DÉMONSTRATION
I/cqualion (2) donne identiquement,
jy = F(u -t- i«, tu- if) — F(ii -4- iu, f) H- F(u iii, f) — F(u, f).
On a d’ailleurs, en vertu de l’équation (1),
1* iu = iX. [u' y)
2“ if = ix. [f' o“]
3" F (ti -I- iu, f -4- if) — F(ii - 1 - iu, f) = if. [F/(u + iu, f) 4 i]
4" F (u 4- iu, f) — F (u, f) = io. [F,' (u, f) -4- f]
5" F,'(u 4- iu, f) = F,'(u, f) -4- Kiii.
De la résulte, par voie de simple substitution,
iÿ = ix[(f' 4- <f) v) -t- Kiu -1- a) 4- (u' 4- r) (•'. r) 4- tf)] ;
et puisque chacune des quantités a, €, y, â, Au, converge vers zéro en même temps que Ax, l’on en conclut immédiatement
y' = f {x) = lim — == ii'F,'(u, f) 4 - f'F,'(u, f). C. Q. F. I).
Ilègles jxirliculicres impliquées par la règle unique et générale cx]X)sée ci-dessus.
il. 1" règle. — La dérivée d'une fonedou de fonction s'obtient eu prenant lu dérivée de la fonction princi)Kilc, jmr rapport n la fonction secondaire, considérée comme sim/dc variable, et en mulli/jliant celte dérivée fMr celle de la fonction secondaire.
r.ette règle résulte immédiatement des équations (2) et (3), lorsqu’on y suppose V constant.
SLR DELX ÉQl ATIOXS FOÎ\DAMEXTALES.
2"" règle. — La dérivée d'une fonction complexe est la somme des dérivées iiu'on obtient en distinguant , dans la fonction , les éléments variables (pii la constituent et en opérant tour à tour pour chaque élément distinct, comme s'il restait seul variable tandis que tous les autres sont supimsés cotistants.
Celle règle n’esl, eu egard à la précédcnlc, que la Iraduclion lilléralc do l'équaliou (3).
3™' règle. — La dérivée d’une somme est la somme des dérivées de chmpir terme.
i"" règle. — La dérivée d'un produit est la somme des résultats qu’on obtient en substituant successivement à chwfue facteur sa propre dérivée.
Les règles (3) cl (t) ne sonl évidemmenl que des formes parliculières de la règle (2).
5“' règle. — La dérivée d'une puissance s'obtient en diminuant l'cxfiosant d’une unité et en introduisant comme facteurs, d'une part l’exjmsant primitif, d’autre ]turl la dérivée de la quantité soumise à l'exjiosant.
En appliquanl la règle (i) à la dérivalion de la foiiclion g=xt, où p el q sont des nombres entiers, positifs, et où par ronséquent l’on peut distinguer p facteurs tous égau.\ à => s, l'on déduit, sans autre intermediaire,
(*) y' = px z'.
Pour déterminer î' supposons p égal à «/. En ce cas y' = 1 : il vient donc,
cette valeur, substituée dans l'équation (A), donne, en général,
Soit, maintenant, u = x ». Le produit x»- x"* étant égal à 1 , sa dérivée est nulle. On a donc en vertu de la règle (2)
ETUnK APPilOFO^^DlE
el subsliluanl a ;/' sa valeur liréc de l’cquation (5)
Ees égalités (5) et (C) prouveul que, quel que soit rcxposani in , entier ou fractionnaire, positif ou négatif, l’on a conslainnient
lim
Si, d’ailleurs, on observe que le rapport — ~ varie eontinùmeni avec l/l, l’on peut en conclure que l’équation (7) ne cesse pas de subsister pour le cas où m est irrationnel. De là résulte, eu égard à la règle (I), la règle (5) énoncée ci-dessus.
KmjAni des dérivées dans l’annlysc algébrique.
42. A l’aide des règles que nous venons d’établir, l'on peut démontrer en quelques lignes et avec une extrême simplicité :
1“ F.,e binôme de Newton, pour le cas de l’exposant entier et positif;
2° Iji formule de Taylor et celle de .Maclaurin, présentées toutes deux comme des conséquences immédiates du binôme de Newton.
Nous renvoyons pour ces détails à une note insérée dans le tome .XIII des Ihdletins de l'Académie rinjale de Belgique. Toutefois, nous montrerons ici comment on jieut parvenir d’un seul coup, d’une manière complète et avec une entière rigueur, à l’établissement d’une formule générale qui comprend, comme cas particuliers, toutes celles que nous rappelions tout à riieure.
Commençons par établir un tbéorème dont nous avons déjà signalé l’importance et qui nous parait susceptible d'applications nombreuses, l/usage restreint que nous ferons de ce tbéorème suffira, pensons-nous, pour montrer qu’il peut servir de fondement à une théorie générale des moyennes arithmétiques transcendantes, théorie purement rationnelle, entièrement dégagée de toute obscurité métaphysique, et féconde en rtîssources nouvelles.
SLR DELX EQLATIO^S FOINDAMEMALES.
Théorème relulif n lu valeur moyenne de la dérivée.
ÉSONCÉ.
