II

l’erreur commise diminuant à mesure que n augtneiite, et restant toujours moindre que la quantité

f{ X + AX) — f{x) n

Il viendra ensuite, et telle est précisément la relation <juil s'agissait (f obtenir,

(12) Ay ■= ix. M y (*)■

Cette relation, établie entre les accroissements Ag et Ar, les détermine l’un par l’autre, de manière à réaliser l’hypothèse dans laquelle nous avons raisonné. Us sont donc tels que leur génération simultanée commence suivant une raison de proportionnalité incessamment variable, et exprimée pour chaque origine par la valeur correspondante de la fonction <f(s).

Ainsi que nous l’avons fait voir dans notre Essai sur les princijM's fondamentaux de l’analyse transcnidantc , et qu’on peut d’ailleurs y parvenir par le procédé suivi tout à l’heure, on démontre aisément qu’en désignant par f(a;) une fonction quelconque continue, et par f'(it) la dérivée de cette fonction, l’on a en général ’

( 13 ) sf{x) = AX. ]^| f'ix).

11 suit de là que, pouvant choisir comme on veut la fonction il sufTit de l’identifier avec la dérivée f'[x) pour que, en vertu des équations (12) et (15), les accroissements Af(x) et Arj qui répondent à un même intervalle quelconque Ax , deviennent eux-mêmes identiques. Cette double identité permet d’appliquer littéralement à l’équation (15) ce que nous avons dit de la relation (12). On voit ainsi que, bien loin d’être gratuite,

' Voir, pour la ilrmon^lralion , le n' -t3 ci-,iprts.

SLR DËLX ÉQUATIONS FONDAMENTALES.

l’bypollièse, dans laquelle nous avons raisonné, se réalise au contraire pour toute fonction continue if = f(x), et qu’en conséquence, il est une loi générale de proportionnalité subsistant à l’origine des accroissements Ai/. Ar, et régissant leur génération simultanée à l’instant précis où elle commence. Le mode affecté par cette loi est uniforme ou varié, suivant que la fonction 1 / est ou n’est pas linéaire. Dans le premier cas, la raison de proportionnalité, dont la valeur particulière complète la détermination de ce mode, demeure invariable : dans le second, elle cbange incessamment; dans l’un comme dans l’autre, clic est exprimée, pour chaque origine, par la valeur correspondante de la dérivée

r(.) = lim

50. Le principe que nous venons d’établir peut se démontrer do bien des manières différentes. En voici une, très-prompte et très-directe, qu’il nous suflira d’indiquer.

L’intervalle Ar restant assez petit pour que la fonction y(x) y soit toujours croissante, ou toujours décroi.ssantc, il est visible que l’on a, en même temps,

iy > ?(')•

OU bien, au conti'airc,

iÿ < ?(r).

iy > ■¥■ is). ir.

De là résulte, dans tous les cas,

(•*) iy = ■iJ'- tf(r) -e -e ■!*) —

,u étant une quantité comprise entre 0 et 1.

Soit maintenant f{x) une fonction quelconque continue, et f'(x) la dérivée de cette fonction. On a, conformément à l’équation (17) du n° 25,

C5) i/-(x) = âx. [/-'(x)

>i étant une quantité qui converge vers zéro en même temps que Ar.

Posons, comme tout à l’heure,

vl-r) =

la combinaison des équations (1-i) et (15) donne :

A f{l)— Aÿ AJ

et, en vertu du théorème établi n° 16,

ôl. Nous avons vu comment, pour toute fonction continue y=f[x), le lien de dépendance, qui s’étend jusqu’à l’origine des accroissements Ai/ et Ar, se résout, à cette origine, en une loi générale de proportionnalité. Nous avons vu, en outre, que la seule distinction établie entre les fonctions linéaires et les fonctions non linéaires, consiste en ce que, pour les unes, il y a invariabilité absolue de la raison suivant laquelle commence la génération simultanée des accroissements, tandis que, pour les autres, cette mémo raison est incessamment variable. De là résulte la déduction suivante :

