Soit
iy = f(x i.x) — t(x) -,
l’on a d’abord, en prenant la diiïérence des deux membres,
(31). . . i’ÿ = 4[/'(n-ix) — /■(l)]=ix l\r [/"(X + Ai) — /"(x)) = AX HÉ Si , d’ailleurs on écrit :
(2Î) Ay=AxM’r(x).
on a de même
(Î3) A’y -= AX. A [M^r(^)J-
La comparaison des équations (21) et (23) donne
(M) A[M'r(x)j = jÉ Af(x).
et de là résulte le théorème suivant :
Im différence de la valeur moyenne d'une fonction est égalé à lu indeiii moyenne de la différence de eelte meme fonction.
L’équation (21), lorsqu’on y remplace A/’'(x) par sa valeur A.r M'/’''(x) , devient
A’y = AX* M' M‘ rw.
et l’on en déduit, conformément à ce qui précède,
A‘y = Ax* IF M‘ A/-'(x) = Ax* M' >F M;, A"(x).
Convenons de désigner par les notations M, M, etc., les moyennes multii>les M (M.); M [M (M)] , etc.; il est visible que nous aurons en général
(W) A"y = AX". M‘
SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES
Cette relation très-simple peut s’énoncer comme il suit :
La différence de l’onlre n d'une fonction e-it égale au produit de lu pimsance
n de l'accroissement de la variable jmr la moyenne multiple M de la dérivée du même ordre.
Lorsque la dérivée de l’ordre n, f'ix), est une quantité constante, l’on a évidemment
et, par suite,
(i6) s"tj — C. ix".
Eu général, f'ix) est une quantité variable. Néanmoins, il est aisé de voir que l’équation (23) est réductible à la forme
(Î7) i-ÿ = il" (/•"(!) -e «].
i étant une quantité qui converge vei-s zéro en même temps que Ax. Veut-on déterminer directement la valeur de la quantité
l’on a, d’abord,
iy = sx[f(x) + M^(x-x) r(x)\.
De la résulte, en observant, qu’eu égard à l’équivalence
M* (i — x) f"(x) = lim — r SX. f"{x) — — szf" I X — ) + elc.
le facteur î — x doit être considéré comme constant, dans l’opération indiquée par le symbole A(î — x) f"(x),
i‘y = [ix sf'ix) + M' (x-x) i/-’(,)J = s^\f"{x) M^(x-x)[r’(x) + M/-"(x)lJ.
On trouverait de même,
i’y = ix> [r (x) + M‘ (x-x) (r (x) + M’ r w + m r ('>)j .
et j»iW»cr;ilemenl
ti8». .
i"ÿ = JJ'
juu-j) +
M’/"-” (X) ^ etc. -.
l/équalioii (^8), comparée à l'équation (ti7) donne
ÿ = m;{.— J) ji; -e jV r^' (X) + CIC. ^ m; r *' i^t]-
On voit ainsi que tout se trouve coinplétement déterminé dans l’expression générale qui fait dépendre la dilTérciue A'y de la dérivée du même ordre
Dans le cas particulier où la dérivée de l’ordre (« s<’ ré-
sout en une constante, l’on a,
et par conséquent
j'ÿ == J*' rw -e ^
Extemion <jcut}rale de la formule
ày = /'(x)â*. r'{*) ^ *■
oO. Nous venons de montrer comment les diflérences des ordres supérieurs sont liées aux moyennes multiples. Il existe également des relations très-simples entre ces différences et les moyennes du premier ordre. Nous en dirons quelques mots.
Reprenons l’identité du n" 45, et écrivon.s-la sous la forme suivante: (â9) . /(*+ ij) = /■(*) i*/'(x) + etc. + — /' (») — M (*—■»)'/■' {*)■
D’après la loi de composition des différences ordinaires, il est facile d’éta-
SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES
blir cette autre identité ;
(rrf»). . . . ;
nlii' — I ) ... (Il — ni il)
* ^ (" m)i.r) -4: pli-, * A^)-
Uela posé, dévcloppon.s clincnn des termes de la diirérenee A"iy d’après la formule (-'J), et servons-nous de la nolation (’) pour représenter l’expression complexe
— I (Il — 1 )• -i- — pj — (il — i)« iMc. ± Il j ;
nous trouverons ainsi ,
[ !,'! ■ i*i etc. +
\ Sx { ^ M « f rt « ix
(.■SI).. i”!(= : -^(«-D >( U-J'j'r"(4-i-elc.
Il (il — I !... (il — III -I- tl ni' * " ■ ,
(ii-m) (.Drfcetc.
La quantité s variant d’une moyenne à l’autre et affectant pour cliacune la valeur constante exprimée par l’indice supérieui’.
Considérons d’abord le cas d’une fonction algébrique rationnelle et entière, soit, par exemple, y = x’’. On a alors /"''(x) — cons'' = 1.2 ... pet les dérivées suivantes sont toutes milles. L’équation (ôl) se réduit en conséquence à
( 54 ). . . . i"ÿ = j’( ij. A(.f) e i'* A' W •' «“■• ► lü| '-'■’Ai ')-
On a d’ailleurs, conformément au principe établi n" fl) ,
et pour toute valeur de « supérieure à p (34) i"y = ».
La comparaison des équations (52) et (5i) pi'ouve que, pour toute
