Soit une fonction continue de la variable x

(1) ÿ = AO-

Si l’on désigne par Ai/ le changement subi par la fonction lorsque la variable augmente de la quantité Az, l’on a généralement

(2) iÿ = /■(x + AX) — f{x),

et en outre, conformément aux déductions précédentes,

(3) lira — = /"(x).

Nous avons démontré que, pour toute valeur de z à laquelle répond une valeur elTective de la fonction y, il existe un certain intervalle où l’équation (2) subsiste continûment, et implique, comme conséquence, la condition exprimée par l’équation (ô). De là résulte, entre les accroissements Ay et Ax, un lien de dépendance, qui ne cesse pas de les déterminer l’un par l’autre à mesure que tous deux convergent simultanément vers zéro, et qui s’étend ainsi, sans interruption, jusqu’à leur origine ellemême. Par suite, et inversement, il est visible que la génération simultanée de ces accroissements , considérée à l’inslant précis où elle commence, doit, alors même, être nécessairement régie par une loi déterminée. Plaçons-nous à

coite origine : considérons cet instant précis où les accroissements Ar et Aÿ prennent en même temps naissance, et, concevant le mode le plus siiii|)le qui puisse régir cette génération, ainsi prise à son délmt, admettons qu’il consiste en une loi de proiiortionnalilé constante et uniforme.

La condition que nous venons d’énoncer se réalise, lorsque la fonction y est linéaire, c’est-à-dire de la forme

( 4 ) ÿ = ax -t- h.

En effet, l’on a dans ce cas,

(r>) MJ = a. SX,

on, ce qui revient au même,

(<>) — «= a *= consl.

L’éjjuation (G) met en évidence la loi de proportionnalité, suivant laquelle lès grandeurs Ai/ et Aj s’engendrent l’une par l’autre. Elle montre que cette loi est indépendante de toute valeur attribuée à la variable, et qu’elle reste toujours la même, toujours constante et uniforme, soit que les accroissements s’écartent de leur origine commune en augmentant sans lin, soit au contraire qu’ils s’en rapprochent indéfiniment en convergeant vei’s zéro. On voit ainsi que le mode, suivant lequel la génération simultanée des accroissements s’accomplit, présente le caractère distinctif d’une invariabilité absolue et, qu’en conséquence, il subsiste à l’origine même de celte génération. Le premier principe à déduire de cette simple analyse peut s’énoncer comme il suit :

Dans loule fonction linéaire

y = OJ 6.

quel que soit le point de départ pris pour origine commune des accroissements ùx et Al/, c'est toujours, suivant la raison de proportionnalité exprimée par a, que commence la génération simultanée de ces deux grandeurs.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

Cela posë, si, tenant compte des considérations qui précèdent, l'on compare l'équation (3) à l'équation (0), l'on est conduit naturellement à rinduclion suivante :

Dans toute fonction continue et non linéaire

la ijénération simultanée des accroissements Sx et Sij commence, en général, suivant une certaine raison de proportionnalité. Constamment variable avec x, cette raison est exprimée par la valeur particulière que la fonction dérivée f'{x) ajfecte au point pris pour origine des accroissements.

Ce deuxième principe étant d'une importance tout à fait ca|)itale, nous croyons nécessaire de l'établir directement et avec une entière rigueur. A cet effet, nous procéderons par la voie syiuliélii|ue.

2Ü. Nous avons dit qu’à l'instant précis où elle commence et quelle qu’en soit d’ailleurs l’origine, la génération simultanée des accroissements Sx, Sy. est nécessairement régie par une loi déterminée. Nous avons ensuite considéré le mode le plus simple que cette loi puisse affecter, et, observant qu’il se résout en une raison de proportionnalité constante et uniforme, nous avons montré comment il se réalise effectivement dans la fonction linéaire

y ax b.

Imaginons, maintenant, qu’au lieu de persister dans une seule détermination, la raison dont il s’agit subisse au contraire une variation incessante, et que, en conséquence, pour chaque valeur affectée par x à l’origine des accroissements, elle soit exprimée par la valeur correspondante d’une certaine fonction continue ç(x), clioisie comme on voudra.

