Soit une fonction quelconque

La variable x croissant d’une manière continue entre certaines limites que je désignerai par et il peut arriver que les valeurs corre.spondantes de la fonction constituent un système unique , ou plusieurs systèmes simultanés et distincts. Dans le cas où la fonction admettrait plusieurs systèmes de valeurs, nous imaginerons que l’on prenne à part l’un quelconque de ces systèmes, et qu’on le considère isolément, de la même façon que s’il subsistait seul. Nous supposerons, en outre, que le système considéré est et demeure cssenlicllement continu pour toute valeur de X prise à partir do x^ jusqu'à x^,. (1 suit de là que, dans l’étendue de cet intervalle, la fonction y doit être considérée comme soustraite à tout changement brusque, et comme affectant toujours une valeur unique, réelle et déterminée.

iü

2. Lorsque nous disons de la fonction y qu’elle affecte une valeur réelle et déterminée, nous entendons exprimer que la valeur dont il s'agit est ell'cciivcmeul alleintc par la fonction, et, qu’en conséquence, elle ne se réduit pas à une simple limilc, vers laquelle la fonction serait convergente. Pour bien faire comprendre le sens de cette remarque, sur laquelle nous devons insister, nous prendrons pour exemple la fonction particulière

y = I 8in

Cette fonction est continue pour tout intervalle où la variable x demeure constamment, soit positive, soit négative. Néanmoins, elle doit être considérée comme présentant une solution de continuité correspondante à X = O.

I.orsqu’on perd de vue rimpossibilité radicale accusée par le symbole -ÿ , et qu’on traite l’équation (I), sans tenir compte de cette impossibilité, l’on est conduit à confondre, parmi les valeurs effectives de la fonction x sin la limite zéro vers laquelle elle converge , à mesure que la variable x décroît indéfiniment. On peut alors ne point apercevoir la solution de continuité mentionnée ci-dessus, ou bien estimer qu’il n’y a pas lieu d’y avoir égard. Une simple remarque sufBra pour montrer que la question n’est point indifférente, et qu’on doit en réalité mettre le plus grand soin à distinguer les valeurs elfcctives de ces autres valeurs, qu’on peut désigner sous le nom de valeurs limites, en rappelant ainsi qu’elles restent en dehors de la suite formée par les premières.

Supposons, en effet, que, dans l'exemple choisi, la valeur tj= o, qui, par hypothèse, répond à æ = o, puisse être considérée, non pas seulement comme une valeur limite, mais bien comme une valeur effective. Il s’en suivra que la courbe représentée par l’équation (1) atteint l’origine des coordonnées, et que par suite elle comporte nécessairement un tracé continu ayant cette même origine pour point do départ. Or, il est évident qu’un pareil tracé est absolument impossible, puisque rien no détermine si c’est en s’élevant au-dessus de l’axe des x, ou, au contraire, en s’abaissant au-dessous, qu’il devrait être commencé. On voit donc que la valeur

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

y — O qui répond à x = o n’est en réalité qu’une valeur-limite et qu’il serait absurde do lui attribuer le caractère d’une valeur effective.

3. La distinction que nous venons d’établir ne devra point être perdue de vue dans tout ce qui suivra. Elle est ici doublement importante; d’abord en ce qui concerne l’exacte déflnition de la continuité, et eu égard aux réserves à faire par rapport aux valeurs-limites qui peuvent se présenter accidentellement; ensuite, en ce qui concerne l’objet principal de cette étude, savoir :

1“ La démonstration rigoureuse et complète de l’équation fondamentale

rw;

2" La détermination précise du sens à attribuer à cette équation , et plus particulièrement encore à celle qui s’en déduit sous la forme

dtj s= /“'(x) rfx,

celle-ci devenant la base du calcul différentiel et la clef de toutes les applications de l’analyse transcendante.

i. Aux indications déjà données , concernant la variation de la fonction y, dans l’intervalle compris entre x„ et .t^, nous ajouterons la suivante :

Constamment variable avec x, et partant de la valeur effective qui répond à x„, la fonction y ne peut changer d’abord que par augmentation ou par diminution. Si c’est en croissant qu’elle varie à l’origine, il faut qu’elle continue de croître toujours, ou si elle cesse de croître pour devenir décroissante, ce n’est qu’à partir d’une certaine valeur, plus grande à la fois que celles qui la précèdent et la suivent immédiatement. Cette valeur, qu’on peut désigner sous le nom de valeur maxima , est nécessairement distincte de la valeur initiale Elle comprend donc entre elle et celle-ci une infinité de valeurs intermédiaires, que la fonction y a dû successivement franchir, et qui, par consétjuent, répondent à un certain intervalle x,-x„. Dans toute l’étendue de cet intervalle, la fonction y est

demeurée continûment croissante; au delà elle décroît, soit constamment, soit jusqu'à une certaine valeur, moindre que celles qui la précèdent et la suivent immédiatement, et qu’on peut désigner sous le nom de valeur mintma. Ainsi succède au premier intervalle^:, — x^, un second intervalle Xf — X,, où la fonction reste toujours décroissante. A ce second intervalle peut succéder un troisième, où la fonction redevienne croissante, comme elle l’était dans le premier; puis un quatrième, où elle décroisse comme elle l’a fait dans le second, et ainsi de suite jusqu’à épuisement de l’étendue totale à considérer, x^- — x^.

Il est visible que les mêmes déductions, prises en sens inverse, s’appliquent au cas où la fonction décroît d’abord, au lieu de commencer par croître, comme nous l’avons supposé tout à l’heure. On doit donc admettre que si la fonction y n’est pas constamment croissante ou constamment décroissante dans l’intervalle — x„, néanmoins cet intervalle se subdivise nécessairement en un nombre limité d’intervalles plus petits, et pour chacun desquels l’une ou l’autre de ces deux conditions subsiste alternativement. Cela posé, il suffit évidemment que l’intervalle primitif x^ — x^ soit convenablement restreint, pour que, en même temps, l’on soit autorisé à admettre que, dans toute l’étendue de cet intervalle, la fonction y ne fait que croître ou que décroître d’une manière continue.

D’après ce qui précède, il nous est permis d’ajouter, qu’aux conditions qu’elle est supposée remplir, la fonction y joint celle d'être toujours croissante, ou toujours décroissante dans l’intervalle considéré. Que la fonction croisse ou décroisse, pourvu qu’elle pe cesse pas de croître toujours ou de toujours décroître, les déductions restent identiquement les mêmes. Il suffit donc de traiter l'iin ou l’autre de ces deux cas; nous choisirons le premier, c’est-à-dire celui où la fonction demeure constamment croissante dans l’intervalle où s’accomplit la variation que l’on considère.