Terminons ce sujet par une dernière remarque

On sait qu’en désignant par e la limite de la série convergente.

etc.

l’on a, quel que soit x.

/(*) = e* = 1 + ■» + J-j +■ elC-

et , quel que soit n,

Admettons ces diverses relations, faciles à établir sans autre secours que celui de l’équation fondamentale

Si nous posons,

Uni

Nous aurons d'abord et directement

11 viendra ensuite, conformément à l’équation (51),

^■ÿ = e- (Hj + 1*1 .X* etc. jP| ix' -H elc.| ■ De là résulte identiquement

je» - 1 j" = |;,j - 1*1 H- eic. {Jl ix' + etc..

OU, ce qui revient au même, àx étant quelconque,

in}

etc.

{'ni

etc.

Si, dans le second membre de l’identité (59), l’on prend la dérivée de l’ordre p, et qu’ensuite on attribue à x la valeur zéro, l’on a pour résultat

Il faut donc qu’en opérant de même sur le premier membre, on trouve identiquement cette même valeur.

Or, on a d’abord

± etc. q: ne* :fc 1 ;

puis, prenant la dérivée de l’ordre p,

^ etc. A HC*

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. 91

Cette dernière expression, lorsqu'on y fait x = o. devient,

eic. ± n.

Il «*sl donc vérifié que l’on a généralement pour le coefficienl du rang p ("H T2^ („.^(„1)^h- etc.)

Reprenons l’identité (39). En y remplaçant e‘ par le développement (38), elle devient

etc.) = m

La simple inspection de cette dernière formule montre avec évidence que, pour toute valeur de p inférieure à n , l’on a nécessairement

L’identité (39) se réduit, dès lors, à

etc

pM-0 ,, {*»(■*

etc.

et elle prouve que, pour toute valeur de p non inférieure à n, et représentée par n -[-(/, l’expression [J] = n’est autre chose que le co-

efficient du terme dans lequel x entre h la puissance p — n = q dans le développement

L’on trouve ainsi

(ni , (n-Ml n (n+ji " ' "(”—*) / M’ " n("— <)

)fii • ( n j ”= , 2 > ( B ) = 7 , 2^3 i.i \l,2/ 6 8

ce qui complète la vérification proposée et fournit, en outre, un moyen simple de calculer l’expression lorsque q est petit et que n est grand.

ÉTUDE APPROFO?(DFE

Ajoutons que l’on a d’ailleurs cl généralement

(■+/«-• I iî-VU l9+*( , (9+fi

{ n + 9 } — t n I ( tt ) I 9 ) I n ' ! 7 ' *'• ■*■ I 9 )

^'•=1+P irl (»+,+y-rl