CHAPITRE IV

AfKRçf DES RESSOCnCES orFERTES ES ANALYSE TRANSCENDANTE PAR l’eXACTE DÉFINITION DE l’ ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

<ty = f'[l)

55. Nous avons établi, n° 22, l’équation fondamentale (<) iy = il [fix) f].

Il résulte de cette équation que l’accroissement de la fonction, supposée continue, y = f {x) se compose, en général, de deux termes essentiellement distincts. L’un de ces termes est égal au produit de l’accroissement de la variable par la fonction dérivée; l’autre est plus complexe, mais il possède la propriété distinctive de décroître indéliniiiient jxir rafywri an premier à mesure que les accroissements sont supposés de plus en plus petits. En s’arrêtant à cette simple remarque, rien n’empêche de considérer isolément la première partie de la différence et de lui donner le nom de dilfcraitielle. Si, d’ailleurs, on affecte à la différentielle, ainsi définie, la caractéristique d, il vient immédiatement

(2) rfy = r(x) AT'.

' Tout ce qui précède s'applique, ainsi que les olrservalions suivantes, aut dilTérentielles d'un ordre quelconque. Pour s’en convaincre, il sufTit d'observer que l'équalion (t) implique comme cunséquejice directe et facile à établir par une déduclion tout élémentaire, l'équation générale

i'ÿ = [/■’M-r- ê] Ai",

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

it."

D’après cette définition, la différentielle est une quantité e.ssentielleinent finie, susceptible de croître sans limites et de décroître itidéfiniment. Rien en elle n’est obscur, ni mystérieux. Identique, comme grandeur, aux grandeurs algébriques, elle se compose avec les mêmes unités et s’introduit dans le calcul sous l’empire des mêmes règles. Dépouillée de tout appareil merveilleux, elle tombe à la fois sous les sens et sons le raisonnement. Elle devient ainsi l’objet d’une conception purement rationnelle et se soutient d’elle-méme, sans qu’on soit réduit à faire appel à la foi oti à exiger aucune de ces concessions illogiques qui répugnent à l’intelligence et révoltent le simple bon sens.

Lorsque la fonction y est linéaire, la quantité ri s’annule indépendamment de toute valeur attribuée soit à x, soit à Ar. En ce cas, la différentielle et la différence se confondent, sans qu’on puisse établir entre elles aucune distinction. Lorsque la fonction y n’est point linéaire, la quantité >j ne peut plus s’annuler que pour certaines valeurs de l’accroissement Ax, qui con- .servent entre elles des écarts déterminés et qui, par conséquent, ne se présentent jamais que d’une façon tout accidentelle. Convergeant vers zéro avec Ax, elle subsiste aussi longtemps que cet accroissement, et ne permet jamais que, pour aucune étendue, si petite qu’on l’imagine, l’inégalité existant entre la différence et la différentielle s’efface et disparaisse. On doit observer, sans doute, qu’à mesure que l’intervalle Ax diminue, la quantité rt varie et décroît indéfiniment, tandis que la dérivée /‘'(x) conserve une seule et même valeur. Cette remarque est essentielle à faire par les motifs suivants :

1“ Elle fixe les caractères précis auxquels on reconnaît, sans pouvoir les confondre, les deux parties essentiellement distinctes qui se composent, avec le facteur Ax, pour former la différence ordinaire \y.

f’{x) éuiiit la dérivé de l'ordre n et | une quantité qui converge vers zéro en même temps que M.

r.ela posé, l'on distingue aisément dans la différence a'y les deux parties dont elle se roinpose et qui sont irréductibles entre elles, après la suppression du facteur commun ax*. Prenant à part et isolément la première de ces parties, l’on a comme ci-dessus

!M ÉTI DK APPROFONDIE

2” Elle permet d’opérer la séparation de ces deux parties, de mettre en évidence celle qui tend à s’évanouir en même temps que Ax, de la supprimer enfin, et par celle suppression de dégager la différentielle.

