A*») >KA

Ajoutant membre à membre les inégalités (i), il vient, eu égard aux égalités (3),

(o) A'-ti) — A*.) > K(A. -t-A. + etc. + AJ.

On a d’ailleurs, en vertu de ces mêmes égalités,

r, H- A, .f. A, etc. A. = T.,,,

et il est visible que la valeur peut être supposée précisément égale à ip. On peut donc écrire

A, 4- A, - 1 - etc. -t- A. = ,

et substituant dans l’inégalité (3)

fM — f{^.) > K(', — '.)■

De là résulte

et comme cette inégalité implique contradiction avec l’inégalité (2), il en résulte que l’iiypotbcsc, d’où nous sommes parti, est inadmissible.

Coticluom qu’il n'esl aucun inlervalle datis toute l’étendue duquel le rapport ^ puisse croître sans limites à mesure que h converge vers zéro.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

2°" QUESTION A KÊSOEDRE.

Est-il possible que, pour toutes tes valeurs de x comprises dans un intervalle quelconque déterminé, et tandis que h converge vers zéro, le rapport ^ soit et demeure convergent vers une seule limite, cotistamment la même?

15. Soient x, et x^ deux valeurs de x prises dans l’intervalle que l’on considère et où l’on suppose que, tandis que h décroît indéfiniment , le rapport ne cesse pas de converger vers une seule et même limite constante C. Si l’on désigne par x, une valeur quelconque intermédiaire, et par h, une valeur de h suffisamment petite, on pourra toujours faire en sorte que l’on ail

t), étant moindre qu’une certaine quantité »j dont on dispose et qu’on peut d’ailleurs prendre aussi petite qu’on voudra. Partons de la valeur x, prise à l’origine de l’intervalle que l’on considère; posons comme tout à l’heure

et faisons pour les valeurs conjuguées (x, , b,), ainsi que pour les suivantes /*i)> ^* 3 )» ce que j’ai indiqué pour les valeurs générales

(x,, b,). Nous aurons dans les mêmes conditions que pour l’égalité (1).

A». ft.) — /'(».)

— C If, = C +

Multipliant la première des équations (3) par /i,, la seconde par h,, et ainsi de suite, puis ajoutant membre à membre, il vient, eu égard aux équations (1),

(4) . . . fix.tt) — f(x,) = (A, + A, etc. AJ C - 4 - h,<i, + h,<f, elc. -4- A,.,.. On a, d’ailleurs, en vertu des mêmes équations, jr, A, -4- A, elc. — x.*,

et il est visible que la valeur peut être supposée précisément égale à On peut donc écrire

A, -4- A, -4- elc. -4- A„ = Jt, — I, , et substituant dans l’équation (A)

{ü) ... . f(x,) — fx,) = C(;r, A, 1 (, + A,i(, clc. + A,?,

Par bj-potbèse chacune des valeurs >j, , r,^, etc., est moindre qu’une certaine quantité n dont on dispose et qu’on peut prendre aussi petite qu’on veut. On a donc d’abord

AiV. etc- -* •' *. 'tv. -4 A,).. < {i, — !,)<,.

11 vient ensuite, eu égard à l’égalité (5)