ETUDE APP1«)F0^DIE

naire, et la fonctioa, dont elle devient ainsi la différence, une fonction linéaire. En d'autres termes, la différentielle est ce que serait la différence dont elle dérive, si la raison de proportionnalité qui régit la génération des accroissements cessait de varier dans l'intervalle Ax.et y couservait uneseule et même détermination constante, celle qu’elle affecte tran^toiremenl à l’origine de cet intervalle.

Lorsque la définition de la différentielle se trouve ainsi complétée, idle offre toutes les ressources possibles. La méthode qu’elle sert à fonder se distingue alors, non plus seulement parce qu’elle est purement algébrique, mais parce qu’en outre elle égale et dépasse même la méthode infinitésimale, sous le double rapport de la facilité des applications et de la fécondité. Pour justifier cette assertion, qui paraîtra sans doute exagérée, nous prendrons quelques exemples, et nous les traiterons à l’aide des théorèmes que nous avons exposés n° ôG, comme conséquences immédiates de la définition de la différentielle. Si ces exemples ne suffisaient pas pour mettre en évidence la supériorité de notre méthode, nous renverrions le lecteur à notre essai sur les principes fondamentaux de l’analyse ir.mscendante; là, les applications sont nombreuses, et nous croyons qu’elles seront facilement saisies, maintenant que nous les avons dégagées de toute obscurité, en rendant sensibles les principes abstraits qui leur servaient de fondement.

Sature intime de ta lujne courbe reconnue a priori et démontrée directement i>ar l'équation différentielle

<iy = r W ir.

.^ 5 . Reprenons le 1" théorème du n" 56 :

Quel que soit Cénoncé fourni comme traduction équivalente de l'équation

dy = f (x) SX,

par cela seul que la condition exprimée a lieu d’une manière permanexte ET INVARIABLE daiis la génération de la différentielle, on peut affirmer, sans AUTRE iNTERuèDiAiRE, qu’cllc subsiste TRANsiToiREUENT à l’origine de l’accroissement effectif Aÿ.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

Ola posé imaginons que l’équation

représente une courbe plane rapportée à des axes quelconques. Si nous prenons l’équation dilTérenlielle

(■'') rfy »= r (») i*.

nous devons y considérer la dérivée f'{z) comme une constante déterminée par la valeur particulière aiïectée par x à l’origine de l’intervalle Ax. Dans celle hypothèse, dy n’est plus qu’une différence ordinaire : c’est donc une droite qui se trouve représentée par l’équation (5), et l’inclinaison de cette droite par rapport aux axes est fixée par la valeur particulière de la dérivée f'{x). Or, dans la génération de la droite, le déplacement du point générateur s’effectue toujours suivant une seule et même direction. Voilà donc une condition pennanente et invariable exprimée par l’équation différentielle, et complètement déterminée par la valeur particulière que la variable x affecte à l’origine des accroissements. On peut et l’on doit en conclure que cette même condition, ainsi particularisée, subsiste transitoirement à l’origine de l’accroissement effectif Ay. De là résultent, comme conséquences immédiates et rigoureuses, les deux énoncés suivants :

1° Dans la génération d'une courbe quelconque y = f (x), c'est toujours suivant une certaine direction , déterminée jwur chaque position et incessamment variable (T une position à l’autre, que s’effectue te déplacement du point générateur.

2“ La droite qui fixe celte direction et que l’on nomme tangente , a pour équation aux différences ordinaires l’équation différctiitelle

rfy = f (*) 4-r.

On voit ainsi qu’en chaque point d’une courbe, il est une direction première suivant laquelle la continuité s’établit. La tangente ne fait que manifester cette direction en ta rendant sensible. Sur la courbe, la direction change incessamment, et nul espace n’est franchi, sans qu’elle se soit modifiée. 1 æ contraire a lieu pour la tangente où la direction persiste dans la détermination que la courbe affecte transitoirement au point que l’on considère.

