Soit une surface
et sur cette surface un point quelconque {ar,, y„, î„). 11 est un lieu géométrique déterminé par l’ensemble infini des directions suivant lesquelles la continuité s’établit sur la surface à partir de ce point. Quel que soit ce lieu, il reste le même lorsque, supposant permanentes les raisons de proportionnalité suivant lesquelles commence pour une section quelconque la génération simultanée des accrois-semenU Ax,ày, As, on substitue à la surface donnée celle qui a pour équation
c’est-à-dire.
du,
dx dy •+■ dz = O,
Ay*
du du du^
{s — x,) (y-ÿj — -e (Z — Z.) —
zz, zy„ il.
Or, cette équation appartient à un plan. Elle exprime donc le lieu géométrique lui-méme. On le nomme plan tangent.
Considérons tant de courbes qu’on voudra tracées sur la surface et passant par le point de contact du plan tangent. A partir de ce point la continuité s’établit, pour chaque courbe, suivant la direction fournie par la tangente. Lieu géométrique de ces directions, le plan tangent contient toutes les tangentes.
64. Lorsque deux courbes ont en un point commun {x, y, z) même tangente, les quantités dx, dy, dz sont identiques de part et d’autre, et il en est de même de l’accroissement différentiel
rf» «= y dx' ■+■ dy' •¥■ dz'.
Suppose-t-on, en outre, qu’en ce point, les deux courbes aient même courbure? il en résulte que les diflérentielles secondes d*x, tPy, s’iden-
ilO
tifient de part et d’autre, comme celles du premier ordre et réciproquement. Soient, en effet, a, €, y les angles que la tangente commune aux deux courbes fait avec les axes des x, des y et des z; l'on a généralement
dz = C08 01
dy = cos ( d<j dz = cos r d”-
ce qui donne d’abord
(Px = — tÀO 1 dx de COi a lPi7
d’y = — sin C de d? + cos C dPe
(P Z = — sin y dy de -+- cos y d’n;
puis divisant par (do)*.
dPx di (Pe
— = — Sin « — + COS .r —
d’y de <Pe
= s,n C - cos e -
dy
— «in ly -- -f- C 08 y — * • do do*
Or, on sait que pour une direction tangentielle déterminée par les angles a, S, y, la courbure dépend exclusivement des raisons de proportionnalité suivant lesquelles commence la génération simultanée des accroissements (Ao, Ao), (A(3, Ao), [Ay, Ao). On sait de plus que ces raisons ont pour valeurs respectives les quotients I.«cs équations qui
précèdent montrent donc, avec évidence, que là où deux courbes ont même tangente, l’égalité de courbure implique l’identité des différentielles cPx, d*ÿ, d*s, et réciproquement
La déduction que nous venons d’établir est susceptible d’applications nombreuses. Elle offre, dans toutes, et au plus haut degré, l’avantage important d’une grande simplicité, jointe à une entière rigueur; donnonsen un exemple.
' Pour le voir, il suffit d’observer que l'on a en général
ded’e = dxd'x dyd'y -t- dz(Pz, ce qui permet d'éliminer <Pe sans introduire aucune variable nouvelle.
SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. H J
Courbure des surfaces