De là résulte avec une extrême simplicité le procédé généralement suivi pour passer de la différence à la différentielle. Il consiste à développer l’expression Aÿ=/‘(x-|-Ax) — f(x), à dégager le facteur A* que le développement obtenu contient nécessairement, et à supprimer, dans le second facteur, tous les termes qui s’annulent avec Ax. La suppression dont il s’agit s’effectue, non pas, comme on le dit trop souvent, parce qu’avant de s’évanouir la quantité >; devient infiniment petite et peut, sans erreur, être négligée par rapport à la dérivée /"'(x); elle a lieu, parce que la propriété de converger vers zéro en même temps que Ax, caractérise, d’une manière c.omplète et exclusive, l’ensemble des termes qu’il faut soustraire du facteur \f{x)-{-r,] pour changer l’expression de la différence en celle de la différenlielte. Dès qu’on a reconnu les termes à supprimer, et qu’on les a fait disparaître, il n’y a plus à se préoccuper du moyen dont on s’est servi pour les distinguer de ceux qu’il fallait conserver; l’on a ligoureusement

ily = f’{x) sx;

et bien loin qu’elle doive être restreinte à une suite de valeurs prétendues infiniment petites , cette équation s’étend, au contraire, à toutes les valeurs finies de l’accroissement Ax:.

54. La différentielle étant définie, comme on vient de le faire, on voit qu’elle est une partie de la différence ordinaire, mais on n’aperçoit point encore ce qu’elle est par elle-même, ni ce qu’elle exprime par rapport à la fonction dont elle dérive. La définition est algébrique; elle satisfait l’esprit et le repose. Elle offre ainsi des avantages précieux ; néanmoins tant qu’elle est réduite à la simple traduction d’un fait qu’elle n’explique point et dont le sens échappe, elle se trouve frappée d’une sorte de stérilité relative, et bien qu’elle suffise pour fonder, sur une base rationnelle, la méthode des limites, elle n’y diminue pas sensiblement la difficulté des applications. Veut-on suppléer à cette impuissance qui résulte uniquement d’un défaut d’appropriation’? Veut-on réunir aux avantages signalés ci-

SUR DEUX EQUATlOiNS FONDAMEINTALES.

dessus, l'avanlage important de ces déductions si faciles qui fout prévaloii la méthode infinitésimale? Le moyen est extrêmement simple; il se réduit à donner à la définition de la dilTérentielle toute l’extension qu’elle comporte, ou, ce qui revient au même, à saisir, dans l’équation difTérentielksa véritable signification. Bornons-nous, sur ce point capital, à rappeler en quelques lignes les principes que nous avons établis précédemiiieiil.

Etant donné une fonction quelconque, supposée continue et non linéaire, y=f(x), il existe entre les accroissements simultanés ày,Ax, un lien de dépendance mutuelle et réciproque. Ce lien s'étend jusqu’à l’origine des accroissements, et il régit leur génération de manière qu’elle cxuiimence toujours suivant une certaine raison de proportionnalité. Cette raison de proportionnalité change incessamment, et a pour expression générale la valeur correspondante de la dérivée f'{x). De là vient que le rajiport ^ a une limite vers laquelle il converge à mesure que 4x décroît indéfiniment. De là vient aussi que, tout en convergeant vers cette limite, exprimée par /"'(x), le rapport ~ demeure constamment variable et ne peut s’arrêter à aucune valeur dans laquelle il persiste. Imaginer que cette dernière condition cessât d’avoir lieu pour des valeurs de Ax prétendues infiniment petites, ce serait admettre en même temps que la raison de proportionnalité exprimée par f'{x) demeure constamment la même dans toute l’étendue d’un certain intervalle. Une pareille hypothèse est évidemment absurde et contradictoire, lorsqu’il s’agit de raccroisscineiit edectif Ay. Toutefois elle peut être faite et rester de tout point légitime, pourvu que l’on considère à part l’accroissement particulier qui y correspond. C’est cet accroi.ssement particulier , essentiellement distinct de la diiïérence ordinaire, avec laquelle il ne peut jamais se confondre, qui constitue la difTérenliellc proprement dite, et tel est le sens de l’cquatiou fondamentale

Dans cette équation la raison de proportionnalité exprimée par f'(x) est supposée constante pour toute l’étendue de l’inten'alle quelconque Ax. Eu égard à cette hypothèse, la dilTérentielle dy n’est plus qu’une différence ordi-