Dans la méthode des limites, comme dans celle dos fonctions dérivées, la définition de la tangente est exacte, mais imparfaite et insuffisante. Elle n’apprend rien sur ce qu’il importe le plus de connaître, le lien intime existant entre la tangente et la courbe. Dans la méthode infinitésimale ce lien est nettement accusé , mais avec une exagération absurde et dangereuse. On ne s'y contente pas d'attribuer à la direction langentielle la détermination esseniiellement transitoire qu’elle afl'ecte en chaque point : on admet, contre toute logique, que cette détermination demeure persistante, pour une certaine étendue, et l’on s’imagine corriger une aussi grave erreur, en affirmant de l’étendue dont il s’agit qu’elle est infiniment petite, c’est-à-dire que, sans être nulle, elle s’évanouit néanmoins devant toute longueur finie. Dans cette méthode, où l’on ne craint pas d’accumuler les absurdités et les contradictions , la circonférence de cercle est considérée comme s’identifiant avec un polygone rectiligne où se succèdent une infinité d'angles et de côtés. Cependant elle ne cesse pas d'avoir tous ses points équidistants d’un point intérieur, ni par conséquent d'être la ligne engendrée par l'extrémité du rayon tournant autour du centre. Où sont les côtés de ce polygone? Où sont les sommets de ses angles? Gomment le rayon tournant autour du centre peut-il engendrer une succession discontinue d’éléments rectilignes? Comment est-il possible qu’un mode de génération essentiellement uniforme, toujours et partout identique à lui-même, produise tantôt une suite continue de points n’admettant tous qu’une seule et même tangente, tantôt des points isolés auxquels deux tangentes correspondent? On ne saurait ni le voir, ni le comprendre. Ce que l’on ne volt pas est donné comme échappant à la grossièreté de nos sens , qui ne nous permettent pas de pénétrer dans la région des infiniment petits : ce que l’on ne comprend pas est tout simplement affirmé; c’est un mystère qu’il n’est pas besoin d’éclaircir; c’est une révélation qu’il faut admettre et respecter.

Laissant de côté l’absurde conception du cercle potyijone, je dois néanmoins insister sur la définition de la tangente. J’ai pu me convaincre que l’usage de la méthode infinitésimale, alors même qu’on sait en éviter les abus, suffit pour obscurcir la notion de continuité et la rendre en quelque sorte inintelligible. De là vient sans doute que j’ai rencontré, chez des

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

géomètres, partisans modérés des infiniment petits, une difficulté presque insurmontable à concevoir nettement que, dans le mouvement d'un point qui décrit une courbe, il y a à chaque instant direction déterminée, cette direction n’étant jamais persistante et produisant la courbure par les modifications continues qu'elle subit incessamment. Toutefois il est plusieurs moyens de démonstration qui m'ont souvent réussi comme élucidation du sens exprimé par l’équation différentielle. Je vais essayer d’en reproduire ici quelques-uns. Directs ou indirects, ils tendent également au but proposé; s’ils l’atteignent, le lecteur n’hésitera pas sauf doute à les admettre.

56. Imaginons qu’un point m se meuve en se dirigeant toujours vers un autre point n. Quelles que soient les deux positions affectées simultanément par ces points, elles déterminent une droite qui peut, suivant les cas, être fixe ou mobile et que nous désignerons par ses extrémités m , n. Supposons, d'abord, que le point directeur soit arrêté dans la position qu’il occupe à un instant quelconque. Il est visible, qu’à partir de ce même instant, le point m décrit une portion de la droite mn devenue fixe. Supposons, ensuite, que le point n entre eu mouvement et se déplace suivant une ligne quelconque, toujours autre que la droite mn. A partir de l’insuiu précis où ce mouvement commence, la ligne décrite par le point m ne peut plus être droite sur aucune étendue. Elle est donc courbe. Toutefois rien n’est changé pour le point m dans la direction qu’il affecte à l’origine de l’arc curviligne; il arrive seulement, qu’au lieu d’être persistante, comme dans le premier cas, cette direction n’est plus que transitoire. Il en est de même pour toute autre direction suivie par le point m dans le parcours de la courbe. Veut-on rendre sensible l’une quelconque de ces directions? 11 suffit d’arrêter le point n dans la position correspondante, où il est parvenu. De transiloire qu’elle était, la direction dont il s’agit devient alors permanente, et l’on voit clairement que, ne ce.ssant jamais de coïncider avec celle de la droite mn , pour toute l’étendue de l’arc curviligne, elle est, comme celle-ci, déterminée pour chaque point de cet arc , et constamment variable d’un point à un autre.