Il est visible que, dans cette hypothèse, les accroissements Sy et A.r ne peuvent plus, comme tout à l’iicnre, conserver entre enx le rapport qui régit transitoirement leur génération simultanée prise à son origine. La relation qui les fait dépendre l’un de l’autre est nécessairement plus complexe. Cherchons à la déterminer, car telle est la question que nous avons actuellement à résoudre.

Quelle que soit la valeur attribuée à x, il existe à partir de celte valeur

un cerlaiii intervalle Ax, où la fonction y(x) ne cesse pas de croître toujours ou de toujours décroître. Nous admettrons, pour plus de simplicité, que l’intervalle Ax se trouve limité de manière à remplir la première de ces deux conditions. Cette restriction, purement apparente, n’ùte rien à la généralité des démonstrations. On verra aisément qu’elles s’étendent, d’elles-mèmcs, à tous les cas possibles.

Divisons l’intervalle considéré Ax en n parties, toutes égales à h, nous aurons

nh •= il ;

et, si nous désignons par Aj/,, Aj/j, etc., Aÿ„. etc., Ai/,, les accroi.sseraents partiels qui répondent successivement à chacune des subdivisions effectuées, il viendra pour l’accroissement total Ai/,

iy -= Jy, ■*- iy, -t- elc. -t- ày„ h- etc. iy„.

Ij’intervalle h. auquel répond l’accroissement partiel Ai/„, est limité par les valeurs extrêmes x + (m — 1) h, x + mit. Les valeurs correspondantes de la fonction f(x) sont respectivement f(x-+-(m — l)/»)* "b nih).Cc .sont donc aussi ces dernières valeurs qui déterminent, pour l’inlervallc dont il s’agit, les limites entre lesquelles la raison de proportionnalité qui subsiste à l’origine des accroissements, doit être supposée continûment variable et constamment croissante. Or, puisque, dans le cas d’une raison de proportionnalité constante et représentée par a, l’on aurait,

= oh .

il s’ensuit que l’hypothèse, où nous rai.sonnons, implique, comme conséquence immédiate, nécessaire et évidente, les deux inégalités générales

< hf ( 4 : 4- m*).

De là résulte à fortiori

> A(y(x)4-ji{j-4-*}4-j,(a:4-2A)4- etc. ■+■ + (11 — 1)A)]

*y < A [f (•» 4- A) 4- f 4- 2A) etc. 4- f (» 4- nA)],

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

et, par suite,

(7) . . = A[y(jr) -»• p(x-«- A) + etc. -t- f (i -4 - (m — I )A)) + ^A[j(jr+ iiA) —

ft étant une quantité comprise entre zéro et 1.

En remplaçant h par sa valeur ^ , l’équation (7) devient

f(n- A) -*■ etc. — l)A)

J. {X H- il) — f (x)

ou bien encore

(<)) y (j) H- y (J -4^ A) 4- etc. -4- y ( J + (n— I ) A)

y(*-4-ix)— y(x)

Cela posé, imaginons que, sans rien changer à l’intervalle Ax, l’on augmente indéfiniment le nombre ti, qui marque en combien de parties égales cet intervalle est subdivisé. L’équation (9) subsistera toujours, et puisque le second membre de cette équation demeure invariable, les deux termes, qui figurent dans le premier, devront former ensemble une somme constante. Or, à mesure que n est pris de plus en plus grand, l’un de ces termes décroît sans fin et approebe autant qu’on le veut de zéro; il faut donc que, dans les mêmes circonstances, l’autre converge à lui seul, vers la limite fixe exprimée numériquement par leur somme. Mais, d’un autre côté, ce terme est la moyenne aritbinétique des valeurs que la fonction <f(x) affecte à l’origine de chacune des subdivisions introduites dans l’intervalle Ax. Il est, d’ailleurs, évident que cette moyenne arithmétique, considérée directement cl en elle-même, converge vers une limite déterminée, à mesure que le nombre n croît indéfiniment. Si donc on désigne cette dernière limite par le symbole ]^| fW , on aura d’abonl pour la déterminer rigoureusement

y(x)-4-flx-4-— ) -4- elc. -4- F|x-4-(n— 1)^1 lini 1 "Ll ! -

cl si l’ou veut simplement la calculer par approximation,