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^ f (j) elc.

sr-'si'

Ssx’

ïT..7(ii— i)

rux).

On observera (jue l’on a ici i' = a; -|- CAx.

Imaginons maintenant que, pour une valeur particulière attribuée à la Variable x, les dérivées successives s’annulent toutes à la fois, à partir de la seconde ou de la première, jusques et y compris la n"”\

En comparant les identités (18) et (l'.l), il vient alors

(iO) jr)" ' j) = M' (; — J-)" /■" “(r).

On peut d’ailleurs supposer rinlervalle Ai assez petit pour que la dérivée f"'*''{x) soit toujours croissante ou toujours décroissante dans cet intervalle. Mais en ce cas, l’on a évidemment, d’une part.

yVjz-xr (r) = ^.i/-^'(x + .x)/'"'’im;(î-t').

et, d’autn* part,

M*' (i'— x)- ■ (^•1 =/•■*' W M‘'(c— /)- ’ + ix) — T" (X)] M (î - xj- ' ,

fi et [i' étant des fractions. On peut donc écrire en premier lieu

et en second lieu

M>' x)- 7 -^*(x) » [/^"-(x) nM;'(*--x)" ■.

î et f' étant des quantités qui convergent vers zéro en même temps que Ax.

L’équation (20), lorsqu’on y substitue ces dernières valeurs, devient >i3vx. [/•"•" (x) + r]M''(x'—x)’“^‘ = (X) ^ î) M' (î-xr.

SUR DEUX EQUATIONS FONDAMENTALES

D’un aulre côté, l’on a, confonnéuicnt au résultat établi ii" iô ou II* i7,

Mj-'-xr = — -, M‘(î- X)"

Il vient donc, enfin,

De là résulte, en passant à la limite, pour le cas où la dérivée /'""'"'(•c) n’est point nulle,

lim t"

OU, ce qui revient au môme,

liin 4

On voit ainsi que, lorsque la dérivée du second ordre ne s’évanouit pas, si petite que soit d'ailleurs la valeur quelle affecte, 0 a pour limite constante la fraction Dès que, au contraire, cette dérivée s’annule, la limite de S change brusquement et elle devient , ou plus généralement

” étant l’ordre de la dernière des dérivées qui s’annulent successivement à partir de la seconde ou de la première. Ces permanences et ces changements brusques des diverses limites assignées à 6, suivant le nombre des dérivées successives qui s’évanouissent pour une même valeur attribuée à la variable, présentent un résultat dont la singularité frappe au premier abord. Toutefois, l’on peut s’en rendre compte, en observant que si la dérivée /'"'‘■'(x), supjmée variable avec x, se réduisait à une constante (les quantités f et f' s’évanouissant), l’on aurait pour toute l’étendue de l’intervalle Ax