Les accroissements ^{ax-\-h) ~ nAx, et Af’(x) = Ax. m '(i) , étant rapportés tous deux à une même origine, et tous deux répondant ensemble à une même variation continue de la quantité Ax, c’est suivant un même mode de composition successive que s’accomplit leur génération simultanée. La seule distinction consiste en ce que, pour l'un, l'élément représenté numériquement par a intervient constamment sans changer de grandeur, tandis que, pour l’autre, ce même élément passe par tinc suite non interrompue de déterminations transitoires, toutes variables avec X dans l’intervalle Ax, et exprimées par la valeur correspondante de la dérivée f\x), c’est-à-dire par le nombre /"'(x + Ax).

Le mode suivant lequel l’accroissement \(ax-\-b) = a^x, se compose avec les deux grandeurs o et Ax, est assez simple pour qu’on puisse aisément s’en former une image précise. Ce mode, appliqué à la génération continue de l’accroissement Af[x), reste identiquement le même, sauf substitution de la grandeur variable /"'(x -{- Ax) à la grandeur constante a.

SUR DEUX ÉQUATIOISS FOXDAMEXTALES. 61

Néanmoins , dans ce dernier cas , on éprouvera peut-être quelque dilQculté à se le représenter nettement. Pour ne laisser sur ce point capital aucune obscurité, nous allons rendre, en quelque sorte, matériellement palpable le sens qui s’attache à l’énoncé précédent.

32. Soit AX une droite quelconque sur laquelle on mesure, à partir du point A, les diverses longueurs exprimées par x. Soit AB = x, l’une de ces longueurs prise pour origine do l’accroissement BE = Ax. Soit enlin MNO une courbe quelconque choisie comme on voudra.

Imaginons que la droite BL, perpendiculaire à .\X, se transporte parallèlement à elle-même, et désignons par ; une certaine portion de cette droite, mesurée à partir de la courbe MNO. Deux cas pourront se présenter, suivant que la portion z de la droite mobile BL conservera la même grandeur, ou, qu’au contraire, elle sera incessamment et continûment variable.

Dans le premier cas , l’on a , par hypothèse ,

Z = runst. = a.

Si donc on prend MM'=a, il est clair que, dans le déplacement de la droite BL, l’extrémité supérieure de la portion s décrit la courbe M'N'O', qui n’est autre que la courbe MNO, transportée parallèlement à BL de M en M'. On voit de même (les premières notions delà géométrie élémentaire

siiftîsont pour l’établir), que l’aire engendrée par la portion z dans l’intervalle quelconque Ar, et représentée grapliiquenicnt par le quadrilatère inixtiligne MM'N'N, a pour mesure le produit n. Ar. Il suit de là que, pour un mêinc intervalle quelconque il y a identité entre la génération continue de l’accroissement A(nx -[- h) — a.ikX et celle de l’aire engendrée par une droite mobile, dont la longueur et la direction demeurent invariables. On peut aussi en inférer que la génération continue de l’accroissement \f{x) ne diffère de la précédente, qu’en ce que la droite mobile cbange incessamment de grandeur, au lieu de |)ersisler dans une seule et même détermination. C’est, au reste, ce que nous allons établir rigoureusement , en examinant le cas où la longueur z est supposée continûment variable.

On a, alors,

et l’on peut prendre riiitcrvalle Ax assez petit pour que la fonction ^(x) y demeure toujours croissante, ou toujours décroissante. Admettons que cette condition soit templie, et que l’on ait, d’ailleurs,

MM' = f{x,).

Il est visible que, dans le déplacement de la droite RL, l’extrémité supérieure de la portion z décrit une ligne M'N", située tout entière au-dessus, ou tout entière au-dessous de la courbe M'N'. Quant à l’aire engendrée par celte même portion z de la droite RL, et représentée j>ar le quadrilatère inixtiligne MM'N"1V, on voit clairement qu’elle est nécessairement comprise entre celles qui, pour le même intervalle Ax, répondent aux deux bypotbèses

Z = ronsl = •(*■.)

