É.NOM CÉ

lo. La fonciion (/iu7co)k/«i' y = f[x) et ses dérivées successives (' (x), f'"{x) etc,, l’’(x), étant supiiosées continues entre les limites x et x + Ac = *, l’on a identiyuement :

(17). f(i) - fix) +

f’ (/) etc. -t-

rw

UtMO>STRATIO>.

Nous avons établi ci-dessus que l’on a, d’une part.

et, d’antre part,

sy = SX. M‘r(-r).

f (.1) = /■' (x) -I- 7-- ■* f" (x) H- eic. / ” (x) -• 7^-; ‘'11. ( I - X)" /■“ * ' (x).

De là résulte, en substituant, et observant que Isx peut être remplacé par J — .P, Al/ par /'(j) — f(x).

f{z) = /•(x) -e ^ r (x) + etc.

APPLIC.VTIONS GÉAËRALES.

t(). La l'ot-mule que nous venons d'établir comprend, comme « as particuliers, les suites de Taylor et de Maclaurin. Comparée à ces suites.

ell<! olïrc l’avantage de les reproduire, .sms forme d'idenlilc , sans jamais laisser rien d'indécis, ni dans l’exlension qu’elles comportent, ni dans l’expression du reste qui les complète.

Pour obtenir la série de Taylor, ainsi complétée, il suirit de remplacer : par -j- /( , ce qui donne :

IV + h)T=f(i)^. -i- iî- /'-(f) + Ole. ^ ^

S’il s’agissait de la série de Maclaurin, on ferait x==o, et l’on aurait lie même :

f(z) = f(o) -H J /"(o) + — f‘(o) + etc. -e ~ — -

IIKMAIIOI ES PAIITICILIÈIIES.

A~. Lorsque la dérivée de l’ordre («4- 1) est constante, les dérivées suivantes sont toutes nulles. On peut alors écrire le dernier ternie de ré(|uation (17), soit en lui conservant sa forme primitive

soit en lui attribuant celle qui résulte de la loi de formation des termes antérieurs

t . 2 . . . ( Il -t- 1 )

Egalant ces deux expressions, dont la forme seule peut être dilférente, observant que, par hypothèse, la dérivée est indépendante de x,

et supprimant les facteurs communs, il vient

t’.e résultat n’est autre que celui auquel nous étions déjà parvenus directement n° (45).

SLR DELX ÉQUATIONS FONDAMENTALES.

■18. Nous avons vu que i'équalion fondamentale iy = (H-r) f) i'T.

a pour expression correspondante

MJ = ir. ]\|y'W .

ou bien encore

^y = AX [/■'(X) + M;^ [z-r)r{x)].

Il est une troisième forme sous laquelle on peut la présenter. Cette forme est la suivante:

Aÿ = AX /"(x + 9Ax).

Eu egard à cette dernière forme, on peut se proposer de déterminer sinon la valeur de 9, du moins la limite vers laquelle cette valeur converge à mesure que Ax décroît indéfiniment. Une pareille recherche est sans doute plus curieuse qu’utile. Toutefois nous en dirons quelques mots, ne fût-ce que pour signaler à cette occasion un e.\emple singulier de discontinuité.

Reprenons l’équation (17), et remplaçons, comme tout à l’heure, ; — X par ^x, et /’(*) — f{x) par Aÿ. H vient ainsi,

(IK). Ay-=Ax/‘'(x) + /'"(x) + etc. — /■'(»)-*- M‘ (r— x)* /“■►'(x);

on a, d’ailleurs,

Aÿ = AX M|^ f'(X).

Par hypothèse, la dérivée f'(x) demeure continue dans l’intervalle Ax. Sa valeur moyenne est donc une des valeurs qu’elle affecte dans cet intervalle, et l’on peut écrire

f'{x) = f'(x «Ax).

5 étant une fraction. De là résulte, d’abord,

Aÿ = AX f(x «. AX),

puis développaiu, suivant la formule (18), la fonction f(x-\-ù^x) et substituant ,