ce travail. Nous la compléterons en démontrant que la fonction désignée par f'(x) est généralement continue.

Reprenons l'équation (17)

Applicable à toute valeur de x, comprise dans l'un quelconque des intervalles définis ci-dessus, cette équation exprime que, pour chacune do ces valeurs, l’accroissement h comporte une certaine limite h' , à partir de laquelle la quantité >i devient aussi petite qu’on veut, et ne fait d’ailleurs que décroître encore, à mesure que h converge vers zéro.

Considérons la suite des valeurs affectées par la limite h', alors que la variable croît continûment do x, à Par hypothèse les valeurs x, , .sont toutes deux comprises dans un seul et même intervalle répondant à l’équation (17). La condition exprimée par cette équation subsiste en conséquence pour toute l’étendue de la variation qui s’accomplit de x, à Xj,, et U II CM aucune valeur iiilennédiairv x, fiour laquelle la limile h' puisse disiHtrailre ou s’évanouir. Doit-on conclure de là que, parmi les valeurs affectées par W, il n’en est aucune qui s’abaisse au-dessous d’un certain degré de grandeur assignable d’avance et numériquement exprimable; ou bien, au contraire, faut-il admettre que la moindre de ces valeurs peut devenir indéfiniment petite en même temps que la variable x converge vers certaines valeurs déterminées? Cette question curieuse n’a pas besoin d’être résolue pour l’objet que nous nous proposons. En effet, les deux conditions que nous venons d’énoncer sont évidemment les seules qui puissent se réaliser dans la variation subie par la limite h'; il suffit

ÉTUDE APPROFOISDIE

d’ailleurs de partager convenablement l’intervalle — a?, , pour que la lireiiiière subsiste seule et exclusivement dans chacune des subdivisions obtenues. Soit, par exemple, x^, x^, etc., les valeurs successives et lurc.isaircmetit isolées pour lesquelles la limite h' converge vers zéro, en même temps que la variable x, supposée continûment croissante, se rapproebe indéfiniment de l’une ou de l’autre de ces valeurs. Partant de la valeur a?,, la limite h' a un certain degré de grandeur. Plus loin ce degré s’abaisse indéfiniment, à mesure que a? converge vers xj néanmoins, si près qu’on soit de la valeur x„, il suffit de s’arrêter au point où l’on est parvenu, pour que, dans l’intervalle franchi depuis la valeur a?,, la limile/f' n’ait pas cessé d’être constamment supérieure à zéro d’une quantité déterminée et numériquement assignable. On voit donc clairement que, pour faire subsister cette même condition dans toute l’étendue de chacune (les subdivisions successives x„ — (T,, a?j — x^ — a^j, etc., il suffit d’en exclure respectivement hîs valeurs extrêmes x^, x^, x„ etc.

Cela posé, soit x ± i une suite continue de valeurs s’écartant aussi jien qu'on voudra de x , et toutes comprises dans l’une quelconque des subdivisions ar, — ar, , a?(, — a?« , etc. On a d’abord

puis rempla(;ant a: par a; ± i, et désignant par n la valeur que prend r.. f(x ± I + A) — f(x ± <)

De là résulte, en désignant par J la différence des premiers membres des équations (17) et (18),

Oi‘, en premier lieu, il suffît que la valeur attribuée à h ne dépasse pas un certain degré de grandeur pour que, indé}>cndammcnt de toute valeur affectée par i dans la suite a? ± i, les quantités », »' restent aussi rapprochées

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

qu'on voudra de zéro. Si, d’ailleurs, el en second lieu, l’on imagine que la quantité i décroisse indéfiniment, il en est forcément de même de la quantité

Il est donc manifeste que la diflérencc

peut être rendue aussi petite qu'on veut, et, par conséquent, l'on ne saurait admettre que la fonction f {x) subisse aucun changement brusque de grandeur, lorsque la variable x, dont elle dépend, croit avec contimiité dans l’une quelconque des subdivisions, x„ — x,, — x„, x^ — x^, etc.