Z = consl = -*■ ir).

Or, ainsi qu’on l’a vu tout à l’beure, dans la première de ces deux hypothèses, l’aire engendrée aurait pour mesure

et dans la seconde

il. ft*.) ,

il. f (jr, -t- ix).

SLR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

11 est donc cLiir que, dans le cas où nous raisonnons, elle a pour expression numérique {/x étant une quantité comprise entre 0 et 1),

ix [y(x,) /u(î(x. il) —

OU plus généralement, l’origine .r, pouvant être changée sans qu’aucune des déductions précédentes cesse d’étre applicable,

ix[y(x) /x(?(x ix) — J.(x))] = iX [?(x) + fi(x)].

Cela posé, si nous désignons par y la fonction inconnue dont l’accroissement Ay, considéré dans sa génération continue, résulte du déplacement de la droite s, constante en direction et variable en grandeur, nous aurons

( 16 ) iÿ = ix. [',(x) + /i. Af(x)].

Imaginons d’un autre côté que, disposant de la fonction arbitaire nous la prenions égale à la dérivée f'ix), définie n° 22, et satisfaisant à la condition

(17) iflx) — iX [/"(x) -H ,];

soustrayant, membre à membre, les équations (16) et (17) il vient

àX

Or, chacune des quantités ri et /nAy(a?) décroît indéfiniment à mesure que Ix converge vers zéro. Donc, en vertu du théorème exposé n" 16, l’on a nécessairement ,

if[x) = Aÿ.

Il est ainsi démontré que, pour tout intervalle A.t où la fonction quelconque y = f{x) demeure continue, la génération successive de l’accroissement ^.f(x) peut être considérée comme s’identifiant avec celle de l’aire engendrée par une droite mobile, dont la direction demeure constante, et dont la grandeur, incessamment variable, est exprimée, pour chaque point de l’intervalle Ax, par la valeur correspondante de la dérivée /’'(*).

Celle reprcsenlalion sensible du mode suivant lequel commence cl s’accomplil la géncralion simultanée des accroissements Aiy el Aa:, n’esl qu’une expression [larticulière el restreinte de la loi générale de proportionnalité établie ci-dessus. Toutefois elle peut être utile par le jour qu’elle jette sur (juclques-uncs des déductions qui précèdent et sur celles qui vont suivre.

35. Étant donné une fonction quelconque continue y = f{x), désignons ])ar a la valeur particulière que la dérivée f (x) aflectc à l’origine des accroissements Ay, Ax, et considérons, en même temps, les deux générations simultanées qui répondent, la preniière, à l’iiypolbèsc dans laquelle, pour toute l’étendue de l’intervalle Ax, la dérivée f (.r) conserverait la valeur initiale a, la seconde, à la variation continue que celte même dérivée subit en réalité dans rinlervalic dont il s’agit.

Dans ces deux générations simultanées, tout est transitoirement identique, à l’instant précis où elles commencent, la génératrice BL affectant alors une position pour laquelle on a, par bypotlièsc, z = f'{x,) = u. En effet, puisque, en général, ces deux générations no se distinguent l’une de l’autre que par la substitution de la longueur variable î = f‘'[x) à la longueur const.ante s = n, il est évident que toute différence s’efface et disparaît, là où ces deux grandeurs sont égales. On voit donc clairement que c’est dans des conditions absolument identiques que commence de part et d’autre la 'double génération simultanée que nous considérons. On voit aussi, relativement à la seconde génération, prise à son origine, cl suivie dans son développement continu :

1' que le seul obstacle apporté à ce qu’elle reste toujours et partout identique à ellc-mèmc, réside dans la variation incessante de la grandeur f{x).