•iô. L'aceroh'iemeni de la fonction est éyed au produit de raccroisscment de la variable /Kir la valeur moyenne de la fonction dérivée.
I)ÉM0*NSTIIAT10>.
Reprenons l’équalioii fondamentale,
sij = iü [f'[x) -i- n].
et concevons l’intervalle àx divisé en m parties égales. A chacune dos subdivisions, ainsi obtenues, correspond un accroissement de la fonction, et cet accroissement est déterminé par les valeurs particulières que les (]uantités f'(x) et r> affectent à son origine. L’on a ainsi, en posant h = ~ ,
i ‘Sÿ. = LH'f) f.l
w - , Aÿj = A irii" -*- >(>)
Or, lu somme des différences ^y,, A;/j, etc., \y„ est nécessairement égale à la différence totale Ai/. Il vient donc, en ajoutant membre à membre les équations (8),
ri^'+A)-er(.*-eSA)-l-Oc. -e/' I) A) », -I- >!, -t- etc. I».. \
Supposons d’abord que la dérivée demeure continue dans l’intervalle Ax, et imaginons en même temps qu’on attribue à ni des valeurs de plus en plus grandes; chacune des quantités »j,, üj, etc., devenant ainsi de plus
en plus peilte, il est visible que la moyenne arithmétique f'(x) -t- de. -I- — l)/i)
convergera vers une certaine limite déterminée. Nous désignons cette limite sous le nom de valeur moijcme de ta dérivée, et nous employons pour l’exprimer la notation suivante :
De là résulte
(10). /•'(j)^-/’'( x-i-/i)4.flc. + f'{x-*-{m—t)h )
I étant nne quantité qui converge vers zéro, à mesure que m croit indéfiniment.
Eu égard à l’équation (10), l’équation (9) devient «') .y - .X. IVf/f;) = .X ^
Le premier membre de l'équation (1 1) est la diiréretice de deux termes qui demeurent constants, quel que soit m. Il faut donc que le second membre de cette équation soit lui-même constant ou nul. Or, il ne peut être constant, puisqu'il se compose de deux termes dont cbacun devient aussi petit qu’on veut, à mesure qu’on attribue à m des valeurs de plus en plus grandes. Donc il est nnl, et l’on a, par conséquent,
às
.Montrons, par un exemple, l'usage qu’on peut faire de l’équation (12). Soit ;/= O'"’*'' et par suite y' = (n-\- 1) x“. L’équation (12) donne
= xM'(n l)x".
il vient donc
Il +■ I
SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES
On pourrait croire que l’équation (12) est restreinte au cas où la dérivée demeure continue dans l’intervalle Ar ; ce serait une erreur. Pour que l’équation (12) subsiste, U faut et il suffit que la fonction soit continue dans l’intervalle que l’on considère. Cette extension de la démonstration que précède se fait très-simplement. L’ayant donnée ailleurs ' , il nous sulbt de l’indiquer ici.
Relations yénérales existant entre les valeurs moyennes des dérivées successives
d'une même fonction.
i-4. Soient f(x), f’(x), f"{at), elc., une suite de termes déduits les uns dos autres par des dérivations successives, et tous supposés continus entre les limites x cl x àx — z.
Z étant quelconque, mais constant, considérons la fonction
Il est visible qu’elle a pour dérivée,
On a donc, en vertu du théorème qui précède,
, (î) - -, (X) = (X - X) >li [ ( .' -X) /'• (x) - r (.T) J ;
d’où, substituant à ÿ(s) et à <f(x) leurs valeurs déduites de l’équation (lô), et réduisant,
La formule (li), lorsqu’on y remplace f'{x) par le produit (s — x)‘~' f(x), donne d’abord
’ Voir notre Essai sur Us principes fondamentaux de l'analyse transcendante.
ETLDE APPROFO.NDIE
<;l , apivs réduction,
(ir.). . M'^ (j — T)*-'/'" W = ^ (•' — jT"'/'" W* W-
Do là résullc, on allribuant à n les valeurs successives, 1, "2, 5, i , Ole. , » ,
M’ji-x) r'{^) - r w -e iarjî-.fri-i.
et par conséqucnl
I M' f’{i) »= r (j) •<- /■"(*) -4 -c olr.
(Ki).
i i'”'. En substituant dans l’équation 12 la valeur do la iiioyeiinc M, /''(a?) déduite ilo l’équation (14), l'on trouve
-V iM' (î— T) /■'•(r)|.
Si l’on compare cette dernière foiiiiule à l'équation londainenialo, iy = AJ irw -O “fj.
on reconnaît que la fonction inconnue, désignée jusqu’ici pai jî, so trouve complètement déterminée pour tout intervalle où la dérivée /'( t) demeure continue. La relation très-simple et purement algébrique
yy f '' (r).
SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES
|H-ul être considérée coiuine coiii|)IétaiU d'une fa<,‘on três-satisiaisaiite l’élude analytique que nous avons faite, concernant la composition de la dilïérence ordinaire
Aÿ = /■(x -e ix) — f{x).
Thi'ori'int’ londamcnlal rdulif au dévetoiipemeiU des joHcüuus.