2i. Lorsqu’aux valeurs positives de l'accroissement h on substitue des valeurs négatives, rien n’est modifié ni dans les démonstrations qui précèdent, ni dans leurs conséquences. Veut-on s’en convaincre immédialeinenl*? Il suffit d'observer que, pour toute variation accomplie dans un intervalle quelconque x^ — x,, il y a identité entre les fonctions f[x) et f(x, -f — x), sauf inversion de l’ordre suivant lequel les valeurs se succèdent. Soit , en effet, a:' ctx" deux valeurs conjuguées de la variable X pour lesquelles on ait de part et d’autre

Il viendra d'abord

et, comme il en résulte

— A « ;Tj J,, — x" — A ,

l’on aura ensuite

On voit ainsi qu’à partir de toute valeur commune des fonctions f{x, -f — x) et f{x), les changements opérés dans la première, par

ac'ci'üisseiuent de la variable, sont identiques avec ceux que subit la seconde pour un décroissement de la variable égal en grandeur à ce même accroissement. Or, il est démontré qu’on a, en général,

fli^, ■*- J,) — (j"-*- *) 1 — j") ,

if{x) étant une fonction continue, et »] une quantité qui converge vers zéro en même temps que //. On a donc identiquement, par voie de simple substitution

*) —fix’) h

ou, ce qui revient au môme,

la fonction F(x) étant généralement continue, et r, convergeant vers zéro à mesure que h décroît indéfiniment.

25. Il est prouvé par ce qui précède que, si l’on fait converger vers zéro la quantité h , chacun des deux rapports fi*’ pj converge en général vers une certaine limite exprimée par une fonction continue de la variable x. On a donc d’une part,

et d’autre part (î)

= f'ix) +

/■(x)-Ax-A)

les fonctions f'{x) et F(x) étant toutes deux continues, et cbacune dos quantités )j, Ç, convergeant vers zéro en même temps que h.

Cela posé, deux cas sont possibles, selon que les fonctions f'(x) et 1 (x) se confondent, ou qu’au contraire, elles difTèreiit.

SUR DEUX ÉQUATIO.^S FO^DAMEISTALES.

Soient .F, et a?, deux valeurs aussi voisines qu’on voudra, et né comprenant entre elles aucune de ces valeurs intermédiaires etc., dont la

variable ne peut se rapprocher indéfiniment, sans qu’il y ait convergence vers zéro de la limite désignée plus haut par h'. Posons /< = x^ — ar,. Si dans l’équation ( 1 ) l’on remplace x par ar, , il vient

de même, si dans l’équation (2) l’on remplace x par l’on a

De là résulte immédiatement,

et puisque chacune des quantités ï, u, devient indéfiniment petite, à mesure que II converge vers zéro, il s’ensuit que F(a:j) converge vers f'{x,), en même temps que x, vers x^. Il y a donc identité entre les deux fonctions f'[x) et F(a;) pour toute l’étendue de chacune des subdivisions x^ — a;, , Xi — a?„, etc., du n” 2Ô.

Ce premier point établi, il est ai.sé de voir que, réciproquement, toute valeur a:,, pour laquelle on a f'[x^— F(iTj), ne peut coïncider avec aucune des valeurs a:„, x^, etc., rappelées ci-dessus. En eiïet, quel que soit le sens suivant lequel la variable x s’écarte de la valeur aTj, la limite h' a . pour le point de départ, un certain degré de grandeur déterminé, et cette même condition subsiste pour une certaine étendue mesurée, soit en avant, c’est-à-dire de x^ à a?,, soit en arrière, c’est-à-dire de x^ à a,. On a donc, d’une part, en vertu de l’équation (1).

t'i d’aulrô pari, en vertu de l’équation (2),

La combinaison des équations (5) et (fi) donne et à raison de l’égalité des deux valeurs /’(xj = F(xJ,

I, — X, ■ Xj — X,

ou bien encore

Xj — X,

ç devenant indéfiniment petit, et la fraction ju convergeant vers l’unité à mesure que la valeur x, se rapproebe indéfiniment de la valeur Xj.

[.es équations (8) ou (9) expriment ce qui suit ;

Tnndis que la variable x croit continûment de x, à x, l’accroissement h — Xn — X,, reste suj^ricur à la quantité Xj — Xj, et, néanmoins, le rapport de l’accroissement de la fonction à l’ accroissement de la variable se rapproche, autant qu’on le veut , de la limite correspondante f'{Xi) = F(xi).