L’exemple que je viens de développer me parait à lui seul assez ilé-

monstratif. Néanmoins j'en ajouterai un second, emprunté à la dynamique, et plus propre encore que le premier à forcer les convictions rebelles.

Soit un point matériel décrivant une courbe, sous l’action d’une force infléchissante. Si, à un instant quelconque, l’action de la force infléchissante vient à cesser, l’on sait qu’à ce même instant le point s’échappe suivant la tangente à la courbe qu’il décrit. II est d’ailleurs établi en principe qu’un point matériel , supposé libre et soustrait à toute action extérieure. est impuissant à modifier par lui-même son état de mouvement, de telle sorte qu’il ne fait jamais que persister dans cet état, que caractérisent une certaine vitesse et une certaine direction , déterminées toutes deux et toutes deux invariables.

Il suit de là que si le point matériel, dont nous parlions tout à l'heure, s’échappe suivant la tangente à la courbe qu’il décrit, c’est en persistant dans l’état de mouvement qui l’anime à Tintant que Ton considère. Cet état, qu’il ne peut changer par lui-même, n’aurait subsisté que transitoirement, sous l’action continue de la force infléchissante. Cette action cessant par hypothèse, l’état dont il s’agit devient permanent, et puisque le mouvement a lieu en ligne droite, on voit avec évidence qu’il révéle comme direction préexistante cette même direction suivant laquelle le déplacement s’accomplit.

57. Nous venons de voir qu’à partir d'un point quelconque pris sur une courbe , la continuité s’établit suivant une direction déterminée. Lorsque cette direction persiste et devient permanente, la ligne engendrée est droite. En général la direction dont il s’agit n’est que transitoire et elle varie avec continuité. De là naît la courbure ; elle résulte des modifications continues que la direction tangentielle subit incessamment.

Soit U l’angle qu’une tangente quelconque à la courbe y = f{x), fait avec Taxe des abscisses, on a généralement, les axes étant rectangulaires.

U = arc tang. fli).

De là résulte, d’abord,

il;

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

lui

si d’ailleurs on désigne par As la longueur de l’arc qui répond à l’intervalle AXf l’on a pour l’accroissement difierentiel ds mesuré sur la tangente

ds ^ ùx y 4 -t- f (*)*.

11 vient donc en substituant

[I ^rwiî-

L’équation différentielle que nous venons d’écrire s’applique à la génération simultanée des accroissements angulaires et arcuels. Elle détermine :

1° Le rapport suivant lequel commence cette génération;

2° La ligne qui se substitue à la courbe donnée, lorsqu’on suppose que ce rapport persiste dans la détermination tran^ioire qu’il affecte à l'origine des accroissements.

Considérant cette ligne, et substituant les différences aux différentielles, il vient

conil.

En ce cas , deux arcs quelconques , égaux en longueur , sont toujours superposables. La courbure est donc uniforme, et la ligne engendrée une circonférence de cercle ayant pour rayon

[I -rwir'w

Le cercle, ainsi déterminé, a en tous ses points même courbure que la courbe donnée au point que l’on considère. On le nomme cerde oscuüiteur, et son rayon rayon de courbure. En général la courbure varie d’un point à un autre. Dans tous les cas elle est mesurée par le rapport j et le changement de direction pris à son origine, commence sur la courbe de la même manière qu’il s’effectue constamment sur toute l’étendue du cercle osculateiir.

Conditions inlimes du mouvement d'un point matériel rendues sensibles et démontrées directement par ta différentiation.