2“ Que, si celte génération .s’effectuait en subissant, non plus transitoirement et seulement à f origine x,, la condition particulière qui détermine en ce point la grandeur variable z = f(x), mais bien en persistant dans celte même condition <levenue jK-rmanaite , c\]c se confondrait entièrement avec la première, au lieu de se borner à eommeneer comme elle.

5 i. D’a|)rès ce qui précède nous sommes nalurelleinenl conduit à considérer d’une manière exclusive la seconde génération , el à distinguer en

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

elle le développement qu’elle subit eu réalité, eu égard à la variabilité de la grandeur f'(x), de celui qu’elle prendrait, à partir d’une origine quelconque x, si cette grandeur persistait dans la détermination qu’elle alTectf à cette origine, ou, en d’autres termes, si la génération coiitinuait uniformément, suivant le mode Iransiloire qui la régit alors qu’elle commence. Lorsqu’il s’agit du développement effectif qui se réalise, dans la génération complexe que nous étudions, l’on désigne par Ar/ l’accroissement de la fonction correspondant à un accroissement quelconque Ax. S’il s’agit, au contraire, du développement hypothétique qui se substituerait au premier, dans la supposition permise où nous raisonnions tout à l’heure, il est visible que l’accroissement de la fonction pris, dans cette hypothèse, pour un même intervalle quelconque Ax, ne peut plus être égal à Ai/. On désigne cet accroissement particulier et distinct par le symbole dy, et l’on a, en conséquence ,

dy = /'(•')•

La caractéristique d, introduite dans cette équation , exprime à la fois deux conditions qu’il importe essentiellement de ne jamais perdre de vue. La première consiste en ce que la variable x, engagée dans la fonction /"'(x), doit être considérée comme persistant, pour toute l’étendue de l’intervalle Ax, dans la valeur qu’elle affecte à l’origine de cet intervalle. La seconde, en ce que cette valeur, supjmsée constante, étant exprimée par x,, la quantité dy n’est autre chose que la différence ordinaire qui répond à cette hypothèse, c’est-à-dire l’accroisseinent de la fonction linéaire

x.f'{x,) 6 s=s. tijr 6.

On vient de voir comment l’accroissement dy constitue, par rapport à la fonction y—f{x), un accroissement particulier essentiellement autre que l’accroissement effectif, représenté par Ay. Pour maintenir cette distinction importante, et en rappeler toujours la signification, il est nécessaire d’affecter à l’accroissement dy, considéré par rapport à la fonction non linéaire y = f{x), une dénomination spéciale. Nous adopterons celle d'accroissement différentiel, ou, plus simplement encore, nous dirons, ainsi qu’on le fait

ÉTLDE APPROFONDIE

habituclleinent, que l’accroissement üy est fa di/fcrcnlietlc de cette niùnie fonction, dont la qnantité Sy est l’accroissement effectif ou la différence ordinaire.

En résume, toute fonction continue, non linéaire, y—f{x), fournit immme objets distincts de spéculation deux accroissements nettement définis, en général différents l’un de l’autre, et répondant tous deux à un même accroissement quelconque de la variable. L’un constitue l’accroissement effectif de la fonction : l’autre est la différentielle proprement dite. Au premier, l’on affecte la caractéristique A; au second, la caractéristii{ue d. On a, d’ailleurs, et simultanément, les deux équations suivantes:

iy ~ fi* * — f(x) = \i.

<iy = /'(*■)•

Dans la première de ces équations, on a égard aux valeurs successives que la dérivée f'{x) affecte, en chacun des points de l’intervalle A*, et l’on voit comment toutes ces valeurs concourent ensemble à la composition de l’accroissement effectif Ay. Dans la seconde, onsujyMscau contraire que, jmur toute l'étendue de l'intervalle Aæ, la dérivée f'{x) conserve une seule et même valeur, celle qu’elle affecte à l’origine de cet intervalle. La différentielle dy se résout ainsi en une simple différence, déterminée par cette tiyiMthèsc , et répondant à la fonction linéaire.