Pour se convaincre de l’exactitude rigoureuse de cette déduction, il suffit d’observer :

1° Que dans l’équation (0) le degré de convergence a pour mesure le produit foi, fl étant une fraction ;

2" Que la quantité r, provient de réqnalion (5) où l’on a pu la rendre aussi petite qu’on a voulu, tout en consei vant à l’écart x, — x, un certain <legré de grandeur.

2fi. Nous venons de reconnaître que les rapports et

üfLlZÛhzlLÏ ^ ont constamment même limite pour toute valeur de x comprise dans chacune des subdivisions x„ — x,, Xj — x„, Xj — x,,du n'’(25),

SLR DELX EQUATIONS FOiNDAMEMALES.

et qu’on même temps, aucune des valeurs pour lesquelles cette égalité subsiste ne peut coïncider avec l’une quelconque des valeurs extrêmes X,, Xj, Xj, etc. Il suit de là que, pour ces dernières valeurs, les deux limites f’(x) et F(x) diffèrent nécessairement, et que, par conséquent, de l’une à l’autre, il y a changement brusque de grandeur. Réciproquement, toutes les fois qu’un pareil changement se produit, pour une valeur déterminée de la variable, l’on peut affirmer que cette valeur appartient à la suite des valeurs isolées x„, x^, x, , etc., précédemment définies.

Suit, en effet, x, une valeur de x pour laquelle il y ait inégalité entre les deux quantités f'{x) et F(x), limites respectives des deux rapports et . L’équation (7) subsistant comme tout à

l’heure, à cela près que les quantités /''(x,) et F(x,) ont cessé d’être égales; l’on a, en divisant les deux membres par le facteur x, — x, ,

iri'.) -c

- fi-

cela pose, si l’on imagine que la quantité x, se rapproche indéfiniment de la valeur x,, sans toutefois l'atteindre, il est visible que le second membre de l’équation (10) converge vers la valeur f'(x^. Or, datis ces tnêmes circonstances, la limite du rapport est F(x,). On voit donc

que si, dans ce cas, l’on se tient à ce procédé, c’est-à-dire si l’on opère en maintenant un certain écart entre les valeurs extrêmes x, et Xj, il devient absolument impossible d’obtenir la convergence voulue. Poui' remplir cette condition essentielle, il faut alors faire converger la valeur X, vers la valeur x„ de manière à rendre la différence x, — x, indéfiniment petite, par rapport à l’accroissement total x, — x,, ce qui exige que cet accroissement converge lui-même vers zéro en même temps que x, se rapproche indéfiniment de la valeur x^. Il est ainsi démontré que

Toute valeur de x, pour laquelle les limites des rapports pt

A*) — / '(X-/)) égales, constitue une des valeurs isolées x„, xi, x„ etc.,

dont la variable ne peut se rapprocher indéfiniment sans que la limite h' converge vers zéro.

ETIDE APPROFONDIE

On voit aussi par là couiment la limite h' , qui reste dctcriuinëe et numériquement assignable pour chacune des valeurs extrêmes x,, Xj, x,, etc., peut néanmoins converger vers zéro, à mesure que la variable converge vers l’une ou l’autre de ces valeurs, soit en croissant, soit en décroissant. Si CCS deux faits peuvent, au premier abord, paraître contradictoires, on reconnaît bientôt que leur existence simultanée est non-seulement possible, mais qu’en outre elle dépend d’une condition particulière aussi simple à concevoir que facile à réaliser.

Ajoutons enlin que des équations (7), (8) et (9) du n“ 25, résulte le ibéorème suivant :

En (jéitcral, et pour toute valeur de x comprise dans l'une des suhdivisions Xa — X,, Xj, — Xa, elc., U csl indiljércut que l’accroissement Ax soit porte tout entier d'un meme côté de cette valeur, ou qu’il se compose de deux parties quelconques portées, l’une en deçà, l’autre au delà. Dans tous les cas, ta limite du rapport ^ reste identiquement ta meme.

I,es détails dans lesquels nous venons d’entrer n’étaient pas absolument nécessaires au but que nous poursuivons. Néanmoins, nous avons cru utile de ne point les omettre dans une étude approfondie, où leur place se trouve marquée naturellement, et où le jour qu’ils jettent sur plusieurs points délicats satisfait l’esprit, en lui permettant de concilier des faits qui lui sont imposés d’abord, en dépit de leur apparence contradictoire.