58. Un point matériel se meut dans l’espace. Une relation existe entre le temps t et le chemin parcouru e. On suppose cette relation connue et exprimée par l'équation

« = fit)-

De là résulte immédiatement

de = /■'{/)

c’est-à-dire l’équation d’un mouvement uniforme où la vitesse se conserve sans altération, et demeure constamment exprimée par la valeur particulière que la dérivée f'(t) aiïecle à l’origine des accroissements Ac, At. Concluons, en vertu du théorème rappelé ci-dessus n“ 55, que, si l’on désigne en général par v la vitesse acquise après le temps t dans le mouvement auquel s’applique l’équation

' ■= fit),

l’on a, en général,

OiiTérentiant cette dernière équation, il vient

dv = f"(l). SI,

c’est-à-dire l’équation d’un mouvement uniformément varié, où l’action motrice demeure toujours la même et a pour expression constante, rapportée à l’unité de masse, la valeur que la dérivée f'(t) affecte à l’origine des accroissements Av,A(.

Concluons comme tout à l’heure que , dans le mouvement dont il s’agit en réalité, si l’on désigne par F, pour l’unité de masse, la valeur que l’action motrice affecte à l’instant (, l’on a généralement

F = rio-

59. Les applications qui précèdent montrent suffisamment le rôle assigné à la différentiation, lorsqu’il s’agit de pénétrer au fond des choses et d’en

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découvrir la nature intime. Pour atteindre ce résultat important , il n’est pas besoin de recourir à l’hypothèse dangereuse d’une discontinuité impossible ou contradictoire; tout se réduit à saisir la véritable signiHcation de l’équation différentielle. Cette notion éminemment simple, fournit d’ailleurs d’autres ressources également précieuses et plus fécondes encore, à raison de l’extension qu’elles comportent. Pour en donner une idée, nous indiquerons par quelques exemples comment s’applique le second théorème exposé n° 55, et énoncé dans les termes suivants :

Soit y une fonction inconnue de x qu'il s'agit de déterminer d’après les données suivantes :

« On sait qu'une grandeur t incessamment variable et exprimée numériquement » par f (x) intervient dans la génération continue de l’accroissement Aÿ.

> Si , au lieu de varier avec x dans l’intervalle Ax la grandeur z conservait la » valeur quelconque a qu’elle affecte à l’or'igine de cet intervalle (toutes choses > restant d’ailleurs les mêmes ) , on sait que dans la génération continue , corres- » pondante à cette hypothèse , on aurait en gâterai

iÿ — Oix;

O cela posé, pour tenir compte à la fois de ces deux conditions, il suffit d’écrin>

dy = f(x)àx.

» Di' là résulte pour le cas dont il s’agit en réalité

sy = SX (i). »

PREaiER EXEMPLE.

Mesure du volume engendré par le mouvement d’une aire plane qui se transporte parallèlement à elle-même en changeant de grandeur.

Soit V le volume engendré par une aire plane u, qui se transporte parallèlement à elle-même, en changeant de grandeur. Imaginons qu’à partir d’une position quelconque , et toutes choses restant d’ailleurs les mêmes, l’aire u persiste dans la détermination qu’elle affecte. 11 suffit de

prendre l’axe des x perpendiculaire au plan de l'aire ta pour que , dans l'hypothèse où nous venons de nous placer, l’on ait généralement

iV = oii.

De là résulte, pour le cas dont il s’agit en réalité.

et, par conséquent.

i\ = uM,

DECXIÈME EXEMPLE.

Mesure de l’espace décrit par un point mobile animé d'une vitesse variable.