*-f'i*t) b — ax l>-

3a. Les démonstrations dévelop|)ées ci-dessus nous permettent de poser, dès à présent, les conclusions suivantes :

i“ Dans tout intervalle où la fonction non linéaire y=f{x) demeure continue, et quel que soit le jx>int pris pour origine commune des accroissements Ay, Ax, c est, en général, suivant une certaine raison de proportionnalité, que commence la génération simultanée de ces accroissements.

2° Cette raison de proportionnalité varie continûment avec x, et elle est exprimée, en chaque i>oinl, jxir la valeur eorresjwndante de la dérivée f'(x).

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SUR DEUX ÉQUATIOXS FO^DAME^TALES. fiÿ

5° Lorsque l'on considère la raison de proportionnalité, exprimée jxir f (x), comme affectant dans f intervalle Aa: toutes les déterminations successives qu’elle coniftortc, on a la loi variée qui réijit le développement continu de la différence ordinaire Aiy.

On peut se jdaccr à un j)oint de vue différent et srpposER qu’au lieti de varier dans l'intervalle Ax, la raison dont il s’agit cotiserve, }Mur toute l’étendue de eei intervalle, une seule et même détermination , celle qu’elle y affecte n l’origine. Eu ce cas, on a la loi uniforme qui régit le dévdopjKmeut de la différentielle dy.

■4® /I jmrtir de toute origine commune , il y a identité absolue entre le mode Iransitoirc suivant letjuel commence la génération de l’accroissement effectif Ay et le mode permanent suivant lequel s’accomplit la génération de l’accroissement différetuiel dy.

ÔG. Les principes que nous venons de formuler ont pour conséquences immédiates deux théorèmes fondamentaux, d’une grande irtiportance, ei si simples, d’ailleurs, qu’ils n’exigent aucune démonstration nouvelle.

On conçoit que le mode uniforme affecté par la différentielle, dans son développement continu, admette, suivant les cas, des énoncés divers. Cela posé, l’on a évidemment ce 1"' théorème :

Quel que soit l’énoncé fourni comme traduction équivalente de l'équation

dy = f'ix). SX.

jxir cela seul que la condition exprimée a lieu d’une manière permanente et invariable dans la génération de la différentielle, on peut affirmer, sans autre intermédiaire, quelle subsiste transitoirement ri C origine de l’accroissenieut effectif Ay.

Vient ensuite cet autre théorème, qui n’est, au fond, que la réciproque du premier:

Soit y une fonction inconnue de x à déterminer d’après les dontiées suivantes :

■ On sait qu’une grandeur s incessamment variable et exprimée numé- » riquement par (rr), intervient dans la génération continue de l’accrois- » sentent Ay.

• Si, au lieu de varier avec x dans l’intervalle Ax, la grandeur s con- H senait la valeur quelconque a qu’elle affecte à l'origine de cet intervalle,

• (toutes choses restant d’ailleurs les mêmes), on sait que dans la génération » continue, correspondante à celte liijiiolhèse, on aurait en général

(I) iy = a. ix.

Cela posé, pour tenir compte à la fois de ces deux données, il sulfit d’écrire,

(i). . (ty = f(j). 4x.

De là résulte, pour le ais dont il s'agit en réalité,

(3) iÿ = AT y (x).

Il est visible en effet :

1” Que l'équation (5) se déduit iramédiatcmcnl de l’équation (2);

2' Que l’équation (2) n’est autre chose que l’équation (1), écrite de façon à exprimer par elle seule comment elle a lieu , pour la suite des valeurs affectées par ç(x), et dans quelle hypothèse, eu égard à la génération complexe que l’on a particulièrement en vue.

Nous n’insisterons point, pour le moment, sur l’importance des deux théorèmes que nous venons d’énoncer. Disons seulement qu’ils forment la base sur laquelle se fondent les diverses applications de l’analyse transcendante; que seuls ils en donnent la clef et permettent de les aborder toutes, par une voie toujours rationnelle, en même temps que simple et directe au plus haut degré.