Itésumé ffâiéral du chaintre /".

27. Soit tj = /'(x) une fonction quelconque, supposée continue dans l’intervalle — x„ où, pour chaque valeur attribuée à x, elle n’affecte jamais qu’une valeur unique, toujours effective, réelle, et déterminée. Soient en outre x et x h des valeurs choisies comme on voudra entre les valeurs extrêmes x„ et x^.

Le rapport de raccroissement de la fonction à l’accroissement de la variable ayant pour expression générale

sy ^ fjr It) — fjr)

SX h

SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES

il résulte des démonstrations précédentes que nous pouvons considérer coiiuue étant rigoureusement établis les principes suivants :

1° Le rapport ^ ne peut jamais être indépendant de l’une des deux quantités x ou A, sans l’être en même temps de l’autre, et sans se réduire, en conséquence, à une constante absolue. En ce cas, la fonction y est linéaire, et réciproquement;

2“ Abstraction faite du cas particulier et unique présenté par la fonction linéaire,

y = HT H- c.

pour laquelle, indépendamment de toute valeur attribuée, soit à x, soit à II, l’on a constamment

iÿ

s= ax Cûiul.,

AX

le rapport est une fonction continue qui dépend, à la fois

et toujours, des deux quantités x et h;

5" Lorsque la fonction y n’est point linéaire, et que, pour une valeur particulière attribuée à x, l’on fait converger vers zéro raccroissement h, il peut arriver que le rapport f (-^ 1 ~ û f ? croisse sans limite, ou qu’il converge vers une limite constante, ou qu’il oscille sans fin entre plusieni-s limites distinctes, ou bien encore qu’il converge vers une limite (|ui déjMind de la valeur attribuée à x, et change avec cette valeur.

De ces quatre conditions, seules possibles dans la variation dont il s’agit, les trois premières ne sont jamais réalisables que d’une manii-re accidentelle, c’est-à-dire pour des valeurs de x qui demeurent isolées les unes des autres, et qui conservent entre elles certains intervalles. Dans toute l’étendue comprise entre deux quelconques de ces valeurs isolées et successives, le rapport ~ ne cesse point de converger constamment vers une limite déterminée et variable avec x. On a donc en général.

li„ h)-f{x)

ou, ce qui revient au iiième,

>j étant une quantité qui dépend de /i et qui converge vers zéro en même temps que cet accroissement;

Pour chacun des intervalles, dont il vient d’èlre fait mention , l’on a généralement :

Uni

fis h)-f{x) h

liiu

et la limite f'(x) est une fonction continue de la variable x. Néanmoins, il est possible que, pour certaines valeurs particulières, a:*, æ,, etc., comprises dans l’un quelconque de ces intervalles, les limites des deux rapports f{ x->-h) — f{i) ^ f(^)~ cessent tout à coup d’être égales. En ce cas,

il y a lieu d’observer, comme tout à l’beure, que les valeurs auxquelles répondent ces changements brusques, ne peuvent jamais se succéder qu’en conservant entre elles certains écarts. Il s’ensuit donc que la fonction dérivée f'{x), limite commune des deux rapports et

demeure essentiellement continue dans toute l’étendue de chacune des subdivisions successives a?„ — Xi, — x,, x^ — x^, etc.;

5° La continuité de la fonction primitive f{x) implique celle de la fonction dérivée f(x), pour une suite d’intervalles qui se succèdent sans interruption et qui forment, par leur ensemble, l’étendue totale où s’accomplit la variation de X.

A chaque limite commune à deux de ces intervalles immédiatement successifs, la fonction dérivée peut subir un changement brusque, soit parce

que les deux rapports et \ , considérés dans la

variation qu’ils subissent pour des valeurs de h indéfiniment décroissantes, cessent de converger vers une même limite, soit que l’un ou l’autre, pris dans les mêmes circonstances, croisse d’une manière indéfinie ou oscille .sans fin entre plusieurs limites distinctes. On dit alors qu’il y a solution de continuité. Dans tous les cas, et si rapprochées, si nombreuses qu’elles

SLR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

puissent être, ces solutions de continuité ne constituent jamais que des accidents transitoires, essentiellement dépourvus du caractère de permanence qui appartient à la variation continue de la fonction primitive et de sa dérivée.