Soit un point mobile animé d'une vitesse v incessamment variable avec le temps t. Si, à partir d’un instant quelconque, on suppose que la vitesse v persiste dans la détermination particulière qu’elle affecte à ce même instant, et qu’on désigne par e l’espace déjà parcouru , l’on a généralement pour l’accroissement Ae qui répond à cette hypothèse

.ie = t’K;

de là résulte, pour le cas dont il s’agit en réalité,

de = val,

et, par conséquent,

i+ai

le =

(>0. La méthode dont nous venons de donner une idée, par deux exemples très*simples, s’applique avec la même facilité aux cas les plus complexes. Notre essai sur les principes fondamentaux de l’analyse transcendante fournit, à cet égard, tous les développements nécessaires. Ne pouvant les reproduire ici , nous nous bornerons à dire en quelques mots quel est le véritable rôle assigné au calcul différentiel dans toutes les applications de ce genre.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

lOS

Concevons que l'on se propose l’étude d’un phénomène quelconque, et qu’il s’agisse de traduire algébriquement les lois qui en régissent le développement continu. C’est uniquement par la mesure des effets produits , que le calcul peut intervenir. En général, certaines grandeurs, connues a priori, concourent à la génération des effets qu’il s’agit de calculer, et c’est parce que ces grandeurs varient, c’est parce que leurs expressions numériques changent incessamment que le problème à résoudre est rendu difficile. Ce point admis, la question se trouverait singulièrement simplifiée, s’il suffisait de la traiter directement, pour le cas où, toutes choses restant d'ailleurs les mêmes, les grandeurs dont il s’agit cesseraient de varier numériquement, et conserveraient une valeur quelconque toujours constante. Le problème est-il convenablement résolu dans cette hypothèse, et veut-on restituer aux quantités supposées quelconques, mais constantes, leur caractère de variabilité continue, il suffit de substituer aux différences ordinaires les différentielles qui leur correspondent. Cela fait, et par cela seul, on obtient la solution cherchée pour le cas général.

On voit ainsi d’où vient la puissance de l’analyse différentielle. Elle résulte essentiellement de ce que, dans certaines classes de problèmes, les équations aux différences ordinaires, établies pour les cas les plus simples, ne sont pas plutôt transformées en équations différentielles, par un simple changement de caractéristique, qu’elles deviennent immédiatement applicables aux cas plus compliqués que l’on a principalement en vue, et que l’on ne saurait aborder directement par aucune autre méthode. Cette extension si remarquable des moyens bornés, dont l’analyse ordinaire dispose, se distingue peut-être moins encore par sa puissance que par sa simplicité.

Lorsqu’on a reconnu que, là où certaines grandeurs continùmetU variables concourent à la production d’un phénomène, l’équation différentielle n’intervient que comme expression directe et purement algébrique des effets qui répondent à une détermination quelconque de ces grandeurs supposées constantes, on conçoit aisément pourquoi cette équation s’établit avec tant de facilité, pourquoi aussi, la question ne cessant pas d’être en

réalité complexe, les difficultés qui lui sont inhérentes sc trouvent transportées dans l’intégration.

61. Au lieu d'appliquer littéralement les deux théorèmes du n° 56, l'on peut, dans un grand nombre de cas, procéder plus simplement encore, en se fondant sur certaines déductions de ces théorèmes ou des principes sur lesquels ils reposent. De là, de nouveaux avantages, dont il convient que nous fassions ressortir l’importance par quelques applications particulières. Disons d'abord un mot de la forme sous laquelle peut s’écrire l’équation fondamentale

(<) dy = /“(jt) il,

lorsque la variable x dépend ou est supposée dépendante d’une autre variable.

Si l’on désigne par t cette nouvelle variable et par x = F (t) la relation qui existe en réalité, ou qu'on établit arbitrairement, entre x et l, l’on a

(2) (te = F'(0il.

Dans l’équation (1) l’on dispose de la quantité Ax et l’on peut la déterminer comme on veut. Il en est de même de la quantité Ai dans l’équation (2). Il est donc évident que rien n’empêche que, dans l’équation (1), l’on attribue à Ax la valeur dx fournie par l’équation (2). Il vient alors

(3) dÿ’=f(x).dx.