57. Nous avons démontré qu’à partir de toute origine quelconque, c’est généralement suivant une certaine raison de proportionnalité que commence la génération simultanée des accroissements Ai/, Ax. On peut donc dire que la génération de ces accroissements, pris à leur origine, est habituellement régie par une loi générale de proportionnalité, et comme lions l’avons déjà fait dans notre essai sur les principes fondamentaux de l’analyse transcendante, on peut désigner plus particulièrement cette loi générale sous le nom abstrait de loi de génération.

La loi de génération, telle que nous venons de la définir, est complètement dégagée de toute obscurité métaphysique. Nous croyons donc pouvoir reproduire sans crainte d’aucun malentendu l’énoncé suivant :

SLR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 69

« Lorsqu’on fixe l’origine des accroissements, la loi de génération » affecte une détermination particulière, et l’on peut d’ailleurs concevoir » qu’elle persiste dans cette détermination. En ce cas, certains accroisse- » ments résultent du développement continu de cette loi suppaiée uniforme, » et pour un môme intervalle ils different en général des accroisse- . ments elTectifs exprimes par Aÿ. De là résultent à la fois la diffërenlielte » et la différence. Toutes deux sont relatives à la fonction y.

» La différentielle est l’accroissement pris dans l’hypothèse où la loi de

• génération conserve une seule et même détermination particulière, celle » qu’elle affecte à l’origine de l’intervalle Ax.

» I>a différence est l’accroissement effectif. Elle ne dépend pas seule-

• ment de l’expression particulière que la loi de génération affecte à l’ori-

• gine des accroissements. Elle dépend en outre des modifications » continues que cette loi subit dans l’intervalle que l’on considère. »

38. Dans le cas des fonctions linéaires, la loi de génération est uniforme. C’est à raison de cette uniformité que, dans son développement continu, elle admet comme traduction exjÀidte et directe, la relation algébrique qui s'établit entre l’accroissement de la fonction et l’accroissement de la variable.

Dans le cas des fonctions non linéaires, ta loi de génération est variée. Quelle que soit l’étendue de l’intervalle Ax, les déterminations qu’elle y affecte subissent des modifications incessantes, et celles-ci ne cessent point d’intervenir, comme éléments complexes, dans la composition successive de l’accroissement Ay. De là vient que, passant par une suite infinie de déterminations transitoires, et ne }>ersistant jamais dans aucune, elle se traduit par une équation aux différences où l’on n’aperçoit point, d’abord, une seule de ces déterminations qui se dégage entièrement de toutes les autres et se manifeste isolément. Toutefois, si l’on observe que le rapport de l’accroissement de la fonction à l’accroissement de la variable se compose essentiellement:

1° D’une partie constante qui répond au développement continu d’une loi de génération, supfwsée umforme, et déterminée par la valeur que la dérivée affecte à l’origine des accroissements;

2° D’une partie variable qui décroît indëîiniment par rapport à la [ireiiiièrc, à mesure que rintcrvalle Ajc diminue:

L’on peut en conclure immédiatement,

1" Que cette partie variable ne convergerait pas vers zéro en même temps que Ax, si, à l’origine de cet accroissement, la loi de génération comportait une détermination transitoire autre qu'on l’a supposée tout à l’heure.

2° Qu’en conséquence, telle est effectivement la détermination affectée par cette loi à l’origine des accroissements.

De là résulte évidemment, et avec le sens que nous lui avons assigné n” 3i , l’équation différentielle

rfy = f(x). il.

Il serait d’ailleurs facile d’en déduire toutes les conséquences précédemment établies n“ 35 et 36.

Sans nous arrêter plus longtemps à développer des principes que nous croyons avoir suffisammeut éclaircis, nous laisserons au lecteur le soin de décider si la voie plus longue que nous avons suivie d’abord est ou non préférable à celle que nous venons d’indiquer.