Présentée sous cette forme, l’équation (1) conserve le sens que nou.s lui avons attribué précédemment. Elle ne cesse pas de fixer par la valeur du quotient ~ = ^'(x) la raison suivant laquelle commence la génération

simultanée des accroissements Ay, As. Toutefois, elle a l’avantage d’étre plus symétrique, de mettre mieux en évidence la réciprocité du lien de dépendance existant entre les variables s et y, enfin de pouvoir se combiner directement avec l’équation (2), de fournir ainsi la relation

rfy = f'{z) F'(t) 41,

et par conséquent de donner immédiatement la raison fis) F'(t), suivant

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laquelle commence la génération simultanée des accroissements et àl.

Lorsqu’il existe entre n variables (n — 1) relations, chaque variable peut être considérée comme fonction de l’une quelconque des autres. Dans chacun des couples qu’on peut ainsi former, la variable, prise pour fonction, a une diiïéi'entielle particulière. Si ces dilTércntielles sont toutes prises par rapport à une seule et même variable, dont on puisse disposer librement, celle-ci est dite variable indépendante, et chaque difTérentielle se trouve déterminée. Le choix de la variable indépendante est tout à fait arbitraire. Néanmoins, et pour plus de généralité, il convient souvent d’introduire, par la pensée, une variable que l’on n’exprime point, et de la prendre pour variable indépendante, en la supposant liée, par telle relation qu’on voudra, à l’une quelconque des variables sur lesquelles on opère explicitement. Dans ce système, les calculs offrent plus de symétrie, et ils se prêtent, en outre, à toute détermination ultérieure de la variable indépendante.

Lorsque les relations existant entre u variables sont en nombre inférieur à (» — 1), le procédé que nous venons d’indiquer n’est plus, en général, un simple artifice auquel on est ou non libre de recourir. Ce procédé, qui consiste à introduire, par la pensée, une variable que l’on n’exprime point, et dont on fait dépendre toutes les autres par un nombre convenable de relations arbitraires, est impérieusement prescrit toutes les fois que le nombre des variables l’emporte de plus d’une unité sur celui des équations. Ainsi que nous l’avons dit et démontré ailleurs *, il est le seul qui puisse, en ce cas, donner un sens précis aux différentiations successives.

62. Cela posé, soient x,y,z, les coordonnées rectangulaires d’un point pris sur la courbe

Soit d’ailleurs a la longueur d’un arc mesuré sur cette courbe et terminé an point (x, y, s).

' Voir notre essai déjà cil^.

Considérer les diflerentielles dx. dy, dz,da, c’est à partir du point (x, y, z), substituer à la courbe sa tangente en ce point. C’est par rapport à cette tangente, exprimer par ces différentielles, les différences ordinaires correspondantes. Il suit de là que, si l’on désigne par a. S, y, les angles que la tangente, dont il s’agit, fait respectivement avec les axes coordonnés des X, des y et des z, l’on a directement et sans aucun intermédiaire

(h = l/d** + dy‘-t- ~dz' dx

cos ^ 8= •

cosr*= T~-

De là résulte encore

da = dz l/l +/'(.)• H- r(z)*:

puis prenant z pour variable indépendante,

A7 = AZ m!" 'Vl +(/'(*)• + (F'z)*.

Soient maintenant t, u, v, les coordonnées d’un point quelconque pris dans le plan mené par le point (x, y, s), normalement à la courbe. Si l’on considère ce point comme le centre d’un cercle touchant la courbe au point {a>, y, s), et qu’on désigne par R le rayon de ce cercle, on a d’abord

puis différentiant par rapport aux variables y, x, z considérées comme appartenant au cercle dont il s’agit :

(I — i) dx {u — y) dÿ -i- (e — z) dz = o.

Cette relation subsiste évidemment pour un point quelconque du plan normal. Elle est donc l’équation de ce plan. D’un autre côté, le cercle a même tangente que la courbe au point considéré (x, y, z). On peut donc,

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

comme tout à l’heure, remplacer par f’(s) et F'(s) les rapporu , et et, par conséquent, écrire l’équation du plan normal sous la forme suivante ,

(t — z) f’(z) (u — y) F'(î) ti— î = O.